Müzik ve oranlar: Tel uzunluğu, oktav, beşli ve eşit aralıklı akortta ¹²√2

Bir gitar telini parmağınızla tam ortasından bastırıp çaldığınızda, açık telin sesine çok benzeyen ama daha ince bir ses duyarsınız. İki ses o kadar uyumludur ki müzikte aynı adla anılırlar. Aradaki fark bir oktavdır ve arkasında basit bir oran vardır: 2:1.

Müzik ile matematik arasındaki bağ bu tür oranlarla başlar. Bu yazıda tel uzunluğu ile ses yüksekliği arasındaki ilişkiyi kuracak, oktav (2:1), beşli (3:2) ve dörtlü (4:3) aralıklarını hesaplayacağız. Sonra bu tatlı oranların neden tam olarak birbirine uymadığını ispatlayacak ve bugün piyanoların çoğunun kullandığı eşit aralıklı akortun bu sorunu ¹²√2 sayısıyla nasıl çözdüğünü göreceğiz.

Ses, frekans ve tel uzunluğu

Titreşen bir tel, havada basınç dalgaları oluşturur. Telin saniyedeki titreşim sayısına frekans denir ve hertz (Hz) ile ölçülür. Kulağımız frekansı ses yüksekliği olarak algılar: Frekans büyüdükçe ses incelir.

Aynı malzemeden yapılmış ve aynı kuvvetle gerilmiş bir telde, titreşen kısmın uzunluğu kısaldıkça frekans artar. İlişki ters orantıdır:

f ∝ 1 ÷ L

Yani uzunluğu yarıya indirmek frekansı iki katına çıkarır; uzunluğu üçte ikisine indirmek frekansı 3/2 katına çıkarır.

60 cm uzunluğunda bir tel düşünelim ve açık hâlinin frekansı 220 Hz olsun:

Titreşen uzunluk	Uzunluk oranı	Frekans	Aralık
60 cm	1	220 Hz	başlangıç
45 cm	3/4	220 × 4/3 ≈ 293,3 Hz	dörtlü (4:3)
40 cm	2/3	220 × 3/2 = 330 Hz	beşli (3:2)
30 cm	1/2	220 × 2 = 440 Hz	oktav (2:1)

Antik Yunan’da bu ilişkiler, tek telli ve altına kaydırılabilir bir köprü yerleştirilmiş basit bir düzenekle incelendi. Geleneksel anlatı bu keşfi Pitagoras’a bağlar. Pitagoras’ın bir demirci dükkânında farklı ağırlıktaki çekiçlerin sesini dinleyerek oranları bulduğu hikâyesi ise bir rivayettir ve fiziksel olarak da doğru değildir: Bir çekicin ağırlığını iki katına çıkarmak, bir telin boyunu yarıya indirmekle aynı etkiyi yapmaz. Pitagoras ve öğrencileriyle ilgili bilinenleri ve bilinmeyenleri Pitagoras teoreminin tarihi yazımızda ayrıca ele alıyoruz.

Basit oranlar neden uyumlu duyulur?

Gerçek bir tel yalnızca tek bir frekansta titreşmez. Temel frekansın yanında onun 2, 3, 4, … katı olan frekanslarda da daha zayıf titreşimler üretir. Bunlara harmonikler denir.

220 Hz ile 330 Hz’lik iki sesin harmoniklerini yan yana yazalım:

• 220 Hz: 220, 440, 660, 880, 1100, 1320, …
• 330 Hz: 330, 660, 990, 1320, 1650, …

Frekans oranı 3:2 olduğu için iki sesin pek çok harmoniği tam olarak çakışır. Oktavda (2:1) ise yüksek sesin bütün harmonikleri, alçak sesin harmonikleri arasında zaten vardır. Basit oranlı aralıkların kulağa uyumlu gelmesinin yaygın bir fiziksel açıklaması budur. Yine de uyum algısının kültür ve alışkanlıkla da ilgili olduğunu unutmamak gerekir.

Karmaşık seslerin basit dalgaların toplamı olarak yazılabilmesi fikrini Fourier serileri yazımızda anlatıyoruz.

Beşlilerle bir gam kurmak ve kapanmayan çember

Yalnızca 3:2 ve 2:1 oranlarını kullanarak bir gam kurmayı deneyelim. Bir notadan başlayıp art arda beşli çıkalım; her adımda frekansı 3/2 ile çarpalım. Nota çok yükselince bir oktav aşağı indirelim, yani 2’ye bölelim.

12 kez beşli çıktığımızda, 7 oktav yukarıda başladığımız notaya geri dönmeyi umarız. Hesap şöyle:

• 12 beşli: (3/2)¹² = 531 441 ÷ 4096 ≈ 129,746
• 7 oktav: 2⁷ = 128

İki değer çok yakın ama eşit değil. Oranları:

129,746 ÷ 128 ≈ 1,01364

Bu küçük farka Pitagoras koması denir. Beşlilerle kurulan çember kapanmaz, ucu biraz taşar.

Hiçbir zaman kapanmayacağının ispatı

Belki 12 değil de başka bir sayıda beşli işe yarar? Hayır. Bunu tek satırda ispatlayabiliriz.

m tane beşlinin tam olarak k tane oktava eşit olduğunu varsayalım:

(3/2)ᵐ = 2ᵏ

İki tarafı 2ᵐ ile çarparsak 3ᵐ = 2ᵏ⁺ᵐ olur. Sol taraf tek sayıların çarpımı olduğu için tek bir sayıdır. Sağ taraf ise m ≥ 1 için çift bir sayıdır. Tek bir sayı çift bir sayıya eşit olamaz. Demek ki hiçbir m ≥ 1 için beşliler oktavlarla tam olarak çakışmaz.

Bu, müzik tarihinde yüzyıllarca süren akort tartışmalarının matematiksel kaynağıdır: Saf beşliler ve saf oktavlar aynı sistemde tam olarak bir arada kullanılamaz.

Eşit aralıklı akort: ¹²√2

Bir çözüm, oktavı eşit oranlı 12 adıma bölmektir. Her yarım sesin frekans oranına r diyelim. 12 adım bir oktav etmeli:

r¹² = 2, dolayısıyla r = ¹²√2 ≈ 1,059463

Bu sistemde her yarım ses bir öncekinin yaklaşık 1,0595 katıdır. Adımlar frekans olarak eşit fark değil, eşit oran oluşturur. Bu yüzden frekanslar aritmetik değil, geometrik bir dizi izler.

Günümüzde uluslararası akort standardı, orta do’nun üstündeki la notasını (A4) 440 Hz kabul eder. Buradan başlayarak:

Yarım ses	Nota	Frekans (r ≈ 1,059463)
0	La (A4)	440,00 Hz
1	La diyez	466,16 Hz
2	Si	493,88 Hz
3	Do	523,25 Hz
5	Re	587,33 Hz
7	Mi	659,26 Hz
12	La (A5)	880,00 Hz

Eşit aralıklı beşli 7 yarım sestir:

r⁷ ≈ 1,498307

Saf beşli 1,5’tir. Fark binde birden küçüktür; 440 Hz’lik la’nın üzerindeki mi, saf beşlide 660 Hz olurdu, eşit akortta 659,26 Hz’dir. Buna karşılık büyük üçlü (4 yarım ses) r⁴ ≈ 1,2599 olur; saf büyük üçlünün oranı 5/4 = 1,25’tir. Üçlülerdeki sapma beşlilerdekinden belirgin biçimde büyüktür.

Bu sistemin kesin sayısal hesabı 16. yüzyılın sonlarında birbirinden bağımsız olarak yapıldı: Çin’de 1584’te prens Zhu Zaiyu, Avrupa’da ise yaklaşık aynı yıllarda Flaman bilgin Simon Stevin. Stevin’in ondalık sayılara katkısını ondalık kesirler yazımızda bulabilirsiniz.

Gitar perdeleri neden sıklaşır?

Eşit akortta her perde, titreşen tel uzunluğunu 1 ÷ r ≈ 0,9439 ile çarpar. 60 cm’lik bir telde:

• 1. perde: 60 × 0,9439 ≈ 56,63 cm
• 7. perde: 60 ÷ r⁷ ≈ 40,05 cm (saf beşlideki 40 cm’ye çok yakın)
• 12. perde: 60 ÷ 2 = 30 cm, telin tam ortası

Uzunluk her adımda aynı oranda kısaldığı için perdeler arasındaki mesafe sapa doğru gittikçe daralır. Gitarın sapına bakınca üstel azalmayı gözünüzle görürsünüz.

Cent: Aralıkları logaritmayla ölçmek

Oranları çarpmak yerine toplamak daha kolaydır. Bunun için logaritma kullanılır. Müzikte oktav 1200 eşit parçaya, cent adı verilen birime bölünür. Frekans oranı k olan bir aralığın büyüklüğü:

cent = 1200 × log₂(k)

• Oktav: 1200 × log₂(2) = 1200 cent
• Eşit aralıklı yarım ses: 1200 × log₂(¹²√2) = 100 cent
• Saf beşli: 1200 × log₂(1,5) ≈ 701,96 cent
• Eşit aralıklı beşli: 700 cent
• Pitagoras koması: 1200 × log₂(1,01364) ≈ 23,46 cent

Cent ile bakınca uzlaşma netleşir: Eşit akort her beşliyi yaklaşık 2 cent daraltır. 12 beşlide toplam daralma yaklaşık 12 × 1,955 ≈ 23,46 cent eder; bu da tam olarak Pitagoras koması kadardır. Koma, 12 beşliye eşit olarak paylaştırılmıştır.

Çarpmayı toplamaya çeviren bu fikrin nasıl doğduğunu Napier ve logaritma yazımızda anlatıyoruz.

Neden önemli?

Eşit aralıklı akortun en büyük kazancı esnekliktir: Bir parça, sesleri yeniden ayarlamaya gerek kalmadan herhangi bir tondan başlatılabilir. Bedeli ise hiçbir aralığın (oktav dışında) tam olarak saf olmamasıdır. Bazı müzik gelenekleri ve bazı topluluklar saf oranlara daha yakın akortları bugün de tercih eder; Türk makam müziğinde de oktavın 12’den farklı sayıda parçaya bölündüğü sistemler kullanılır.

Matematik açısından müzik; oran ve orantıyı, üslü ve köklü sayıları, geometrik dizileri, logaritmayı ve bir ispat örneğini tek bir konuda buluşturur. Tek-çift sayı ispatı, √2’nin irrasyonel olduğunu gösteren ispatla aynı aileye aittir. ¹²√2 de irrasyonel bir sayıdır ve eşit akortun “tam” hiçbir basit orana denk gelmemesinin nedeni budur.

Kapanış

Bir teli yarıya bölmek oktavı, üçte ikisine indirmek beşliyi verir. Ama bu güzel oranlar bir çember hâlinde kapanmaz; aradaki küçük boşluk, müzikçileri ve matematikçileri yüzyıllarca uğraştırdı. Eşit aralıklı akort, oktavı 12 eşit orana bölerek bu boşluğu bütün aralıklara paylaştırır. Bir dahaki sefere bir piyanonun tuşlarına ya da gitarın daralan perdelerine baktığınızda, orada ¹²√2 sayısının saklı olduğunu hatırlayabilirsiniz.