Emmy Noether: Simetriden korunum yasalarına

Enerji neden korunur? Fizik derslerinde enerjinin korunumu çoğu zaman bir kural olarak öğretilir: Bir sistemin toplam enerjisi değişmez. Peki bu kuralın arkasında daha derin bir neden var mı? 1918’de Emmy Noether’in ispatladığı bir teorem bu soruya şaşırtıcı bir cevap verir: Enerji, doğa yasaları zamanla değişmediği için korunur.

Noether teoremi, bir fiziksel sistemin simetrileri ile korunan büyüklükleri arasında genel bir bağ kurar. Sistem zamanda kaydırmaya karşı simetrikse enerji, uzayda kaydırmaya karşı simetrikse momentum, döndürmeye karşı simetrikse açısal momentum korunur. Bu yazıda “simetri” ve “korunum” kelimelerinin bu bağlamda ne anlama geldiğini, teoremin nasıl bir sorudan doğduğunu ve Noether’in bu sonuca giden zorlu akademik yolunu anlatacağız.

Erlangen’den Göttingen’e

Emmy Noether 1882’de Almanya’nın Erlangen şehrinde doğdu. O dönemde kadınların Alman üniversitelerinde okuması büyük engellerle karşılaşıyordu. Noether bu engelleri aşarak 1907’de Erlangen Üniversitesi’nde Paul Gordan’ın yanında doktorasını tamamladı. Doktora tezi, cebirsel ifadelerin değişmez (invaryant) biçimleri üzerineydi ve yüzlerce ifadenin tek tek hesaplanmasını içeriyordu.

1915’te dönemin önde gelen matematikçilerinden David Hilbert ve Felix Klein, Noether’i Göttingen Üniversitesi’ne davet etti. Einstein aynı yıllarda genel görelilik kuramını tamamlamaya çalışıyordu ve Göttingen’deki matematikçiler bu kuramın matematiği üzerinde yoğun biçimde çalışıyordu. Hilbert, Noether’den özellikle genel görelilikte enerjinin korunumu sorusunu incelemesini istedi.

Noether’in Göttingen’de ders verme yetkisi alması için habilitasyon denen bir süreci tamamlaması gerekiyordu. Üniversite yönetiminde, bir kadının bu yetkiyi almasına karşı çıkanlar oldu. Hilbert’in bu tartışmada, adayın cinsiyetinin konuyla ilgisi olmadığını, burasının bir hamam değil bir üniversite olduğunu söylediği aktarılır. 1916–1917 yıllarında Noether’in dersleri Hilbert’in adıyla duyuruldu. Habilitasyonunu ancak 1919’da alabildi.

Sorun: Genel görelilikte enerji

Newton mekaniğinde enerjinin korunumu açık ve iyi anlaşılmış bir yasadır. Genel görelilikte ise durum karmaşıktı: Enerjinin korunumu yasasının bu kuramda nasıl ifade edileceği ve neden bilinen biçimde görünmediği tartışılıyordu.

Noether bu sorunun kökenini araştırırken çok daha genel bir sonuca ulaştı. 1918’de “Invariante Variationsprobleme” (Değişmez Varyasyon Problemleri) başlıklı makalesinde iki teorem ispatladı. Makale Temmuz 1918’de Göttingen’de sunuldu ve aynı yıl yayımlandı. Birinci teorem bugün fizikte “Noether teoremi” diye anılan sonuçtur. İkinci teorem ise genel görelilikteki korunum yasalarının neden özel bir biçim aldığını açıklar.

Simetri ne demek?

Günlük dilde simetri, bir şeklin aynasına ya da döndürülmüş hâline benzemesidir. Bir kareyi 90° döndürdüğünüzde değişmiş gibi görünmez; bu yüzden kare 90° dönmeye karşı simetriktir.

Fizikte simetri aynı fikrin genelleşmesidir: Bir değişiklik yaptığınızda sistemin davranışını belirleyen yasalar değişmiyorsa, sistem o değişikliğe karşı simetriktir.

• Zamanda kaydırma: Bir deneyi bugün ya da yarın yapmanız sonucu değiştirmiyorsa, yasalar zamanda kaydırmaya karşı simetriktir.
• Uzayda kaydırma: Deneyi bir metre sağda yapmak sonucu değiştirmiyorsa, yasalar uzayda kaydırmaya karşı simetriktir.
• Döndürme: Deney düzeneğini döndürmek sonucu değiştirmiyorsa, yasalar döndürmeye karşı simetriktir.

Buradaki simetriler “sürekli”dir: Bir saniye, yarım saniye ya da istediğiniz kadar küçük bir miktar kaydırabilirsiniz. Karenin 90° dönmesi ise kesikli bir simetridir. Noether teoremi sürekli simetrilerle ilgilidir.

Teorem: Her sürekli simetriye bir korunum

Noether’in birinci teoremi, fiziksel yasaları belirli bir matematiksel biçimde (etki denen bir büyüklükle) anlatılabilen sistemler için şunu söyler: Sistemin her sürekli simetrisine karşılık gelen, zamanla değişmeyen bir büyüklük vardır. Tersine, korunan büyüklükler de simetrilere işaret eder.

Klasik mekanikten bilinen eşleşmeler şunlardır:

Simetri	Korunan büyüklük
Zamanda kaydırma	Enerji
Uzayda kaydırma	Momentum
Döndürme	Açısal momentum

Bu eşleşmelerin bir kısmı Noether’den önce belirli sistemler için biliniyordu. Noether’in katkısı, bunların tek tek gözlemler değil, aynı genel yapının sonuçları olduğunu göstermesiydi.

Basit bir örnekle korunum

Teoremin ispatı üniversite düzeyinde matematik gerektirir; ama sonucunu lisede tanıdığımız bir örnekte görebiliriz.

Kütlesi 2 kg olan bir top, yerden 5 m yükseklikten serbest bırakılsın. Yer çekimi ivmesini 10 m/s² alalım ve hava direncini yok sayalım. Toplam enerji, konum enerjisi (m × g × h) ile hareket enerjisinin (½ × m × v²) toplamıdır.

Yükseklik	Konum enerjisi	Hız²	Hareket enerjisi	Toplam
5 m	2 × 10 × 5 = 100 J	0	0 J	100 J
3 m	2 × 10 × 3 = 60 J	40	½ × 2 × 40 = 40 J	100 J
0 m	0 J	100	½ × 2 × 100 = 100 J	100 J

Her anda toplam 100 joule’dür. Noether teoremi bu tablonun arkasındaki nedeni şöyle anlatır: Bu modelde yer çekimi yasası ve topun kütlesi zamanla değişmez. Deneyi bir saat sonra yapsaydık aynı sonucu alırdık. Yasaların bu zamandan bağımsızlığı, toplam enerjinin korunmasını gerektirir.

Modelin sınırını da not edelim: Hava direnci eklenirse topun mekanik enerjisi azalır. Enerji kaybolmaz, ısıya ve havanın hareketine dönüşür; ama bu durumda sistemi topla birlikte çevresini de içerecek biçimde tanımlamak gerekir.

Momentum için de benzer bir örnek kurabiliriz. Sürtünmesiz bir ray üzerinde duran, kütleleri 1 kg ve 3 kg olan iki araba, aralarındaki sıkıştırılmış bir yayla birbirinden itilsin. Başlangıçta ikisi de durduğu için toplam momentum 0’dır. İtişten sonra 1 kg’lık araba sola 3 m/s, 3 kg’lık araba sağa 1 m/s hızla gidiyorsa momentumlar 1 × (−3) = −3 ve 3 × 1 = +3 kg·m/s olur. Toplam yine 0’dır. Bu modelde yasalar rayın neresinde olduğumuza bağlı değildir; yani sistem uzayda kaydırmaya karşı simetriktir. Noether teoremine göre korunan büyüklük momentumdur.

Döndürme simetrisi ve açısal momentumun gündelik bir örneği de dönen bir buz patencisidir: Kollarını gövdesine yaklaştırdığında daha hızlı döner. Açısal momentum korunurken kütlenin dönme eksenine yaklaşması, dönüş hızının artmasını gerektirir.

Cebirin yeniden kuruluşu

Noether bugün fizikçiler arasında teoremiyle tanınır; ama matematikçiler için en az bu kadar önemli bir mirası daha vardır: soyut cebir. 1920’lerde halka ve ideal gibi yapılar üzerine yaptığı çalışmalar, cebiri tek tek denklemlerin çözümünden, işlemlerin ortak özelliklerini inceleyen genel bir kurama dönüştürmeye büyük katkı sağladı. 1921’de yayımladığı halkalarda ideal kuramı üzerine makale bu dönüşümün temel metinlerinden biridir. Bugün cebirde onun adını taşıyan kavramlar vardır.

1933’te Nazi yönetiminin ırkçı yasaları nedeniyle Göttingen’deki görevinden uzaklaştırıldı. Aynı yıl ABD’ye gitti, Bryn Mawr Koleji’nde çalışmaya başladı ve Princeton’daki İleri Araştırmalar Enstitüsü’nde de dersler verdi. 1935’te Bryn Mawr’da öldü.

Tarihçiler, Noether teoreminin 1918’den sonra uzun yıllar fizik literatüründe pek anılmadığını, önemini ancak 20. yüzyılın ortalarından itibaren geniş biçimde kazandığını belirtir.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Fizik dersleri: Enerji ve momentumun korunumu, lise fiziğinin temel konularındandır. Noether teoremi, bu yasaların neden geçerli olduğuna dair derin bir açıklama sunar.
• Parçacık fiziği: Elektrik yükünün korunumu gibi yasalar da simetrilerle ilişkilendirilir. Modern parçacık fiziği büyük ölçüde simetriler üzerine kuruludur.
• Geometri ve fonksiyonlar: Grafiklerde öteleme, yansıma ve döndürme dönüşümleri, “neyi değiştirirsem ne değişmeden kalır?” sorusunun lise matematiğindeki karşılığıdır.
• Soyut cebir: Bilgisayar bilimi ve şifrelemede kullanılan cebirsel yapılar, Noether’in katkıda bulunduğu soyut yaklaşımdan beslenir.

Matematiksel modellerin varsayımlarını açıkça yazma yaklaşımımızı nasıl öğretiyoruz sayfasında anlatıyoruz. Cebirin tarihine daha eski bir duraktan bakmak isterseniz Hârizmî ve kareyi tamamlama yazımızı okuyabilirsiniz.

Kapanış

Noether teoremi, iki ayrı gibi görünen fikri birleştirir: Doğa yasalarının neyi değiştirince aynı kaldığı ve zaman içinde neyin değişmeden kaldığı. Enerjinin korunumu artık ezberlenecek bir kural değil, zamanın her anında aynı yasaların geçerli olmasının bir sonucudur. Bu sonuca, kendisine ders verme hakkı bile tanınmayan bir matematikçi ulaştı.