Matematik neden evrenin dili sayılır?

Bir el fenerini duvara yaklaştırıp uzaklaştırdığınızda ışık lekesinin büyüyüp soluklaştığını görürsünüz. Güneş’in Dünya’yı çekmesi ise bambaşka bir olay gibi durur. Oysa ikisini de aynı basit kural anlatır: Etki, uzaklığın karesiyle ters orantılı azalır. Bir kavanozdaki bakterilerin çoğalması ile eski bir kemikteki radyoaktif karbonun azalması da tek bir formülün iki yüzüdür.

“Matematik evrenin dilidir” sözü tam da bu gözleme dayanır. Birbirine hiç benzemeyen olaylar aynı denklemle yazılabiliyor. Bu yazıda önce bu ortak denklemlerden ikisini kendi sayılarımızla inceleyeceğiz. Sonra matematiğin henüz görülmemiş şeyleri nasıl önceden haber verdiğine bakacağız. En sonda da “Bu etkinlik neden bu kadar güçlü?” sorusunun hâlâ tartışmalı olduğunu göreceğiz.

Aynı formül, farklı olaylar: Ters kare yasası

Karanlık bir odanın ortasında her yöne eşit ışık saçan küçük bir ampul düşünelim. Işık, ampulden çıktıktan sonra genişleyen bir kürenin yüzeyine yayılır. Yarıçapı r olan kürenin yüzey alanı 4πr²’dir. Toplam ışık miktarı değişmediğine göre, birim alana düşen ışık bu alanla ters orantılı olur:

Şiddet ∝ 1 ÷ r²

Sayılarla deneyelim. Ampulden 1 metre uzakta bir kâğıdın her santimetrekaresine 36 birim ışık düştüğünü varsayalım.

1. 2 metrede aynı ışık 2² = 4 kat büyük bir alana yayılır: 36 ÷ 4 = 9 birim.
2. 3 metrede alan 3² = 9 kat büyür: 36 ÷ 9 = 4 birim.
3. 6 metrede alan 36 kat büyür: 36 ÷ 36 = 1 birim.

Uzaklık 6 katına çıktı, ışık 36’da birine indi. Kapaktaki piramit çizimi bunu gösterir: Aynı ışık demeti 1 birim uzakta 1 kareyi, 2 birim uzakta 4 kareyi, 3 birim uzakta 9 kareyi aydınlatır.

Şaşırtıcı olan, aynı kuralın bambaşka yerlerde çıkmasıdır. Newton’un evrensel çekim yasasında iki kütle arasındaki çekim kuvveti uzaklığın karesiyle ters orantılıdır. İki elektrik yükü arasındaki kuvvet de aynı biçimdedir. Engelsiz bir ortamda noktasal bir kaynaktan yayılan sesin şiddeti de yaklaşık olarak aynı kurala uyar. Bu ortaklığın nedeni geometridir. Etki bir noktadan her yöne yayılıyor ve yolda kaybolmuyorsa, büyüyen bir kürenin yüzeyine paylaşılmak zorundadır.

Burada modelin varsayımlarını da yazmalıyız. Kaynağın nokta gibi küçük olması, ortamın etkiyi soğurmaması ve yansıtmaması gerekir. Gerçek bir odada duvarlardan yansıyan ışık bu hesabı bozar. Uzun bir floresan lambanın yakınında da ters kare yasası iyi çalışmaz. Formül, sadeleştirilmiş bir dünyanın dilidir; gerçeğe ne kadar yaklaştığını ölçümle kontrol ederiz.

Büyümenin ve azalmanın ortak dili: Üstel değişim

İkinci örnek, eşit zaman aralıklarında aynı oranda değişen niceliklerdir. Bir miktar her T sürede ikiye katlanıyorsa, t süre sonra:

N = N₀ × 2^(t ÷ T)

Burada N₀ başlangıç miktarıdır. İdeal koşullarda her 20 dakikada bölünen bir bakteri topluluğu 100 hücreyle başlasın:

• 20 dakika sonra: 100 × 2 = 200
• 1 saat sonra (3 katlanma): 100 × 2³ = 800
• 3 saat sonra (9 katlanma): 100 × 2⁹ = 51 200

Aynı formülde üssün önüne bir eksi işareti koyarsak azalmayı anlatırız. Bir miktar her T sürede yarıya iniyorsa N = N₀ × 2^(−t ÷ T) olur. Karbon-14’ün yarı ömrü yaklaşık 5730 yıldır. Bir örnekteki karbon-14 miktarı 11 460 yıl sonra dörtte birine, 17 190 yıl sonra sekizde birine iner. Bu fikrin arkeolojide nasıl kullanıldığını karbon-14 ve üstel azalma yazımızda ayrıntılı bulabilirsiniz.

Bakteri, radyoaktif çekirdek ve bir bardak çayın oda sıcaklığına yaklaşması arasında fiziksel bir benzerlik yoktur. Ortak olan yapıdır: Değişim hızı, o anki miktarla orantılıdır. Matematik bu yapıyı yakalar ve konudan bağımsız olarak aynı sonuçları üretir. Bir kez üstel fonksiyonu anlayan öğrenci, bu anlayışı biyolojiye, fiziğe ve kimyaya taşıyabilir.

Bu modelin de sınırları var. Hiçbir bakteri topluluğu sonsuza kadar ikiye katlanamaz; besin ve alan tükenir. Üstel formül, büyümenin yalnızca belirli bir evresini iyi anlatır.

Kâğıt üzerindeki hesap, gökyüzündeki gezegen

Matematiğin gücü, bilineni tarif etmekle kalmaz. Bazen henüz kimsenin görmediği bir şeyi önceden söyler.

19. yüzyılın ilk yarısında gökbilimciler Uranüs’ün, Newton’un çekim yasasına göre hesaplanan yoldan hafifçe saptığını fark etti. Fransız matematikçi Urbain Le Verrier bu sapmanın, daha dışarıda dolanan görünmeyen bir gezegenin çekiminden kaynaklanabileceğini düşündü. Hesaplarıyla bu gezegenin gökyüzünde nerede olması gerektiğini buldu ve sonucu Berlin Gözlemevi’ne iletti. 23 Eylül 1846 gecesi gözlemciler, tahmin edilen konuma yaklaşık bir derece uzaklıkta yeni bir gezegen gördü: Neptün. Neptün, varlığı önce matematikle öngörülüp sonra gözlemle doğrulanan ilk gezegen olarak anılır.

Benzer bir öykü atom altı dünyadan gelir. İngiliz fizikçi Paul Dirac 1928’de elektronun davranışını görelilik kuramıyla uyumlu biçimde anlatan bir denklem yazdı. Denklemin çözümlerinden bazıları, o güne kadar görülmemiş, elektronla aynı kütlede ama zıt yüklü bir parçacığa işaret ediyordu. Dirac 1931’de böyle bir parçacığın var olabileceğini ileri sürdü. 1932’de Carl Anderson kozmik ışın izlerini incelerken bu parçacığı buldu: pozitron.

İki örnekte de sıra aynıdır. Önce denklem, sonra gözlem gelmiştir.

“Şaşırtıcı etkinlik” tartışması

Galileo 1623’te yayımlanan bir eserinde, doğa kitabının matematik diliyle yazıldığını ve bu dili bilmeyenin onu okuyamayacağını savunmuştu. Üç yüzyıldan fazla sonra soru daha keskin hâle geldi. 1960’ta fizikçi Eugene Wigner’ın yayımladığı bir makale, matematiğin doğa bilimlerindeki “akıl almaz etkinliğini” geniş bir tartışmanın konusu yaptı. Soru şudur: İnsan zihninin çoğu zaman yalnızca güzel ya da ilginç bulduğu için geliştirdiği yapılar, neden fiziksel dünyaya bu kadar iyi uyuyor?

Tarihte bunun çarpıcı örnekleri var. Eğri uzayların geometrisi 19. yüzyılda saf matematik olarak gelişti. Onlarca yıl sonra Einstein’ın genel görelilik kuramında yerçekimini anlatmanın aracı oldu. Karmaşık sayılar, gerçek dünyada karşılığı yokmuş gibi görünen bir “hesap hilesi” olarak doğdu; bugün kuantum fiziğinin temel dilinin parçasıdır.

Bu soruya verilen cevaplar tartışmalıdır ve üzerinde uzlaşılmış tek bir yanıt yoktur. Öne çıkan bakış açılarından bazıları şunlardır:

• Keşif görüşü: Matematiksel yapılar insandan bağımsız olarak vardır. Evren de bu yapılara uyduğu için matematik onu anlatır.
• Seçim görüşü: Matematik çok geniş bir alet kutusudur. Bilim insanları bu kutudan işe yarayan aletleri seçer, yaramayanlar gözden kaçar. Böylece etkinlik olduğundan büyük görünür.
• Deneyim görüşü: Sayma, ölçme ve simetri gibi temel kavramlar zaten çevremizi gözleyerek oluştu. Doğaya uymaları bu yüzden şaşırtıcı değildir.
• Sınırlılık görüşü: Matematik fizikte çok başarılıdır; ancak biyoloji, ekonomi ya da insan davranışı gibi karmaşık sistemlerde tahminleri çok daha sınırlı kalır.

Belki de doğru cevap bunların bir karışımıdır. Önemli olan, sorunun hâlâ açık olduğunu bilmek ve “Matematik evrenin dilidir” cümlesini bir kanıt değil, güçlü bir gözlem olarak okumaktır.

Dil benzetmesinin sınırları

Bir dil, anlatmak istediğimiz her şeyi tam olarak ifade edemeyebilir. Matematik için de durum benzerdir. Formüller gerçeğin sadeleştirilmiş modelleridir. Ters kare yasası nokta kaynak ister, üstel büyüme sınırsız kaynak ister. Newton’un çekim yasası da çok güçlü çekim alanlarında yerini genel göreliliğe bırakır.

Bu yüzden iyi bir bilim okuru üç soruyu birlikte sorar:

1. Formül hangi varsayımlara dayanıyor?
2. Hangi aralıkta ölçümlerle uyuşuyor?
3. Nerede bozuluyor ve yerine ne geçiyor?

Bu sorular matematiğin değerini azaltmaz. Tersine, hangi durumda ona ne kadar güvenebileceğimizi gösterir. Doğadaki simetrilerle korunum yasaları arasındaki derin bağı merak ederseniz Emmy Noether yazımız bu sorunun başka bir yüzünü anlatıyor.

Neden önemli? Okuldaki konularla bağlantısı

Bu yazıdaki fikirlerin hepsi lise matematiğinde karşınıza çıkar:

• Oran ve orantı: Ters orantı ve kareyle ters orantı, ters kare yasasının temelidir.
• Üslü sayılar: 2⁹ gibi ifadeler üstel büyümenin hesabıdır; negatif üsler azalmayı anlatır.
• Logaritma: “Kaç yarı ömür geçti?” sorusunun cevabı logaritmayla bulunur.
• Fonksiyonlar: Aynı fonksiyon türünün farklı bağlamlarda nasıl göründüğünü tanımak, problem çözmenin en güçlü araçlarındandır.

Hangi konuların TYT ve AYT matematiğinde yer aldığını görmek için ne öğrettiğimizi anlattığımız sayfaya bakabilirsiniz.

Kapanış

Bir fenerin ışığı ile bir gezegenin çekimi aynı denklemi paylaşıyorsa, bu ikisinin arkasında ortak bir yapı olduğunu düşünmek için güçlü bir nedenimiz var. Matematik bu yapıyı yazmanın en kısa yoludur. Neden bu kadar iyi çalıştığı ise hâlâ açık bir soru. Belki de bu soruyu her yeni denklemle biraz daha iyi anlıyoruz.