Eratosthenes Dünya'nın çevresini bir gölgeyle nasıl ölçtü?

Bir çubuğun gölgesini ölçerek gezegenimizin büyüklüğünü bulabilir misiniz? Bugün uydularla, lazerlerle ve atom saatleriyle yaptığımız bir ölçümü, MÖ 3. yüzyılda yaşamış bir bilgin güneş, gölge ve geometriyle yapmayı denedi. Adı Eratosthenes’ti ve İskenderiye Kütüphanesi’nin başındaydı.

Eratosthenes’in fikri şuydu: Aynı gün, aynı saatte iki farklı şehirde güneşin gökyüzündeki konumu farklı görünüyorsa, bu fark Dünya’nın eğriliğinden kaynaklanır. Farkı açı olarak ölçer, iki şehir arasındaki mesafeyi de bilirseniz, basit bir orantıyla bütün çemberin uzunluğuna ulaşırsınız. Bu yazıda bu orantıyı adım adım kuracak, hangi varsayımlara dayandığını görecek ve sonucun neden bugün hâlâ tartışıldığını anlatacağız.

Eratosthenes kimdi?

Eratosthenes, bugünkü Libya’da bulunan Kirene’de doğdu. Yaklaşık MÖ 276 ile MÖ 194 arasında yaşadığı kabul edilir. MÖ 240 dolaylarında İskenderiye Kütüphanesi’nin üçüncü yöneticisi oldu. Coğrafya, takvim, sayılar ve felsefe üzerine çalıştı. Asal sayıları bulmak için bugün okullarda öğretilen “Eratosthenes kalburu” da onun adıyla anılır.

Dünya’nın ölçümünü anlattığı eser, Dünya’nın Ölçülmesi Üzerine, günümüze ulaşmadı. Yöntemini daha sonraki yazarlardan, özellikle Kleomedes’in astronomi kitabındaki basitleştirilmiş anlatımdan öğreniyoruz. Strabon ve Theon gibi yazarlar da sonuçtan söz eder. Yani elimizde Eratosthenes’in kendi hesap defteri değil, yüzyıllar sonra yazılmış özetler var. Bu ayrıntı, sonucun yorumunda önemli bir rol oynayacak.

Gözlem: Öğle vakti iki farklı gölge

Anlatılara göre Eratosthenes şunu biliyordu: Yaz gündönümünde, öğle vakti Syene’de (bugünkü Asvan) güneş tam tepededir. Dik duran bir çubuk gölge vermez. Aynı gün, aynı saatte kuzeydeki İskenderiye’de ise dik bir çubuğun kısa ama belirgin bir gölgesi vardır.

İskenderiye’de ölçülen gölge, güneş ışınlarının dikey doğrultuyla yaklaşık 7,2 derecelik bir açı yaptığını gösteriyordu. Eski kaynaklar bu açıyı “tam çemberin ellide biri” olarak verir. Gerçekten de:

360° ÷ 50 = 7,2°

Gölgeyle açı arasındaki bağ, dik üçgenden gelir. Çubuğun boyu h, gölgenin boyu g ise güneş ışınının dikeyle yaptığı açı θ için tan θ = g ÷ h olur. Örneğin 1 metrelik bir çubuğun gölgesi yaklaşık 12,6 santimetre ise θ yaklaşık 7,2° çıkar. Eratosthenes’in çağında bu hesap trigonometri tablolarıyla değil, geometrik çizimlerle yapılıyordu; ama fikir aynıdır.

Matematik: Açıdan çembere giden orantı

Şimdi en önemli adıma gelelim. Neden İskenderiye’deki gölge açısı, Dünya’nın merkezindeki bir açıya eşit olsun?

1. Güneş çok uzakta olduğu için ona gelen ışınların Syene’ye ve İskenderiye’ye paralel ulaştığını kabul edelim.
2. Syene’de ışın yere dik iner, yani doğrultusu Dünya’nın merkezinden geçer.
3. İskenderiye’deki dik çubuğu aşağı doğru uzatırsak o da Dünya’nın merkezine ulaşır.
4. Böylece iki paralel doğru (iki güneş ışını) ve onları kesen bir doğru (İskenderiye’deki dikme) elde ederiz. Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu iç ters açılar eşittir.
5. Sonuç: İskenderiye’de ölçülen 7,2° gölge açısı, Dünya’nın merkezinde Syene ile İskenderiye arasındaki yayı gören merkez açıya eşittir.

Çemberde yay uzunluğu, merkez açıyla orantılıdır. İki şehir arasındaki yay uzunluğuna d, Dünya’nın çevresine Ç dersek:

7,2° ÷ 360° = d ÷ Ç

Eratosthenes’e atfedilen mesafe 5000 stadiondur. Orantıyı düzenlersek:

Ç = d × (360° ÷ 7,2°) = 5000 × 50 = 250 000 stadion

İşte bütün hesap bu kadar kısa. Zor olan, doğru soruyu sormak ve iki uzak şehirdeki gözlemi aynı geometrik resmin parçası olarak görmekti. Bu tür ışık ve gölge ilişkilerini sitemizin ana sayfasındaki gölge keşfinde kendiniz deneyebilirsiniz.

Kendiniz hesaplayın

Aynı orantıyı bugünkü sayılarla deneyelim. Aynı meridyen üzerinde, aralarında kuzey-güney yönünde 1000 km bulunan iki şehir düşünelim. Aynı gün yerel öğle vaktinde ölçülen gölge açıları arasındaki fark 9° çıksın.

1. Merkez açı ile yay uzunluğu orantılıdır: 9° ÷ 360° = 1000 km ÷ Ç
2. Orantıyı düzenleyelim: Ç = 1000 km × (360 ÷ 9)
3. 360 ÷ 9 = 40 olduğundan Ç = 40 000 km.

Açı farkını 1 derece yanlış ölçseydik ne olurdu? 8° için sonuç 45 000 km, 10° için 36 000 km çıkardı. Küçük bir açı hatası, sonucu binlerce kilometre değiştirir. Eratosthenes’in hesabında açının ve mesafenin ne kadar hassas ölçüldüğü bu yüzden çok önemlidir.

Model neyi varsayıyor?

Her matematiksel model gerçeği sadeleştirir. Eratosthenes’in hesabı da birkaç varsayıma dayanır ve bunları açıkça yazmak, sonucu doğru yorumlamanın ilk şartıdır.

• Güneş ışınları paraleldir. Güneş Dünya’dan çok uzakta olduğu için bu, çok iyi bir yaklaşıktır.
• Dünya bir küredir. Gerçekte kutuplardan hafifçe basıktır; ancak bu fark böyle bir ölçüm için küçüktür.
• Syene ile İskenderiye aynı meridyen üzerindedir. Yani biri diğerinin tam güneyindedir. Oysa gerçekte Asvan, İskenderiye’nin birkaç derece doğusunda kalır.
• Syene tam olarak Yengeç Dönencesi üzerindedir. Gerçekte tam üzerinde değildir; güneşin orada “tam tepede” olması yaklaşık bir ifadedir.
• İki şehir arasındaki mesafe doğru ölçülmüştür. 5000 stadion, büyük olasılıkla yuvarlatılmış bir değerdir.

Bu varsayımların bir kısmının hataları birbirini kısmen dengeleyebilir, bir kısmı ise sonucu saptırır. Önemli olan, modelin nerede sadeleştirdiğini bilmektir.

Sonuç ne kadar doğruydu? Stadion tartışması

İşin tartışmalı kısmı burada başlar. Eratosthenes’in sonucu stadion birimindedir ve Antik Çağ’da tek bir stadion uzunluğu yoktu. Hangi stadionu kullandığı kesin olarak bilinmiyor. Ayrıca bazı kaynaklar 250 000, bazıları ise 252 000 stadion değerini aktarır.

Tarihçilerin önerdiği değerlerden birkaçı ve 250 000 stadion için karşılıkları şöyle:

Önerilen stadion uzunluğu	Çevre (250 000 stadion)
157,5 m	yaklaşık 39 400 km
166,7 m	yaklaşık 41 700 km
176,4 m	yaklaşık 44 100 km
185 m	yaklaşık 46 250 km

Dünya’nın gerçek çevresi yaklaşık 40 000 kilometredir. Stadionu 157,5 metre alırsanız sonuç şaşırtıcı derecede yakın çıkar; 185 metre alırsanız yaklaşık yüzde 15 büyük bir değer bulursunuz. Popüler anlatılarda sık görülen “yüzde 1-2 hatayla ölçtü” iddiası, bu belirsizliği görmezden gelen iyimser bir seçime dayanır.

Dürüst bir özet şöyle olabilir: Eratosthenes’in yöntemi doğruydu ve Dünya’nın büyüklüğü için doğru mertebede bir değer verdi. Sonucun yüzde kaç isabetli olduğu ise kullandığı birimin bilinmemesi yüzünden kesin olarak söylenemez.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

Eratosthenes’in hesabı, lise matematiğinin birkaç temel fikrini tek bir soruda buluşturur:

• Paralel doğrular ve açılar: İç ters açıların eşitliği, hesabın kalbidir.
• Oran ve orantı: Yay uzunluğunun merkez açıyla orantılı olması, dairede yay ve dilim problemlerinin aynısıdır.
• Dik üçgen ve tanjant: Gölge boyundan açıya geçmek, trigonometrinin en temel kullanımlarından biridir.
• Modelleme: Gerçek bir durumu varsayımlarla sadeleştirmek ve bu varsayımların sonucu nasıl etkilediğini tartışmak.

Bu yöntem bugün de okullarda deney olarak tekrarlanır. Farklı enlemlerdeki iki okul aynı gün, yerel öğle vaktinde çubuk gölgelerini ölçer, aradaki kuzey-güney mesafesini kullanarak Dünya’nın çevresini hesaplar. Uydu çağında bile bu deney, bir ölçümün arkasındaki geometriyi görmek için güçlü bir yoldur.

Görsel modellerle öğrenme yaklaşımımızı merak ediyorsanız nasıl öğrettiğimizi anlattığımız sayfaya göz atabilirsiniz. Antik geometrinin temellerini merak edenler için Öklid’in Elemanlar’ı üzerine yazımız iyi bir devam olur.

Kapanış

Eratosthenes’in hikâyesinin asıl dersi bir sayı değil, bir düşünme biçimidir: Yakındaki bir gölgeden uzaktaki bir büyüklüğe, gözlemden geometriye, geometriden orantıya geçmek. Sonucun tam doğruluğu tartışılsa da iki şehir, bir açı ve bir orantıyla bir gezegenin büyüklüğünü sorgulayabilmek, matematiğin evreni anlamak için neden güçlü bir dil olduğunu gösterir.