Nasîrüddin Tûsî ve trigonometri: Astronominin yardımcısından bağımsız bir dala

Bugün trigonometri, lise matematiğinin kendi başına bir ünitesidir. Sinüs teoremini öğrenirken yıldızlardan, gezegenlerden ya da gökyüzü haritalarından söz etmeyiz. Oysa yüzyıllar boyunca trigonometri, astronomi kitaplarının içinde, gökyüzü hesaplarına yardım eden bir araç olarak yaşadı.

Bu durumu değiştiren en önemli adımlardan biri 13. yüzyılda atıldı. Nasîrüddin Tûsî, düz ve küresel üçgenlerle ilgili bilinen sonuçları toplayıp düzenledi, ispatlarıyla birlikte tek bir eserde sundu. Böylece trigonometri, astronominin bir alt başlığı olmaktan çıkıp kendi soruları ve yöntemleri olan bir matematik dalı gibi ele alındı. Bu yazıda Tûsî’nin hayatını, eserinin neden önemli olduğunu ve sinüs teoremini kendi örneğimizle adım adım göreceğiz.

Tûs’tan Merâga’ya fırtınalı bir hayat

Nasîrüddin Tûsî 1201’de, bugünkü İran’ın kuzeydoğusundaki Tûs’ta doğdu. Nişabur’da matematik, felsefe ve tıp okudu. Genç yaşta İsmailî kalelerine sığındı ve uzun yıllar, özellikle Alamut’ta, mantık, felsefe ve astronomi üzerine eserler yazdı.

1256’da Hülâgû komutasındaki Moğol ordusu Alamut’u ele geçirdi. Tûsî yeni yöneticilerin hizmetine girdi ve bilim danışmanı oldu. Hülâgû’nun desteğiyle, bugünkü İran’ın kuzeybatısındaki Merâga’da büyük bir rasathane kurdu. İnşaat 1259’da başladı. Burada yıllar süren gözlemler sonucunda Zîc-i İlhânî adlı astronomi tabloları hazırlandı. Tûsî 1274’te Bağdat yakınlarında öldü.

Merâga yalnızca bir gözlem yeri değildi; kütüphanesi ve farklı bölgelerden gelen bilginleriyle bir araştırma merkezi olarak çalıştı. Bu gelenek, iki yüzyıl sonra kurulan Semerkant Rasathanesi’ne kadar uzanır.

Astronominin gölgesindeki trigonometri

Tûsî’den önce trigonometrinin temel fikirleri zaten biliniyordu. Hint astronomlarından gelen sinüs, İslam dünyasında benimsenmiş ve geliştirilmişti. Bu yolculuğu Aryabhata ve sinüsün yolculuğu yazımızda anlatıyoruz.

Ancak bu bilgi dağınıktı. Gökyüzünde iki yıldız arasındaki açıyı ya da bir gezegenin konumunu hesaplamak için küresel üçgenler gerekir. Gökyüzünü bir küre gibi düşünürsek, bu kürenin yüzeyindeki üç noktayı büyük daire yaylarıyla birleştirerek küresel bir üçgen elde ederiz. Antik Çağ’dan kalan temel araç, Menelaos’a atfedilen ve dört büyük daire yayının oluşturduğu bir şekle dayanan teoremdi. Güçlüydü ama kullanımı zahmetliydi: Tek bir bilinmeyeni bulmak için altı uzunluğun oranlarını birbirine bağlamak gerekiyordu.

10. ve 11. yüzyıllarda Ebü’l-Vefâ el-Bûzcânî ve Ebû Nasr Mansûr gibi bilginler, küresel üçgenler için çok daha sade bir ilişki olan sinüs teoremini kullanmaya başladı. Bu teoremi ilk kimin bulduğu o dönemde de tartışma konusuydu ve bugün de kesin olarak bilinmiyor. Bu yeni sonuçlar, astronomi kitaplarının içinde ve kısa risalelerde dağınık hâlde duruyordu.

Tûsî’nin eseri: Bütün sistem bir arada

Tûsî, kısaca Şekl-i Kattâ adıyla anılan ve Arapça başlığı “kesen şeklin sırlarını açığa çıkarmak” anlamına gelen eserinde bu dağınık bilgiyi topladı. Eserin Arapça sürümü 1260 yılına tarihlenir.

Eseri önemli kılan birkaç özellik vardır:

• Konunun kendisi amaçtır. Eser, bir astronomi problemini çözmek için değil, üçgenlerin kenar ve açıları arasındaki ilişkileri sistemli biçimde incelemek için yazılmıştır.
• Düz ve küresel trigonometri birlikte ele alınır. Önce düzlemdeki üçgenler, sonra küre yüzeyindeki üçgenler işlenir.
• Olası bütün durumlar tek tek incelenir. Örneğin bir dik açılı küresel üçgende hangi üç öğe bilinirse diğerlerinin nasıl bulunacağı, ayrı durumlar hâlinde gösterilir.
• İspatlar verilir. Tûsî sonuçları yalnızca sıralamaz, gerekçelendirir; farklı bilginlerin katkılarını da anarak konunun kısa bir tarihini sunar.

Tarihçiler bu eseri, düz ve küresel trigonometrinin bütün sistemini bir arada sunan günümüze ulaşmış ilk kapsamlı anlatım olarak değerlendirir. Tûsî’nin trigonometriye “bağımsız bir dal” kimliği kazandırdığı söylenirken kastedilen budur: Yeni teoremler icat etmekten çok, alanı bir bütün olarak düzenlemek ve ona kendi temelini vermek.

Sinüs teoremini adım adım kuralım

Tûsî’nin eserinin merkezindeki fikirlerden biri olan sinüs teoremini, bugün lisede öğrendiğimiz düz üçgen biçimiyle ispatlayalım.

ABC üçgeninde A, B, C açılarının karşısındaki kenarlar sırasıyla a, b, c olsun.

1. C köşesinden AB kenarına bir yükseklik indirelim ve uzunluğuna h diyelim.
2. Bu yükseklik, üçgeni iki dik üçgene ayırır.
3. Soldaki dik üçgende hipotenüs b’dir ve A açısının karşısındaki kenar h’dir. Buradan h = b × sin A.
4. Sağdaki dik üçgende hipotenüs a’dır ve B açısının karşısındaki kenar yine h’dir. Buradan h = a × sin B.
5. İki ifade aynı uzunluğu verdiği için b × sin A = a × sin B olur.
6. Düzenlersek: a ÷ sin A = b ÷ sin B. Aynı işlemi başka bir köşeden yükseklik indirerek tekrarlarsak c ÷ sin C’nin de aynı değere eşit olduğunu görürüz.

Sonuç:

a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C

Bir üçgeni çözelim

Bir üçgende A = 30°, B = 45° ve a = 10 cm olsun. Diğer kenarları bulalım.

1. Üçüncü açı: C = 180° − 30° − 45° = 105°
2. b kenarı: b = a × sin B ÷ sin A = 10 × 0,7071 ÷ 0,5 ≈ 14,14 cm
3. c kenarı: c = a × sin C ÷ sin A = 10 × 0,9659 ÷ 0,5 ≈ 19,32 cm

Kontrol: En büyük açı 105°, en büyük kenar da onun karşısındaki 19,32 cm’dir. En küçük açı 30°, en küçük kenar da 10 cm’dir. Açılar ile karşılarındaki kenarların sıralaması tutarlıdır.

“Üçgeni çözmek”, yani bilinen birkaç öğeden geri kalanların hepsini bulmak, Tûsî’nin eserinin temel sorusudur. Küresel üçgenlerde de benzer bir ilişki vardır; ancak orada kenarlar da açı olarak ölçüldüğü için teorem, kenarların sinüsleriyle yazılır: sin a ÷ sin A = sin b ÷ sin B = sin c ÷ sin C.

Neden önemli?

Bir bilgiyi bir araç olmaktan çıkarıp bir bilim dalı olarak düzenlemek, matematikte sık rastlanan ve çok verimli bir adımdır.

• Kendi soruları olan bir alan. Trigonometri astronomiden ayrıldığında, sorular da değişti: Hangi bilgiler bir üçgeni tek türlü belirler? Hangi durumlarda iki farklı üçgen çıkabilir?
• Başka alanlara açılan kapı. Aynı teoremler zamanla harita yapımında, arazi ölçümünde, denizcilikte ve mühendislikte kullanıldı. Bir dağdan bakarak Dünya’nın büyüklüğünü hesaplama fikrini Bîrûnî ve Dünya’nın yarıçapı yazımızda bulabilirsiniz.
• Bugünkü müfredat. Sinüs teoremi ve kosinüs teoremi, AYT matematiğinde trigonometri başlığı altında yer alır. Konu listemizi ne öğrettiğimizi anlattığımız sayfada görebilirsiniz.
• Rotalar ve gökyüzü. Dünya üzerindeki iki şehir arasındaki en kısa rotanın uzunluğunu ya da gökyüzünde iki yıldız arasındaki açıyı hesaplamak için bugün de küresel trigonometri formülleri kullanılır.

Kapanış

Nasîrüddin Tûsî, savaşların ve hanedan değişikliklerinin ortasında, dağınık hâldeki bir bilgi birikimini sabırla bir araya getirdi. Onun eserinden sonra trigonometri, gökyüzü hesaplarının arka odasında duran bir yardımcı değil, kendi teoremleri ve ispatları olan bir matematik dalı olarak okunabildi. Sinüs teoremini bir sonraki kullanışınızda, bu teoremin bir zamanlar gökyüzünü haritalamak için yazıldığını hatırlayın.