Pitagoras teoremi: Pitagoras'tan önce ve sonra bir teoremin yolculuğu

Matematikte adı en çok bilinen teorem hangisidir diye sorsak, cevapların çoğu aynı olur: Pitagoras teoremi. Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir; kısaca a² + b² = c². İşin ilginç yanı, bu bağıntının Pitagoras’tan en az bin yıl önce kullanıldığına dair izler bulunması ve Pitagoras’ın onu gerçekten ispatlayıp ispatlamadığının bilinmemesidir.

Bu yazıda teoremin Babil’den Hindistan’a, Çin’den Yunan dünyasına uzanan yolculuğunu izleyeceğiz. “Bilmek” ile “ispatlamak” arasındaki farkı konuşacak ve teoremin en sade ispatlarından birini kendi sayılarımızla adım adım kuracağız.

Teorem tam olarak ne söylüyor?

Dik kenarları a ve b, hipotenüsü c olan bir dik üçgen düşünelim. Teorem şunu söyler:

a² + b² = c²

Bu bir sayı bağıntısı olduğu kadar bir alan bağıntısıdır. Her kenarın üzerine bir kare çizersek, iki küçük karenin alanları toplamı büyük karenin alanına eşit olur. Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir üçgen için:

6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²

Hipotenüs 10 cm çıkar. Teoremin tersi de doğrudur: Bir üçgenin kenarları bu bağıntıyı sağlıyorsa üçgen dik üçgendir. Kenarları 5, 12 ve 13 olan bir üçgende 25 + 144 = 169 olduğundan en uzun kenarın karşısındaki açı 90°’dir. Bu yüzden bağıntı, dik açı kurmak ve kontrol etmek için de kullanılır.

Pitagoras hakkında ne biliyoruz?

Pitagoras yaklaşık MÖ 570’te Sisam (Samos) adasında doğdu. Daha sonra güney İtalya’daki Kroton’a yerleşti ve yarı dinsel, yarı felsefi bir topluluk kurdu. MÖ 490 dolaylarında öldüğü düşünülür.

Pitagoras’tan günümüze tek bir yazılı satır kalmadı. Topluluğun gizliliğe önem vermesi ve buluşları topluca ustaya atfetme alışkanlığı, hangi fikrin kime ait olduğunu ayırmayı neredeyse imkânsız kılar. Bu nedenle teoremin Pitagoras ya da çevresi tarafından ilk kez ispatlanmış olabileceği söylenir; ama bu kesin değildir. Adının teoremle bağı, büyük ölçüde sonraki yüzyıllarda kurulmuştur.

Babil: Kil tabletlerdeki üçlüler

Mezopotamya’da Eski Babil dönemine ait tabletler, dik üçgen bağıntısının pratikte bilindiğini açıkça gösterir. Bir karenin köşegenini kenarın √2 katı olarak hesaplayan bir öğrenci tableti bunlardan biridir. Bu tabletin sayılarını Babillilerin 60 tabanı yazımızda çözüyoruz.

Daha da dikkat çekici olanı, bugün Columbia Üniversitesi’nde bulunan ve Plimpton 322 adıyla bilinen tablettir. Büyük olasılıkla Larsa kentinden gelen tablet, yaklaşık MÖ 1800 dolaylarına tarihlenir. Satırlarında a² + b² = c² bağıntısını sağlayan sayı üçlüleriyle ilişkili değerler bulunur. Üstelik bunlar 3, 4, 5 gibi küçük sayılar değil, binleri bulan üçlülerdir. Böyle üçlüleri rastgele denemeyle bulmak zordur; bir üretme yöntemi kullanılmış olmalıdır. Tabletin bir ders malzemesi mi, bir hesap tablosu mu yoksa başka bir amaca yönelik mi olduğu ise araştırmacılar arasında hâlâ tartışılıyor.

Hindistan: Sunak ölçülerindeki kural

Hindistan’da Vedik dönemde yazılan Sulba Sutralar, törenlerde kullanılan sunakların belirli biçim ve alanlarda kurulması için geometri kuralları içerir. Bunların en eskisi olarak kabul edilen Baudhayana Sulba Sutra’da, bir dikdörtgenin köşegeni üzerine kurulan karenin, iki kenar üzerine kurulan karelerin toplamı kadar alan oluşturduğunu söyleyen bir kural vardır. Bu, teoremin sözel bir ifadesidir.

Metnin tarihi kesin değildir. Genellikle MÖ 800–500 arası önerilir; ancak tarihlendirmeler MÖ 8. yüzyıl ile MÖ 2. yüzyıl arasında geniş bir aralığa yayılır.

Çin: Gougu geleneği

Çin’de dik üçgenin kısa dik kenarına “gou”, uzun dik kenarına “gu” denir. Bu yüzden bağıntı gougu kuralı olarak bilinir. Astronomi ve ölçmeyle ilgili eski bir metin olan Zhoubi Suanjing’de bu bağıntı ele alınır. Metin yüzyıllar içinde birikmiştir; bugünkü biçimi büyük olasılıkla Han dönemine aittir.

Çin matematiğinin temel kitaplarından Dokuz Bölüm’ün son bölümü de tamamen dik üçgen problemlerine ayrılmıştır. MS 263’te bu kitaba yorum yazan Liu Hui, bağıntıyı şekilleri parçalayıp yeniden yerleştirmeye dayanan bir yöntemle gerekçelendirdi. Bu kitabı ve negatif sayılarla ilgili şaşırtıcı kurallarını Dokuz Bölüm yazımızda anlatıyoruz.

Mısır’daki halatlar ne olacak?

Mısırlı ölçücülerin 3, 4 ve 5 birimlik aralıklarla düğümlenmiş halatlarla dik açı kurduğu sık anlatılır. Ancak bunu doğrudan gösteren bir Mısır metni bilinmiyor. Bu yüzden bu anlatıyı kanıtlanmış bir bilgi olarak değil, akla yatkın ama belgesiz bir iddia olarak ele almak gerekir.

Bilmek ile ispatlamak arasındaki fark

Birçok özel üçgende a² + b² = c² bağıntısının doğru çıkması, onun her dik üçgen için doğru olduğunu göstermez. İspat, bağıntının istisnasız her durumda neden doğru olduğunu açıklar. Yunan geleneğinde bu türden bir ispat, Öklid’in Elemanlar adlı eserinde birinci kitabın sonlarına doğru yer alır. Öklid’in kitabının yapısını merak ediyorsanız Elemanlar üzerine yazımıza bakabilirsiniz.

Şimdi alanlara dayanan sade bir ispatı adım adım kuralım.

1. Dik kenarları a ve b, hipotenüsü c olan dört eş dik üçgen alalım.
2. Bu dört üçgeni, kenar uzunluğu a + b olan büyük bir karenin içine, her köşeye bir üçgen gelecek biçimde yerleştirelim. Ortada, kenarları c olan eğik bir kare boşluk kalır.
3. Ortadaki şeklin gerçekten kare olduğunu görelim: Kenarlarının hepsi c’dir. Her köşesinde, bir üçgenin iki dar açısıyla birlikte düz bir açı (180°) oluşur. Dik üçgenin iki dar açısının toplamı 90° olduğundan köşedeki açı 180° − 90° = 90°’dir.
4. Büyük karenin alanını iki yoldan yazalım. Bir yandan (a + b)²’dir. Öte yandan dört üçgenin alanı ile ortadaki karenin alanının toplamıdır: 4 × (a × b ÷ 2) + c².
5. İki ifadeyi eşitleyelim: (a + b)² = 2ab + c².
6. Sol tarafı açalım: a² + 2ab + b² = 2ab + c².
7. İki taraftan 2ab’yi çıkaralım: a² + b² = c².

Sayılarla kontrol edelim: a = 3, b = 4 için büyük karenin alanı 7² = 49’dur. Dört üçgenin toplam alanı 4 × 6 = 24, ortadaki karenin alanı 5² = 25’tir. 24 + 25 = 49.

Bu teoremin yüzlerce farklı ispatı bulunur. Bir ispatın neden bu kadar değerli olduğunu ispat nedir yazımızda daha ayrıntılı konuşuyoruz.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Koordinat geometrisi: İki nokta arasındaki uzaklık formülü, doğrudan bu teoremden gelir. (1, 2) ile (4, 6) noktaları arasındaki uzaklık √(3² + 4²) = √25 = 5’tir.
• Ekranlar ve ölçüler: Eni 40 cm, boyu 30 cm olan bir ekranın köşegeni √(1600 + 900) = 50 cm’dir.
• İnşaat ve marangozluk: Bir köşenin gerçekten dik olup olmadığını anlamak için bir kenara 60 cm, diğerine 80 cm işaretlenir; iki işaret arası 100 cm ise köşe diktir.
• Lise matematiği: Dik üçgen, trigonometri, analitik geometri ve katı cisimlerde köşegen hesapları bu teoreme dayanır. Sınavlarda da en sık kullanılan araçlardan biridir.

Kapanış

Pitagoras teoremi tek bir kişinin tek bir anda bulduğu bir sonuç değildir. Babil yazıcıları onu hesaplarında kullandı, Hint rahipleri sunak ölçülerine yazdı, Çinli matematikçiler kendi geleneklerinde gerekçelendirdi, Yunan geometriciler de onu bir ispat zincirinin halkası yaptı. Teoremin adı bir kişiyi anar, ama hikâyesi birçok uygarlığın ortak emeğini anlatır.