Üstel büyüme sezgimizi neden şaşırtır? Satranç tahtası, kâğıt katlama ve büyük sayılar
Her adımda ikiye katlanan bir miktar, başta önemsiz görünür, sonra akıl almaz boyutlara ulaşır. Satranç tahtası rivayeti, kâğıt katlama hesabı ve büyük sayıları hissetmenin yolları.
Yazan: matematikce editörlüğü 6 dk okuma
İki seçeneğiniz var. Birincisinde 30 gün boyunca her gün 1000 adım yürüyeceksiniz. İkincisinde ilk gün 1 adım atacak, sonra her gün bir önceki günün iki katı kadar yürüyeceksiniz. Hangisi daha yorucu olur? İlk hafta ikinci seçenek çok kolay görünür: 7. gün yalnızca 64 adım. Oysa 30. gün atılması gereken adım sayısı 2²⁹, yani 536 870 912’dir. Bu, Dünya’nın çevresini birkaç kez dolaşmak demektir.
Bu fark, doğrusal büyüme ile üstel büyüme arasındaki farktır. Sezgimiz çoğu zaman doğrusal düşünür: “Her gün biraz daha.” Üstel büyümede ise her adımda eklenen miktar da büyür. Bu yazıda satranç tahtası rivayetini, kâğıt katlama hesabını ve büyük sayıları hissetmenin yollarını kendi hesaplarımızla inceleyeceğiz.
Toplamak ile çarpmak arasındaki fark
Doğrusal büyümede her adımda aynı miktar eklenir. Üstel büyümede her adımda aynı sayıyla çarpılır.
| Adım | Doğrusal (her adımda +10) | Üstel (her adımda ×2) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 11 | 2 |
| 3 | 31 | 8 |
| 5 | 51 | 32 |
| 10 | 101 | 1024 |
| 20 | 201 | 1 048 576 |
İlk adımlarda doğrusal büyüme öndedir. 5. adımda bile 51’e karşı 32 vardır. Ama 7. adımda üstel büyüme öne geçer (128’e karşı 71) ve bir daha yakalanamaz. Üstel büyümenin sezgimizi şaşırtmasının ilk nedeni budur: Başlangıçta yavaş görünür.
Satranç tahtası ve buğday rivayeti
Satrancın icadıyla ilgili yüzyıllardır anlatılan bir rivayet vardır. Hikâyenin farklı sürümleri bulunur ve tarihî bir olay olduğuna dair kanıt yoktur. Anlatıya göre oyunu icat eden bilge, hükümdardan ödül olarak buğday ister: satranç tahtasının ilk karesine 1 tane, ikincisine 2, üçüncüsüne 4 buğday tanesi konacak, her kareye bir öncekinin iki katı yerleştirilecektir. Hükümdar bu isteği önce çok mütevazı bulur.
Hesaplayalım. k’inci karedeki tane sayısı 2^(k − 1)’dir. Son kare olan 64. karede:
2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808 tane
Bütün tahtadaki toplam için güzel bir kısayol var. Küçük tahtalarda deneyelim:
- 1 kare: 1 = 2¹ − 1
- 2 kare: 1 + 2 = 3 = 2² − 1
- 3 kare: 1 + 2 + 4 = 7 = 2³ − 1
- 4 kare: 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 2⁴ − 1
Bunun nedeni şudur: Toplama 1 eklersek 1 + 1 = 2 olur, 2 + 2 = 4 olur, 4 + 4 = 8 olur. Her adımda toplam bir sonraki ikinin kuvvetine tamamlanır. Böylece:
1 + 2 + 4 + … + 2⁶³ = 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615
Bu toplamdan ilginç bir sonuç çıkar. Her karedeki miktar, kendinden önceki bütün karelerin toplamından 1 fazladır. Yani 64. kare tek başına tahtanın geri kalanından daha fazla buğday içerir.
Bu ne kadar buğday?
Bir varsayım yapmamız gerekir. Buğday tanelerinin kütlesi çeşide göre değişir; tek bir tane kabaca 0,03 ile 0,05 gram arasındadır. Ortalama 0,04 gram alalım:
- 1,8 × 10¹⁹ tane × 0,04 g ≈ 7,4 × 10¹⁷ g
- 1 ton = 10⁶ g olduğundan ≈ 7,4 × 10¹¹ ton
- Yani yaklaşık 740 milyar ton.
Dünyadaki yıllık buğday üretimi son yıllarda yaklaşık 800 milyon ton mertebesindedir. Tane kütlesini 0,03 ile 0,05 gram arasında değiştirirsek, tahtadaki buğday bugünkü yıllık dünya üretiminin kabaca 700 ile 1150 katı arasında çıkar. Rivayetteki hükümdarın bu ödülü ödeyememesi hiç şaşırtıcı değildir.
Kâğıt katlama: 42 katta Ay’a mı?
Kalınlığı 0,1 milimetre olan bir kâğıt düşünelim. Her katlamada kalınlık ikiye katlanır. n katlamadan sonra kalınlık:
Kalınlık = 0,1 mm × 2ⁿ
| Katlama | Kalınlık |
|---|---|
| 7 | 12,8 mm |
| 10 | yaklaşık 10 cm |
| 20 | yaklaşık 105 m |
| 30 | yaklaşık 107 km |
| 42 | yaklaşık 440 000 km |
Dünya ile Ay arasındaki ortalama uzaklık yaklaşık 384 400 km’dir. Hesaba göre 42 kez katlanan bir kâğıdın kalınlığı bu uzaklığı geçer. 10 katlamada bir kitap kalınlığında olan yığın, 30 katlamada uçakların uçtuğu yükseklikten çok daha yukarıya ulaşır.
Bu elbette bir düşünce deneyidir. Gerçek bir kâğıdı bu kadar katlamak mümkün değildir, çünkü her katlamada kıvrım yerinde kullanılan kâğıt miktarı hızla artar. Uzun süre bir kâğıdın 7 ya da 8 kereden fazla katlanamayacağı düşünüldü. 2002’de ABD’de bir lise öğrencisi, bu sınırı matematiksel olarak inceledikten sonra çok uzun ve ince bir kâğıt şeridi kullanarak 12 katlamayı başardı. Üstel büyüme bu kez hesapta değil, kıvrımlarda gereken kâğıt uzunluğunda karşısına çıkmıştı.
Büyük sayıları hissetmek
Milyon, milyar ve trilyon sözcükleri kulağa birbirine yakın gelir. Aralarındaki farkı hissetmek için onları zamana çevirelim:
- 1 milyon saniye ≈ 11,6 gün
- 1 milyar saniye ≈ 31,7 yıl
- 1 trilyon saniye ≈ 31 700 yıl
Bir milyon saniye iki haftadan kısadır. Bir milyar saniye ise bir insan ömrünün önemli bir parçasıdır. Aradaki fark “üç sıfır” gibi görünse de gerçekte bin kattır.
Başka bir yararlı yaklaşım: 2¹⁰ = 1024 ≈ 1000. Bu sayede ikinin kuvvetlerini hızla tahmin edebiliriz:
- 2²⁰ ≈ 1000² = 1 milyon
- 2³⁰ ≈ 1000³ = 1 milyar
- 2⁶⁴ = 2⁴ × 2⁶⁰ ≈ 16 × 1000⁶ = 1,6 × 10¹⁹
Son tahmin, gerçek değer olan 1,8 × 10¹⁹’a oldukça yakındır. Bilgisayar belleğindeki “kilobayt, megabayt, gigabayt” basamakları da bu bin katlık adımlarla ilerler.
“Kaç kez ikiye katlanmalı?” sorusu: Logaritma
Üstel büyümeyi tersinden sormak da önemlidir: 1 milyon taneye ulaşmak için kaç kez ikiye katlamak gerekir? Cevap, 2ⁿ = 1 000 000 denklemini sağlayan n’dir. Bu sayıya 1 milyonun 2 tabanında logaritması denir: n ≈ 19,9. Yani yaklaşık 20 katlama yeter.
Logaritma, üstel büyümenin dev sayılarını küçük ve yönetilebilir sayılara çevirir. Bu fikrin tarihini Napier ve logaritma yazımızda bulabilirsiniz.
Günlük hayatta sık kullanılan bir yaklaşık kural da buradan gelir. Bir miktar her dönemde yüzde r oranında büyüyorsa, ikiye katlanması yaklaşık 70 ÷ r dönem sürer. Yüzde 7 büyüyen bir miktar için 70 ÷ 7 = 10 dönem. Kontrol edelim: 1,07¹⁰ ≈ 1,97. Kural gerçekten iyi bir tahmin verir. Bu tür büyümenin faiz hesaplarındaki karşılığını e sayısı ve bileşik faiz yazımızda anlattık.
Sezgimiz neden yanılır, gerçek büyüme neden durur?
Sezgimizin yanılmasının birkaç nedeni var:
- Başlangıç yavaş görünür. İlk adımlarda miktarlar küçüktür; gözümüz bunları doğrusal bir çizgi gibi algılar.
- Son adımlar en büyüğüdür. Her gün ikiye katlanan bir şey 30. günde bir kabı dolduruyorsa, 29. günde kabın yalnızca yarısı doludur. 25. günde ise yaklaşık otuz ikide biri doludur ve kab neredeyse boş görünür.
- Büyük sayılar için günlük bir ölçeğimiz yoktur. Milyon ile milyar arasındaki farkı somut bir deneyimle karşılaştıramayız.
Öte yandan doğada ve toplumda hiçbir şey sonsuza kadar üstel büyüyemez. Besin, alan ya da kaynak bir noktada sınırlayıcı olur ve büyüme yavaşlar. Salgınların matematiğinde bu durumun nasıl modellendiğini SIR modeli yazımızda görebilirsiniz. Üstel model, büyümenin yalnızca belirli bir evresini iyi anlatır.
Neden önemli?
Üstel büyüme lise matematiğinde üslü sayılar, diziler (özellikle geometrik diziler), üstel fonksiyonlar ve logaritma konularıyla doğrudan ilişkilidir. Satranç tahtasındaki toplam, bir geometrik dizinin toplam formülünün özel bir hâlidir. YKS’de üslü ifadelerle ilgili tahmin ve karşılaştırma soruları da bu sezgiyi ister.
Bu sezgi günlük hayatta da işe yarar. Bir bilgisayar dosyasının kopyalanarak yayılması, bir haberin paylaşılması ya da bir borcun büyümesi gibi durumlarda “Her adımda ne kadar çarpılıyor?” sorusunu sormak, gelecekteki büyüklüğü çok daha doğru tahmin etmeyi sağlar.
Kapanış
Bir buğday tanesi ya da 0,1 milimetrelik bir kâğıt, tek başına önemsizdir. İkiye katlamayı yeterince tekrarladığınızda ise bir dünyanın üretimini aşar ya da Ay’a ulaşır. Üstel büyümenin dersi, küçük başlangıçları küçümsememek ve “her adımda kaç katına çıkıyor?” diye sormaktır.