Ana içeriğe atla

AYT · Trigonometri

Trigonometri Konu Anlatımı

Çemberde dönen bir noktanın gölgesi dalga çizer. Jüpiter’in uydularından Mars’a uzaklığa kadar dönen her şeyin dili bu fonksiyonlar.

  • sin²x + cos²x = 1temel özdeşlik
  • a² = b² + c² − 2bc · cos Akosinüs teoremi
  • T = 2π ÷ |b|periyot
  • ≈ 1,77 günİo’nun periyodu

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde noktayı döndür, üçgeni değiştir, dalgayı biçimlendir ve ne olduğunu gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Trigonometri nedir?

Trigonometrik fonksiyonlar birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarıyla tanımlanır: x açısına karşılık gelen noktanın apsisi cos x, ordinatı sin x’tir. Bu yüzden sin² x + cos² x = 1 olur. Sinüs ve kosinüs 2π periyotla tekrar eder. Sinüs ve kosinüs teoremleri, dik olmayan üçgenlerde eksik kenar ve açıları bulmayı sağlar.

MEB konusu
Trigonometrik Fonksiyonlar
Bu derste
5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Birim çember

Bir çember, dört fonksiyon

Dik üçgende oranları dar açılar için, birim çemberde 0° ile 180° arasındaki açılar için tanımlamıştık. Yönlü açılar dersinden biliyoruz: bir açı her gerçek sayı olabilir, bir tam tur 360° ya da 2π radyandır. Şimdi tanımı bütün açılara genişletiyoruz: her açıya bir sayı eşleyen bu kurallar birer fonksiyon olur.

x y 1 −1 −1 1 O T(1, √3) tan θ x = 1 K(√3/3, 1) cot θ y = 1 cos θ sin θ 1 θ P P(1/2, √3/2)
  1. Merkezi başlangıç noktası, yarıçapı 1 birim olan çember: birim çember. θ açısının bitim kenarı çemberi P noktasında keser. Burada θ = 60°, yani π/3 radyan.
  2. P’nin apsisi cos θ, ordinatı sin θ: P = (cos θ, sin θ). Tanım her açı için geçerli; P hangi bölgedeyse koordinatların işareti de ona göre olur.
  3. OHP dik üçgeninin dik kenarları |cos θ| ve |sin θ|, hipotenüsü 1. Pisagor’dan sin²θ + cos²θ = 1. P çemberden çıkamadığı için sin θ ve cos θ hep −1 ile 1 arasında.
  4. A(1, 0) noktasındaki teğet, yani x = 1 doğrusu, tanjant eksenidir. OP uzatılınca onu T(1, tan θ)’da keser: benzer üçgenlerden tan θ = sin θ ÷ cos θ. OT uzunluğu 1 ÷ cos θ = sec θ.
  5. B(0, 1)’deki teğet, y = 1 doğrusu, kotanjant eksenidir. OP’nin uzantısı onu K(cot θ, 1)’de keser: cot θ = cos θ ÷ sin θ. OK uzunluğu 1 ÷ sin θ = csc θ.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

sin x + cos x = 7/5 ise sin x · cos x kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. İki yanın karesini al: sin²x + 2 sin x · cos x + cos²x = 49/25.
  2. sin²x + cos²x = 1 olduğundan 1 + 2 sin x · cos x = 49/25.
  3. 2 sin x · cos x = 24/25, yani sin x · cos x = 12/25.

12/25

2 · İşaretler ve indirgeme

Dört ayna noktası

Her açının değerini ayrı ayrı bilmemiz gerekmez. Birim çember simetrik: bir dar açının noktasını eksenlere ya da merkeze göre yansıtınca, aynı sayılarla ama farklı işaretlerle başka açıların noktalarını buluruz. Bu, büyük açıları dar açıya indirgemek demektir.

0° 90° 180° 270° I. bölge hepsi + II. bölge sin + III. bölge tan, cot + IV. bölge cos + 30° (√3/2, 1/2) 150° (−√3/2, 1/2) 210° (−√3/2, −1/2) 330° (√3/2, −1/2) 120° (−1/2, √3/2)
  1. Eksenler düzlemi dört bölgeye ayırır. P = (cos θ, sin θ) olduğu için işaretler P’nin bölgesine bağlıdır: I. bölgede hepsi pozitif; II’de yalnız sin; III’te tan ve cot; IV’te yalnız cos pozitif.
  2. 30°’nin noktasını y eksenine göre yansıtalım: 180° − 30° = 150°. Ordinat aynı, apsis ters işaretli: sin(180° − θ) = sin θ ve cos(180° − θ) = −cos θ.
  3. Merkeze göre yansıtınca, yani yarım tur döndürünce 180° + 30° = 210°: iki koordinat da ters işaret alır. sin(180° + θ) = −sin θ, cos(180° + θ) = −cos θ; oranları olan tan ve cot değişmez.
  4. x eksenine göre yansıtınca 360° − 30° = 330°, yani −30°: apsis aynı, ordinat ters. cos(−θ) = cos θ ve sin(−θ) = −sin θ.
  5. Çeyrek tur döndürünce 90° + 30° = 120°: koordinatlar yer değiştirir, biri işaret değiştirir. sin(90° + θ) = cos θ ve cos(90° + θ) = −sin θ. 90° ve 270° ile yazılan açılarda fonksiyonun adı değişir.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

sin 210°, cos 300° ve tan 135° kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 210° = 180° + 30°, III. bölgede sin negatif: sin 210° = −sin 30° = −1/2.
  2. 300° = 360° − 60°, IV. bölgede cos pozitif: cos 300° = cos 60° = 1/2.
  3. 135° = 180° − 45°, II. bölgede tan negatif: tan 135° = −tan 45° = −1.

−1/2; 1/2; −1

Çözümlü örnek

sin x = 3/5 ve x, II. bölgede bir açı ise cos x ve tan x kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. cos²x = 1 − sin²x = 1 − 9/25 = 16/25, yani cos x = 4/5 ya da cos x = −4/5.
  2. II. bölgede cos negatif: cos x = −4/5.
  3. tan x = sin x ÷ cos x = (3/5) ÷ (−4/5) = −3/4.

cos x = −4/5 ve tan x = −3/4

Çözümlü örnek

sin(π + x) + cos(π/2 − x) + tan(π − x) · cot x ifadesinin eşiti nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. sin(π + x) = −sin x: ad aynı, III. bölgede sin negatif.
  2. cos(π/2 − x) = sin x: ad değişir, I. bölgede cos pozitif.
  3. tan(π − x) = −tan x: II. bölgede tan negatif. −tan x · cot x = −1.
  4. Toplam: −sin x + sin x − 1 = −1.

−1

Deney

Noktayı döndür

Açıyı değiştir. P hangi bölgede? x ekseniyle yaptığı dar açı α kaç derece? Aynı α’lı öbür üç nokta nerede?

Bölge ve dar açı
—
İndirgeme
—
sin θ
—
cos θ
—
tan θ
—
cot θ
—

3 · Kosinüs teoremi

Pisagor’u her üçgene genişlet

Pisagor teoremi yalnız dik üçgende çalışır. Bir dikme indirip her üçgeni iki dik üçgene bölersek Pisagor’u yine kullanabiliriz. Sonuç, bütün üçgenlerde geçerli bir formül: kosinüs teoremi.

60° H b · sin A b · cos A c − b · cos A c = 8 b = 5 a = ? a = 7 A B C 120° b = 5 c = 3 a = 7 A B C H
  1. İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen bir üçgen: b = 5, c = 8, m(A) = 60°. Üçüncü kenar a’yı arıyoruz. Üçgen dik değil; Pisagor doğrudan kullanılamaz.
  2. C’den AB’ye CH dikmesini indirelim. ACH dik üçgeninde AH = b · cos A ve CH = b · sin A.
  3. Kalan parça HB = c − b · cos A. Şimdi CHB de bir dik üçgen ve hipotenüsü a.
  4. CHB’de Pisagor: a² = (b · sin A)² + (c − b · cos A)².
  5. Açalım: a² = b² · sin²A + c² − 2bc · cos A + b² · cos²A. sin²A + cos²A = 1 olduğundan a² = b² + c² − 2bc · cos A. Burada a² = 25 + 64 − 40 = 49, a = 7.
  6. A geniş açıysa H, AB’nin uzantısına düşer; aynı hesap aynı formülü verir. cos 120° = −1/2 negatif olduğu için a² = 25 + 9 + 15 = 49 çıkar: a, Pisagor’un vereceğinden uzun. A = 90° olsaydı cos A = 0 olur, formül Pisagor’un kendisine döner.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

Bir ABC üçgeninde b = 5 cm, c = 8 cm ve m(A) = 60° ise a kaç cm’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. a² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · cos 60°.
  2. a² = 25 + 64 − 80 · 1/2 = 49, yani a = 7 cm.

7 cm

Çözümlü örnek

Kenarları 3, 5 ve 7 birim olan üçgenin en büyük açısı kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. En büyük açı en uzun kenarın, yani 7’nin karşısında; buna C diyelim.
  2. cos C = (3² + 5² − 7²) ÷ (2 · 3 · 5) = (9 + 25 − 49) ÷ 30 = −15/30 = −1/2.
  3. 0° < C < 180° ve cos C = −1/2, yani C = 120°.

120°

Deney

Üçgeni çöz

İki kenarı ve aradaki açıyı değiştir. Üçüncü kenar nasıl değişiyor? Son satırdaki üç orana bak: dikkatini çeken bir şey var mı?

Kosinüs teoremi
—
A açısı
—
Öbür açılar
—
Kenar ÷ karşı açının sinüsü
—

4 · Sinüs teoremi

Kenarlar, karşı açıların sinüsleriyle orantılı

Deneyde üç oran hep eşit çıktı. Nedeni basit: C’den inen yükseklik, iki farklı dik üçgende iki farklı biçimde yazılabilir.

A B C H b a c h

ACH dik üçgeninde: h = b · sin A

BCH dik üçgeninde: h = a · sin B

Aynı h: b · sin A = a · sin B, yani a ÷ sin A = b ÷ sin B

Çözümlü örnek

Bir ABC üçgeninde a = 6 cm, m(A) = 30° ve m(B) = 45° ise b kaç cm’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. a ÷ sin A = b ÷ sin B → 6 ÷ (1/2) = b ÷ (√2/2).
  2. 12 = b ÷ (√2/2), yani b = 12 · √2/2 = 6√2 cm.

6√2 cm

Çözümlü örnek

Kıyıda aralarında 10 km olan A ve B gözlem noktalarından denizdeki bir gemiye bakılıyor. Gemi C’de; m(CAB) = 75° ve m(CBA) = 60° ölçülüyor. Geminin A’ya uzaklığı kaç km’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. C’deki açı: 180° − 75° − 60° = 45°.
  2. AC, B açısının karşısında; AB = 10 km ise C’nin karşısında: AC ÷ sin 60° = 10 ÷ sin 45°.
  3. AC = 10 · (√3/2) ÷ (√2/2) = 10√3 ÷ √2 = 5√6 km, yaklaşık 12,2 km.

5√6 km (≈ 12,2 km). Haritacılar yüzyıllarca ülkeleri böyle üçgenlere bölerek ölçtü: bu yönteme üçgenleme denir.

Çözümlü örnek

Dünya’nın Güneş’e uzaklığını 1 AB (astronomik birim, ≈ 149,6 milyon km), Mars’ınkini 1,52 AB alalım; yörüngeleri çember sayıyoruz. Güneş’ten bakınca Dünya ile Mars arasındaki açı 60° iken Dünya ile Mars arası kaç AB’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Güneş, Dünya ve Mars bir üçgen oluşturur: iki kenar 1 ve 1,52, aradaki açı 60°. Kosinüs teoremi:
  2. d² = 1² + 1,52² − 2 · 1 · 1,52 · cos 60° = 1 + 2,3104 − 1,52 = 1,7904.
  3. d ≈ 1,34 AB, yani yaklaşık 200 milyon km.

≈ 1,34 AB. Açı 0° iken uzaklık 0,52 AB (≈ 78 milyon km), 180° iken 2,52 AB (≈ 377 milyon km) olur. Dünya ile Mars yaklaşık 26 ayda bir yeniden aynı dizilişe gelir; Mars’a araç gönderme fırsatları da bu yüzden yaklaşık 26 ayda bir açılır.

Çözümlü örnek

Venüs, Güneş’ten en uzak göründüğü anda (en büyük uzanım) Dünya’dan bakınca Güneş ile Venüs arasındaki açı yaklaşık 46° ölçülür. O anda bakış çizgisi Venüs’ün yörüngesine teğettir, bu yüzden Venüs’teki açı 90°’dir. Dünya–Güneş uzaklığı 1 AB ise Venüs’ün Güneş’e uzaklığı kaç AB’dir? (sin 46° ≈ 0,72)

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Güneş (G), Dünya (D) ve Venüs (V) üçgeninde D’deki açı 46°, V’deki açı 90°.
  2. Sinüs teoremi: GV ÷ sin 46° = GD ÷ sin 90°, yani GV = 1 · sin 46° ÷ 1.
  3. GV ≈ 0,72 AB, yaklaşık 108 milyon km.

≈ 0,72 AB. Bugünkü değer 0,723 AB: yalnız bir açı ölçümüyle çok yakın bir sonuç. Kopernik de 16. yüzyılda benzer bir hesapla yaklaşık 0,72 bulmuştu.

5 · Grafikler ve periyot

Çemberden dalgaya

Birim çemberde dönen noktanın yüksekliğini zamana göre bir kâğıda yazdırsak ne çizer? Dönme hiç bitmediği için çizgi de hep aynı biçimi tekrarlar: bir dalga.

π/2π3π/22π5π/23π7π/24π 1 −1 x 2π 2π y = cos x y = sin x
  1. P, (1, 0) noktasından başlayıp saat yönünün tersine dönüyor. Sağdaki grafikte yatay eksen dönülen açı (radyan), dikey eksen P’nin ordinatı, yani sin x.
  2. Çeyrek tur: x = π/2. P tepede; sin x en büyük değeri olan 1’e ulaştı.
  3. Yarım tur: x = π. P yeniden yatay eksende, sin π = 0.
  4. Alt yarıda P’nin ordinatı negatif; en küçük değer sin(3π/2) = −1. x = 2π’de tur tamamlanıyor ve eğri bir tam dalga çiziyor.
  5. İkinci turda aynı değerler aynı sırayla tekrar ediyor: sin(x + 2π) = sin x. Kendini tekrar eden en kısa aralık 2π: sinüsün periyodu.
  6. P’nin apsisi de aynı biçimde dalgalanır: y = cos x. Kosinüs eğrisi, sinüs eğrisinin π/2 sola kaydırılmışıdır. Onun da periyodu 2π.

Adım 1 / 6

Deney

Dalgayı biçimlendir

Fonksiyonu seç, a, b, c ve d’yi değiştir. Hangisi periyodu değiştiriyor? Hangisi yalnız dalgayı kaydırıyor ya da büyütüyor?

f(x) = sin(x)

Periyot
—
En büyük, en küçük
—
Görüntü kümesi
—

Çözümlü örnek

f(x) = 3 sin(2x − π/3) + 1 ve g(x) = tan 3x fonksiyonlarının periyotları kaçtır? f’nin en büyük ve en küçük değeri nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. f için b = 2: T = 2π ÷ 2 = π.
  2. g için b = 3: T = π ÷ 3 = π/3.
  3. −1 ≤ sin(2x − π/3) ≤ 1 olduğundan −3 + 1 ≤ f(x) ≤ 3 + 1: en büyük değer 4, en küçük değer −2.

π ve π/3; en büyük 4, en küçük −2

6 · Gökyüzünde periyot

Galileo’nun gördüğü dans

Dönen her şey periyodiktir: gezegenler, uydular, Dünya’nın kendisi. Galileo’nun Jüpiter’in yanında gördüğü dört küçük ışık noktası, trigonometrik fonksiyonların gökyüzündeki en güzel örneklerinden biri. Uyduların Jüpiter’e göre görünen konumu, birim çemberdeki noktanın apsisi gibi davranır.

Jüpiter Dünya’ya doğru ↓ Dünya’dan görünüş 01234567 gün İo: 1,77 gün Europa: 3,55 gün İo Europa
  1. Galileo 1610 Ocak’ında teleskobunu Jüpiter’e çevirdi ve yanında küçük “yıldızlar” gördü: Jüpiter’in çevresinde dolanan uydular. Yukarıdan bakış: en içteki İo, yarıçapı yaklaşık 5,9 Jüpiter yarıçapı olan bir yörüngede yaklaşık 1,77 günde bir tur atar.
  2. Dünya’dan bu yörüngeleri neredeyse tam yandan görürüz. İo, Jüpiter’in bir o yanında bir bu yanında düz bir çizgi üzerinde gidip gelir. Gördüğümüz, konumun yalnız yatay bileşeni: x = r · cos φ.
  3. Zaman aşağı doğru aksın ve İo’nun görünen konumunu işaretleyelim: x(t) = 5,9 · cos(2πt ÷ 1,77). Bir kosinüs dalgası: genliği yörüngenin yarıçapı, periyodu bir turun süresi.
  4. Europa daha dışta ve daha yavaş: genlik yaklaşık 9,4, periyot yaklaşık 3,55 gün. 2π ÷ T katsayısı küçüldükçe dalga yatayda uzar.
  5. Europa’nın periyodu İo’nunkinin yaklaşık 2 katı, Ganymede’inki (≈ 7,15 gün) yaklaşık 4 katı. Bu 1 : 2 : 4 düzeni rastlantı değil: üç uydu, birbirine uyguladıkları kütle çekimiyle bu düzende kalır.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

İo bir gece Jüpiter’in bir yanında en uç konumda görülüyor. En erken kaç gün sonra öbür yanda en uçta görünür? Kaç gün sonra yeniden ilk konumuna döner? (T ≈ 1,77 gün)

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x(t) = 5,9 · cos(2πt ÷ 1,77): t = 0’da x = 5,9, yani en uçta.
  2. Öbür uç x = −5,9: cos(2πt ÷ 1,77) = −1, yani 2πt ÷ 1,77 = π ve t = 1,77 ÷ 2 ≈ 0,88 gün (yaklaşık 21 saat).
  3. İlk konuma dönüş bir periyot sonra: 1,77 gün.

Yarım periyot ≈ 0,88 gün ve bir periyot ≈ 1,77 gün

7 · Ters trigonometrik fonksiyonlar

Değerden açıya

Bir açının sinüsünü bulmayı biliyoruz. Tersi: sinüsü 1/2 olan açı hangisi? Sonsuz tane var: π/6, 5π/6, π/6 + 2π… Bir fonksiyonun tersinin olması için bire bir ve örten olması gerekir. Bu yüzden tanım kümesini, fonksiyonun her değeri bir kez aldığı bir aralığa daraltırız.

−3π/2−π−π/2π/2π3π/2−11

sin x = 1/2: grafikte üç çözüm görünüyor (aslında sonsuz). Kalın parçada yalnız biri var.

arcsin(1/2) = π/6

arcsin: [−1, 1] → [−π/2, π/2]

−π−π/2π/2π3π/22π−11

cos x = −1/2: grafikte üç çözüm görünüyor (aslında sonsuz). Kalın parçada yalnız biri var.

arccos(−1/2) = 2π/3

arccos: [−1, 1] → [0, π]

−3π/2−π−π/2π/2π3π/2−3−2−1123

tan x = 1: grafikte üç çözüm görünüyor (aslında sonsuz). Kalın parçada yalnız biri var.

arctan(1) = π/4

arctan: ℝ → (−π/2, π/2)

Çözümlü örnek

arcsin(1/2) + arccos(−1/2) + arctan 1 toplamı kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. [−π/2, π/2] içinde sinüsü 1/2 olan açı π/6: arcsin(1/2) = π/6.
  2. [0, π] içinde kosinüsü −1/2 olan açı 2π/3: arccos(−1/2) = 2π/3.
  3. (−π/2, π/2) içinde tanjantı 1 olan açı π/4: arctan 1 = π/4.
  4. π/6 + 2π/3 + π/4 = 2π/12 + 8π/12 + 3π/12 = 13π/12.

13π/12

Çözümlü örnek

Eratosthenes (MÖ 3. yüzyıl), Güneş’in Siyene’de (bugünkü Asvan) tam tepede olduğu gün, öğle vakti İskenderiye’de ışınların düşeyle yaptığı açıyı ölçtü. O anda İskenderiye’de 1 m boyundaki dik bir çubuğun yaklaşık 12,6 cm gölge yaptığını düşünelim. Işınların düşeyle yaptığı açı kaç derecedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Çubuk, gölgesi ve ışın bir dik üçgen oluşturur: tan α = gölge ÷ boy = 0,126 ÷ 1.
  2. Açıyı değerden bulmak için ters fonksiyon: α = arctan 0,126 ≈ 7,2°.
  3. 360° ÷ 7,2° = 50: bu açı tam turun 1/50’si. Siyene 5.000 stadion uzakta olduğundan Dünya’nın çevresi 50 · 5.000 = 250.000 stadion.

α ≈ 7,2°; Dünya’nın çevresi ≈ 250.000 stadion. Stadionun bugünkü karşılığı kesin bilinmediği için bu sonucun kilometre değeri tartışmalıdır.

Kısa tarih

Kirişten fonksiyona

Hipparkos · MÖ 2. yüzyıl

Bilinen ilk kiriş tablosunu hazırladı: çemberde her açının gördüğü kirişin uzunluğu. Birim çemberde sin α, 2α açısının kirişinin yarısıdır.

Nasîrüddin Tûsî · 13. yüzyıl

Şekl-i Kattâ adıyla bilinen eserinde trigonometriyi gökbilimden ayrı bir dal olarak düzenledi; düzlemdeki üçgenler için sinüs teoremini açıkça ifade edip kanıtladı.

Cemşîd el-Kâşî · 15. yüzyıl

Semerkant’ta, Uluğ Bey’in rasathanesinde kosinüs teoremini üçgen hesaplarına uygun biçimde açıkça yazdı. Fransa’da bu teorem bugün de “El-Kâşî teoremi” diye anılır.

Leonhard Euler · 1748

Introductio in analysin infinitorum adlı kitabında sinüs ve kosinüsü yarıçapı 1 olan çemberde, bir sayının fonksiyonu olarak ele aldı; sin, cos, tan kısaltmaları onunla yaygınlaştı.

Sinüs kelimesinin kökeni · Tûsî ve trigonometri · Semerkant Rasathanesi ve el-Kâşî · Fourier serileri · Eratosthenes

Özet

Tek bakışta

P = (cos x, sin x)Birim çemberde açının bitim kenarının çemberi kestiği nokta.
tan x · cot x = 1tan = sin ÷ cos, cot = cos ÷ sin; sec = 1 ÷ cos, csc = 1 ÷ sin.
sin²x + cos²x = 11 + tan²x = sec²x ve 1 + cot²x = csc²x.
işaretlerI: hepsi +; II: sin +; III: tan, cot +; IV: cos +.
π ± x, 2π ± xAd değişmez; işaret, açının bölgesinden.
π/2 ± x, 3π/2 ± xAd değişir: sin ↔ cos, tan ↔ cot.
a² = b² + c² − 2bc · cos AKosinüs teoremi; A = 90° ise Pisagor.
a ÷ sin A = b ÷ sin BSinüs teoremi: kenarlar karşı açıların sinüsleriyle orantılı.
2π ve πsin ve cos’un periyodu 2π; tan ve cot’un periyodu π.
T = 2π ÷ |b|a · sin(bx + c) + d için; en büyük d + |a|, en küçük d − |a|.
arcsin, arccos[−1, 1] → [−π/2, π/2] ve [−1, 1] → [0, π].
arctanℝ → (−π/2, π/2).

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. cos 240° kaçtır?
2. sin x = −4/5 ve x, III. bölgede bir açı ise tan x kaçtır?
3. Aşağıdakilerden hangisi pozitiftir?
4. sin(π/2 + x) + cos(π − x) ifadesinin eşiti nedir?
5. Bir ABC üçgeninde b = 3, c = 8 ve m(A) = 60° ise a kaçtır?
6. Kenarları 5, 7 ve 8 olan üçgende 7 birimlik kenarın karşısındaki açı kaç derecedir?
7. Bir ABC üçgeninde a = 4, m(A) = 30° ve m(B) = 135° ise b kaçtır?
8. f(x) = 5 cos(3x − 1) + 2 fonksiyonunun periyodu kaçtır?
9. f(x) = 3 − 2 sin x fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?
10. arcsin(√3/2) + arctan(−1) kaçtır?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Birim çemberle trigonometrik fonksiyonlar; temel özdeşlikler, işaretler, indirgeme.
  • Kosinüs teoremini Pitagoras'tan türetip üçgende eksik kenar ya da açıyı bulmak.
  • Sinüs teoremi ve problemleri.
  • Trigonometrik fonksiyonların grafikleri ve periyot.
  • Sinüs, kosinüs ve tanjantın ters fonksiyonları.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Trigonometri: sık sorulanlar

Trigonometri kaçıncı sınıf konusu?

11. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Trigonometri” ünitesinde, “Trigonometrik Fonksiyonlar” adıyla yer alır.

Trigonometri TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (11. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 5 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Hikâyesi blogda

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları