Babillilerin 60 tabanı: Saatteki dakikalar ve kil tabletteki √2

Bir saatte neden 100 değil de 60 dakika var? Bir çemberi neden 360 dereceye bölüyoruz? Bu soruların izini sürdüğümüzde yaklaşık 4000 yıl önce Mezopotamya’da, ıslak kile kamış kalemle sayı yazan yazıcılara ulaşırız. Babilliler sayıları 10’luk değil 60’lık bir düzende yazıyordu. Bu düzenin izleri bugün kolumuzdaki saatte, haritalardaki koordinatlarda ve gökyüzü ölçümlerinde yaşıyor.

Bu yazıda altmışlık sayı düzeninin nasıl çalıştığını, 60’ın neden kullanışlı bir taban olduğunu ve dakika ile saniyenin bu düzenden nasıl miras kaldığını göreceğiz. Son olarak avuç içi büyüklüğünde bir kil tablette yazılı olan ve √2’yi altı ondalık basamağa yakın doğrulukla veren sayıyı birlikte çözeceğiz.

Kil tabletler ve çivi yazısı

Mezopotamya, Dicle ile Fırat arasındaki topraklara verilen addır ve büyük bölümü bugünkü Irak’tadır. Burada yazı, yumuşak kile bastırılan kama biçimli izlerle yazılırdı; bu yüzden çivi yazısı denir. Kil kuruyunca iz kalıcı olur. Bu dayanıklılık sayesinde binlerce matematik tableti günümüze ulaştı.

Altmışlık saymanın kökleri Sümerlere uzanır. Sayıların basamak değerine göre yazıldığı gelişkin biçim ise özellikle Eski Babil döneminde, yaklaşık MÖ 2000–1600 arasında yaygınlaştı. Bu döneme ait tabletler arasında çarpım tabloları, ters sayı tabloları, alan ve hacim problemleri ile öğrencilerin alıştırmaları bulunur.

İki işaretle bütün sayılar

Babil yazıcısının iki temel işareti vardı: 1’i gösteren dik bir kama ve 10’u gösteren yan yatık bir köşe kaması. 1’den 59’a kadar bütün “rakamlar” bu iki işaretin tekrarıyla yazılırdı. Örneğin 24 için iki köşe kaması ve dört dik kama yan yana konurdu.

Asıl güç basamak değerinden gelir. Bizim düzenimizde her basamak bir öncekinin 10 katıdır; Babil düzeninde 60 katıdır. Tarihçilerin kullandığı bir yazımla basamakları virgülle ayıralım:

1,12,30 = 1 × 3600 + 12 × 60 + 30 = 3600 + 720 + 30 = 4350

Tersini de yapabiliriz. 5000 sayısını altmışlık düzende yazalım:

1. 5000 içinde kaç tane 3600 var? Bir tane; geriye 1400 kalır.
2. 1400 içinde kaç tane 60 var? 23 tane, çünkü 23 × 60 = 1380; geriye 20 kalır.
3. Sonuç: 5000 = 1,23,20.

Bu düzenin iki zayıf noktası vardı. Uzun süre boş basamağı gösteren bir sıfır işareti yoktu; ancak çok daha sonraki dönemlerde bir boşluk işareti kullanılmaya başlandı. Tam sayı kısmını kesirli kısımdan ayıran bir “virgül” de yoktu. Aynı işaretler 1, 60 ya da 1/60 anlamına gelebilirdi; doğru değeri bağlam belirlerdi. Tarihçiler bugün kesirli kısmı noktalı virgülle ayırır: 1;30, “bir tam ve altmışta otuz”, yani 1,5 demektir.

Neden 60?

60’ın bölenlerine bakalım: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60. Tam on iki bölen! 10’un ise yalnızca dört böleni vardır. Bu fark kesirlerde hemen görünür:

• 1/2 = 0;30
• 1/3 = 0;20
• 1/4 = 0;15
• 1/5 = 0;12
• 1/6 = 0;10

Onluk düzende 1/3 = 0,333… diye sonsuza kadar sürer; altmışlıkta ise tek basamaktır. 1/8 bile kısa kalır: 0;7,30. Kontrol edelim: 7/60 + 30/3600 = 0,1167 + 0,0083 = 0,125.

Babil yazıcıları bölmeyi çoğu zaman ters sayıyla çarpma olarak yapardı. 25 ÷ 4 için “4’ün tersi 0;15” bilgisini tablodan alır, 25 ile çarparlardı: 25 × 15 = 375 = 6 × 60 + 15, yani 6;15. Bu da 6,25 demektir. Elbette her ters sayı bu kadar temiz değildir; 1/7 altmışlık düzende de sonsuza kadar tekrar eder.

Babillilerin 60’ı neden seçtiği kesin olarak bilinmiyor. Bölünebilme kolaylığı en sık dile getirilen açıklamadır. Başka öneriler de var: iki farklı eski sayma düzeninin birleşmesi ya da parmak boğumlarıyla sayma gibi. Bunların hiçbiri kesinleşmiş değildir.

Dakika, saniye ve derece

Babil astronomları gökyüzü gözlemlerini de altmışlık kesirlerle kaydetti. Bu gelenek Helenistik dönemde Yunan astronomlarına geçti. İskenderiyeli Ptolemaios gibi astronomlar, açıları ve kesirli değerleri altmışlık düzende yazmayı sürdürdü. Bu eserlerin Orta Çağ’daki Latince çevirilerinde bir derecenin altmışta birine “birinci küçük parça”, onun da altmışta birine “ikinci küçük parça” dendi. Bugünkü dakika ve saniye sözcükleri bu adlandırmaların kısalmış hâllerinden gelir. Aynı bölme alışkanlığı zamanla saate de uygulandı.

Çemberin neden 360 dereceye bölündüğü ise kesin değildir. 360’ın çok sayıda böleni olması bir etkendir. Güneş’in gökyüzündeki yıllık yolunda günde yaklaşık 1 derece ilerlemesinin de rol oynamış olabileceği düşünülür; ama bu bir öneri olarak kalır.

Altmışlık hesabı bugün de farkında olmadan yaparız:

• 3 saat 45 dakika 36 saniye kaç saattir? 3 + 45/60 + 36/3600 = 3 + 0,75 + 0,01 = 3,76 saat.
• 41° 30′ 36″ kaç derecedir? 41 + 30/60 + 36/3600 = 41 + 0,5 + 0,01 = 41,51°.

Kil tabletteki √2

Yale Üniversitesi’nin Babil koleksiyonunda YBC 7289 numarasıyla kayıtlı küçük, yuvarlak bir tablet vardır. Yaklaşık MÖ 1800–1600 arasına tarihlenir ve büyük olasılıkla bir öğrencinin alıştırmasıdır. Tablette köşegenleri çizilmiş bir kare, kenarın yanında 30 sayısı ve köşegen boyunca iki sayı bulunur: 1;24,51,10 ve 42;25,35.

Birinci sayıyı onluk düzene çevirelim:

1;24,51,10 = 1 + 24/60 + 51/3600 + 10/216000 = 1 + 0,4 + 0,0141667 + 0,0000463 ≈ 1,4142130

Gerçek değer √2 ≈ 1,4142136’dır. Fark yaklaşık 0,0000006, yani iki milyonda birden az! Bir karenin köşegeni kenarın √2 katı olduğundan (bunun nedeni için Pitagoras teoreminin tarihi yazımıza bakabilirsiniz), kenarı 30 olan karenin köşegeni 30 × √2 olmalıdır.

Altmışlık düzende 30 ile çarpmak çok kolaydır, çünkü 30, 60’ın yarısıdır. Sayıyı bir basamak kaydırıp (60 ile çarpıp) yarıya bölmek yeterlidir:

1. 1;24,51,10 × 60 = 84;51,10
2. Yarısı: 84 ÷ 2 = 42; ardından 51,10 basamaklarının yarısı. 51 × 60 + 10 = 3070 ve 3070 ÷ 2 = 1535 = 25 × 60 + 35.
3. Sonuç: 42;25,35. Tabletteki ikinci sayı tam olarak budur.

Bu değerin nasıl bulunduğu tabletten anlaşılmıyor. Değer, √2’nin altmışlık düzende üç kesir basamağına yuvarlanmış hâlidir. Tarihçiler farklı hesap yolları önerir. Bunlardan birini bugünkü dille deneyelim: Bir tahmin al, 2’yi o tahmine böl ve iki sayının ortalamasını yeni tahmin yap.

• Tahmin 1,5 olsun: (1,5 + 2/1,5) ÷ 2 = 17/12 ≈ 1,41667. Altmışlık düzende tam olarak 1;25.
• Yeni tahminle tekrarlayalım: (17/12 + 24/17) ÷ 2 = 577/408 ≈ 1,4142157.

577/408 altmışlık düzende üç kesir basamağına kadar yazıldığında 1;24,51,10 çıkar. Bu, Babillilerin kesinlikle bu yolu izlediğini göstermez; yalnızca böyle bir değere birkaç adımda ulaşılabileceğini gösterir. √2’nin neden hiçbir kesirle tam olarak yazılamadığını ise √2 ve irrasyonel sayılar yazımızda adım adım anlatıyoruz.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Zaman: Saat, dakika ve saniye altmışlık bölmenin en görünür mirasıdır.
• Açılar ve haritalar: Coğrafi koordinatlar hâlâ derece, dakika ve saniyeyle yazılabilir. Astronomide çok küçük açılar “açı saniyesi” ile ölçülür.
• Sayı tabanları: Bilgisayarların kullandığı ikilik ve on altılık düzenler, Babil düzeniyle aynı basamak değeri fikrine dayanır; yalnızca taban farklıdır.
• Okul matematiği: Basamak değeri, bölünebilme, kesirlerin ondalık gösterimi ve köklü sayılar için yaklaşık değer bulma, bu yazıdaki hesapların doğrudan karşılığıdır.

Babil düzeninde boş basamağı gösterecek bir işaretin uzun süre bulunmaması, sıfırın neden büyük bir buluş olduğunu da açıklar. Bu hikâyenin devamı sıfırın tarihi yazımızda.

Kapanış

Babil yazıcıları iki basit işaretle hem büyük sayıları hem de çok ince kesirleri yazabiliyordu. Seçtikleri taban, bölmeyi kolaylaştıran akıllıca bir tercihti ve dört bin yıl sonra hâlâ saatimizi yönetiyor. Küçük bir kil tabletteki √2 değeri de bize şunu hatırlatıyor: Doğru bir gösterim ve sabırlı bir hesapla, çok eski çağlarda bile olağanüstü hassas sonuçlara ulaşmak mümkündü.