İspat nedir, neden önemlidir? Örnekler neden yetmez?

1 + 3 = 4. 1 + 3 + 5 = 9. 1 + 3 + 5 + 7 = 16. Bir örüntü görüyor musunuz? Ardışık tek sayıları topladıkça hep bir tam kare çıkıyor. On örnek deneseniz on örnekte de doğru çıkar. Peki bu, kuralın her zaman doğru olduğunu gösterir mi?

Matematikte cevap hayırdır. Bir iddianın her durumda doğru olduğunu söyleyebilmek için örnek toplamak yetmez; bir ispat gerekir. İspat, kabul edilmiş tanım ve gerçeklerden başlayıp her adımı bir öncekinden mantıkla çıkararak iddiaya ulaşan bir akıl yürütmedir. Bu yazıda önce örneklerin bizi nasıl yanıltabileceğini göreceğiz, sonra yukarıdaki tek sayılar kuralını iki farklı yoldan ispatlayacağız.

Örnekler neden yetmez?

Çemberdeki bölgeler

Bir çemberin üzerine noktalar koyalım ve her nokta çiftini düz bir çizgiyle (kirişle) birleştirelim. Noktaları, üç kiriş aynı noktada kesişmeyecek biçimde yerleştirelim. Çemberin içi kaç bölgeye ayrılır?

Nokta sayısı	Bölge sayısı
1	1
2	2
3	4
4	8
5	16

Tablo çok açık bir tahmin veriyor: Her yeni nokta bölge sayısını ikiye katlıyor, yani 6 noktada 32 bölge olmalı. Dikkatle çizip saydığınızda ise 31 bölge bulursunuz. Kapaktaki sağ çizim bu durumu gösteriyor. 7 noktada da beklenen 64 değil, 57 bölge vardır. Beş örnekte kusursuz çalışan örüntü altıncıda çöker.

Asal sayı üreten bir formül mü?

n² + n + 41 ifadesini ele alalım. n = 0 için 41, n = 1 için 43, n = 2 için 47, n = 3 için 53 çıkar. Hepsi asal. Bu formül n = 0’dan n = 39’a kadar 40 ardışık değerin hepsinde asal sayı verir. Kırk örnekten sonra “Bu formül hep asal üretir” demek çok cazip.

Oysa n = 40 için:

40² + 40 + 41 = 1600 + 81 = 1681 = 41 × 41

1681 asal değildir. Aslında bunu hesaplamadan da görebilirdik. n = 40 yazınca ifade 40 × 41 + 41 = 41 × 41 biçimine girer. Biraz düşünmek, kırk örneğin gösteremediğini hemen göstermiş olur.

Yüz milyonlarca örnekte doğru, yine de yanlış: Pólya sanısı

Matematikte doğru olduğu düşünülen ama henüz ispatlanmamış iddialara sanı denir. Macar matematikçi George Pólya’nın adıyla anılan ve 1919’da ortaya atılan bir sanı, örneklerin ne kadar uzun süre yanıltabileceğini gösterir.

Her pozitif tam sayıyı asal çarpanlarına ayıralım ve çarpanları tekrarlarıyla birlikte sayalım. 12 = 2 × 2 × 3 olduğundan 3 çarpanı vardır (tek). 10 = 2 × 5 olduğundan 2 çarpanı vardır (çift). 1’in hiç asal çarpanı yoktur; sıfır çift sayıldığı için 1 çift gruptadır.

Sanı şunu söyler: 1’den herhangi bir n sayısına kadar olan tam sayılar arasında, tek sayıda asal çarpanı olanlar hiçbir zaman çift sayıda olanlardan az değildir.

Küçük bir kontrol yapalım. 1’den 10’a kadar:

• Tek sayıda çarpanı olanlar: 2, 3, 5, 7, 8 → 5 sayı
• Çift sayıda çarpanı olanlar: 1, 4, 6, 9, 10 → 5 sayı

Eşitlik var, sanı bozulmuyor. 1’den 20’ye kadar tek grupta 12, çift grupta 8 sayı bulunur. 100’e kadar sayı 51’e 49’dur. Hesap makineleri ve bilgisayarlar bu kontrolü çok büyük sayılara kadar sürdürdü ve sanı uzun süre ayakta kaldı.

Ancak 1958’de sanının yanlış olduğu kanıtlandı. İlk gösterim, çok büyük bir karşı örneğin var olduğunu ortaya koyuyordu. Daha sonra somut karşı örnekler hesaplandı. 1980’de bulunan en küçük karşı örnek 906 150 257’dir. Yani 1’den 906 150 256’ya kadar her n için sanı doğru çıkar; ilk kez bu sayıda bozulur. Dokuz yüz milyonun üzerindeki olumlu örnek, iddianın doğru olduğunu göstermeye yetmemiştir.

Tek bir karşı örnek yeter

İspatla ilgili önemli bir asimetri var. “Her n için doğrudur” diyen bir iddiayı çürütmek için tek bir karşı örnek yeter. Onu kanıtlamak için ise bütün sonsuz durumu birden kapsayan bir akıl yürütme gerekir. Sayıları tek tek denemek, sonsuz sayıda durumu hiçbir zaman bitiremez.

Bu yüzden matematikçiler örnekleri küçümsemez. Örnekler sanı üretmek ve fikir edinmek için çok değerlidir. Ama bir sanının teorem olabilmesi için ispatlanması gerekir.

Adım adım bir ispat: Ardışık tek sayıların toplamı

Şimdi girişteki iddiayı açıkça yazalım:

İddia: Her pozitif tam sayı n için 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

Burada 2n − 1, n’inci tek sayıdır. n = 4 için 2 × 4 − 1 = 7 olur ve toplam 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² çıkar.

Birinci yol: Resimle düşünmek

Kapaktaki sol çizime bakın. 1 × 1’lik bir kareyle başlayalım. Onu 2 × 2’lik kareye büyütmek için sağına ve üstüne L biçiminde 3 birim kare eklemek gerekir. 2 × 2’lik kareyi 3 × 3’lüğe tamamlamak için 5 birim karelik bir L daha ekleriz.

Genel adım şudur: (k − 1) × (k − 1)’lik bir kareyi k × k’lik kareye tamamlamak için bir sütuna k, bir satıra k kare ekleriz. Köşedeki kare iki kez sayıldığı için eklenen toplam k + k − 1 = 2k − 1 olur. Bu tam olarak k’inci tek sayıdır. Böylece n tane L katmanı üst üste konunca n × n’lik kare oluşur ve toplam n² olur.

Bu resim bir örnek değil, her n için aynı biçimde tekrarlanan bir adımdır. Bu yüzden ispat sayılır.

İkinci yol: Cebirle eşleştirmek

Toplama T diyelim ve aynı toplamı bir kez de tersten yazalım:

T = 1 + 3 + 5 + … + (2n − 3) + (2n − 1) T = (2n − 1) + (2n − 3) + … + 5 + 3 + 1

İki satırı alt alta toplayalım. Her sütunda iki sayının toplamı aynıdır:

1 + (2n − 1) = 2n, 3 + (2n − 3) = 2n, …

Toplam n sütun olduğundan 2T = n × 2n = 2n² olur. İki tarafı 2’ye bölersek T = n² buluruz.

İki ispat da her n için geçerlidir. Ne kadar büyük bir n seçerseniz seçin, akıl yürütmenin hiçbir adımı değişmez.

İspat türlerine kısa bir bakış

Lise matematiğinde birkaç ispat türüyle karşılaşırsınız:

• Doğrudan ispat: Tanımdan başlayıp adım adım sonuca gitmek. Örneğin iki tek sayıyı 2a + 1 ve 2b + 1 diye yazarsak toplamları 2(a + b + 1) olur; bu da çifttir.
• Olmayana ergi: İddianın yanlış olduğunu varsayıp bir çelişkiye ulaşmak. Asal sayıların sonsuz olduğunun klasik ispatı böyledir; bu ispatın kökleri Öklid’in Elemanlar’ına uzanır. √2’nin bir kesir olarak yazılamayacağı da bu yolla gösterilir; ayrıntılar karekök 2 yazımızda.
• Tümevarım: İddiayı n = 1 için gösterip, n için doğruysa n + 1 için de doğru olduğunu kanıtlamak. Yukarıdaki L katmanları aslında bu fikrin görsel hâlidir.
• Karşı örnek: “Her zaman” diyen bir iddiayı tek bir örnekle çürütmek.

Neden önemli?

İspat yalnızca matematikçilerin uğraşı değildir. Bir köprünün taşıyacağı yükü hesaplayan yazılımın, bir şifreleme yönteminin ya da bir uçuş kontrol programının bazı parçalarının her durumda doğru çalıştığını göstermek için de benzer akıl yürütmeler kullanılır. Test etmek, bazı durumları dener. İspat ise bütün durumları kapsar.

Okulda ispat, “mantık” konusunun ve geometri sorularındaki gerekçelendirmenin temelidir. YKS’de bir ifadenin “her zaman doğru” olup olmadığını soran sorularda, tek bir karşı örnek bulmak çoğu zaman en hızlı yoldur. Tersine, bir kuralın neden doğru olduğunu anlamak onu ezberlemekten çok daha kalıcıdır.

Yüzyıllarca ispatlanamayan bir iddianın sonunda nasıl kanıtlandığını merak ederseniz Fermat’nın Son Teoremi yazımız bu yolculuğu anlatıyor.

Kapanış

Örnekler bize nereye bakacağımızı gösterir; ispat ise orada gerçekten ne olduğunu. Çemberdeki 31 bölge ya da 906 150 257 sayısı, sezginin ve çok sayıda denemenin bile yanılabileceğini hatırlatır. Bir ispat ise bir kez doğru kurulduğunda, kontrol edilecek sonsuz durumu tek bir akıl yürütmeyle kapatır.