Ayçiçeğindeki spiraller: Fibonacci sayıları, 137,5 derece ve abartılar

Olgun bir ayçiçeğinin ortasındaki tohumlara bakın. Göz kısa sürede spiraller seçmeye başlar: Bir grup saat yönünde, diğer grup saatin tersi yönünde kıvrılır. Sabırla sayarsanız sık karşılaşılan sayılar 34 ve 55, büyük tablalarda 55 ve 89 olur. Bunlar tesadüf gibi durmayan sayılardır; çünkü ikisi de Fibonacci dizisinin ardışık terimleridir.

Bu yazıda tohumların neden böyle dizildiğini basit bir matematik modeliyle açıklayacağız. Modelin kalbinde yaklaşık 137,5° olan tek bir açı var. Ardından modelin neyi açıkladığını, neyi açıklamadığını ve popüler anlatılardaki abartıları ayıracağız. Kısacası: Fibonacci düzeni bitkilerde gerçekten sık görülür, ama evrensel bir kural değildir.

Fibonacci dizisi ve oranları

Fibonacci dizisi 1 ve 1 ile başlar; her terim önceki iki terimin toplamıdır:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Dizinin tarihini ve ünlü tavşan problemini Fibonacci ve Liber Abaci yazımızda anlatıyoruz. Burada bize gereken, ardışık terimlerin oranıdır:

• 8 ÷ 5 = 1,6
• 21 ÷ 13 ≈ 1,6154
• 55 ÷ 34 ≈ 1,6176
• 89 ÷ 55 ≈ 1,6182

Oranlar gitgide bir sayıya yaklaşır: φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180. Bu sayıya altın oran denir. Altın oran, bitki düzenini anlatırken bir açı üzerinden devreye girer.

Altın açı: Bir turun “en düzensiz” bölümü

Tam turu, oranı φ olan iki parçaya bölelim. Küçük parça:

360° ÷ φ² ≈ 360° × 0,38197 ≈ 137,5°

Bu açıya altın açı denir. Şimdi bir büyüme ucu düşünelim. Yeni oluşan her tohum ya da yaprak taslağı, bir öncekine göre sabit bir açı kadar dönmüş konumda ortaya çıksın. Botanikte bu dizilime filotaksi denir, bu sabit açıya da ıraksama açısı. Hangi açı en iyi sonucu verir?

Rasyonel açılar neden boşluk bırakır?

Açı, turun basit bir kesri olsun. Örneğin 135° = tam turun 3/8’i. Her adımda 3/8 tur döndüğümüzde 8. tohum başladığımız doğrultuya geri gelir (8 × 3/8 = 3 tam tur). Sonraki tohumlar da hep aynı 8 doğrultuya düşer. Tabla, arası boş 8 düz kol hâlinde dolar. Aynı şey 120° (1/3 tur, 3 kol) veya 144° (2/5 tur, 5 kol) için de geçerlidir.

Açı turun rasyonel bir kesri olmadığında hiçbir tohum tam olarak eski bir doğrultuya dönmez. Ancak bazı irrasyonel sayılar, rasyonel sayılarla çok iyi yaklaşık olarak ifade edilebilir. Böyle bir açı bir süre yine kollar hâlinde görünür. Altın oranın özelliği, rasyonel sayılarla yaklaşık ifade edilmesi en zor sayı olmasıdır. Altın açıya en iyi yaklaşan kesirler şunlardır:

Kesir	Açı
2/5	144°
3/8	135°
5/13	≈ 138,46°
8/21	≈ 137,14°
13/34	≈ 137,65°
21/55	≈ 137,45°

Tabloya dikkat edin: Paylar ve paydalar Fibonacci sayılarıdır ve açılar 137,5°’nin bir altında bir üstünde kalarak ona yaklaşır. İşte gözümüzün seçtiği spirallerin sayısı buradan gelir. Tablada, merkezden belli bir uzaklıkta, altın açı en çok hangi kesre benziyorsa o kesrin paydası kadar spiral görünür. Bu yüzden spiral sayıları ardışık Fibonacci çiftleri olur ve tabla büyüdükçe çift de büyür: 21 ile 34, 34 ile 55, 55 ile 89.

Tohumları yerleştiren basit bir model

Bu fikri bir hesap tarifine dönüştürebiliriz. n’inci tohumu kutupsal koordinatlarla yerleştirelim:

• açı: θ = n × 137,5°
• merkeze uzaklık: r = c × √n (c, tohum boyutunu belirleyen bir sabit)

Neden karekök? Çünkü r yarıçaplı dairenin alanı πr² ile orantılıdır. r = c√n seçersek ilk n tohumun kapladığı daire alanı π × c² × n olur, yani tohum sayısıyla doğru orantılı büyür. Her tohuma yaklaşık aynı alan düşer ve tabla eşit sıklıkta dolar.

Birkaç tohumu adım adım hesaplayalım (c = 1):

1. n = 1: θ = 137,5°, r = 1
2. n = 2: θ = 275°, r ≈ 1,41
3. n = 3: θ = 412,5° yani 52,5°, r ≈ 1,73
4. n = 4: θ = 550° yani 190°, r = 2

Bu tarifi bir hesap tablosunda ya da basit bir programda 1000 nokta için uygularsanız, gerçek bir ayçiçeğine şaşırtıcı biçimde benzeyen bir desen elde edersiniz. Açıyı 137,5° yerine 137° ya da 138° yapın: Desen hemen kollara ayrılır ve aralarda boşluklar belirir. 1979’da önerilen bu model, sadeliği sayesinde bugün de en çok kullanılan anlatımdır.

Modelin varsayımı: Bu bir geometri modelidir, biyolojik bir açıklama değildir. Açının neden 137,5°’ye yakın çıktığını anlatmaz; açının bu değer olduğunu kabul eder ve sonucu gösterir.

Bitki bu açıyı nereden “biliyor”?

Bitki bir açı ölçmez. Bugünkü anlayışa göre büyüme ucunda yeni bir organ taslağı, mevcut taslaklardan en uzak ve en uygun boşlukta oluşur. Bu süreçte büyümeyi düzenleyen oksin hormonunun dağılımının önemli rol oynadığı düşünülür. Her yeni taslak çevresinde yeni oluşumu bir süre engeller; bir sonraki taslak bu yüzden “en boş” yere kayar.

Bilgisayar benzetimleri, bu tür yerel bir kuralın kendiliğinden altın açıya yakın bir düzen üretebildiğini gösteriyor. Yani altın açı bir hedef değil, ortaya çıkan bir sonuçtur. Yine de ayrıntıların tamamı çözülmüş değildir ve konu hâlâ araştırılıyor. Bu soruyla ilgilenenler arasında, ömrünün son yıllarında bitkilerdeki desenler üzerine çalışan Alan Turing de vardı. Turing’in hesaplama üzerine fikirlerini Turing makinesi yazımızda bulabilirsiniz.

Gerçekler ve abartılar

Fibonacci spiralleri popüler kültürde çok sevilir ve bu sevgi bazen gerçeği aşar. Doğru bilgiyi ayıralım.

Doğru olanlar:

• Spiral filotaksi, yani yaprak ya da tohumların sabit açıyla dönerek dizilmesi, pek çok bitkide en yaygın düzendir.
• Bu düzende görülen spiral sayıları çoğu zaman ardışık Fibonacci sayılarıdır. Ayçiçeği, çam kozalağı ve ananas bilinen örneklerdir.

Abartılı ya da yanlış olanlar:

• “Her bitki Fibonacci’ye uyar.” Uymaz. Nanenin yaprakları gövdede karşılıklı çiftler hâlinde, her çift bir öncekine dik olarak dizilir. Birçok bitkide yapraklar tek sıra hâlinde sağa ve sola 180° aralıkla çıkar. Bazı bitkilerde de aynı düğümden üç ya da daha fazla yaprak halka biçiminde çıkar. Bunların hiçbiri spiral Fibonacci düzeni değildir.
• “Her ayçiçeği Fibonacci’dir.” Değildir. Yüzlerce ayçiçeği tablasının tek tek sayıldığı geniş gönüllü sayımlarında, spiral sayılarının yaklaşık beşte biri Fibonacci sayısı çıkmadı. Bunların önemli bir kısmı, bir Fibonacci sayısının bir eksiğiydi (55 yerine 54 gibi). Bir kısmında ise yine iki terimin toplamıyla ilerleyen ama 2 ve 1 ile başlayan başka bir dizi, Lucas dizisi (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, …) ortaya çıktı.
• “Ayçiçeğindeki spiraller altın spiraldir.” Altın dikdörtgenlerin içine çizilen ünlü spiral ile tohum tablasında gözün seçtiği spiraller aynı eğri değildir. Yukarıdaki modelde tohumlar merkezden √n ile uzaklaşır; bu, altın spiralin büyüme biçimiyle aynı değildir.
• “Altın oran doğadaki her spirali açıklar.” Salyangoz kabukları, galaksiler ya da kasırgalar için bu tür genellemelerin dayanağı yoktur. Her spiralin kendi fiziği ve kendi matematiği vardır.

Neden önemli?

Ayçiçeği, lise matematiğinden birçok fikri tek bir çiçekte buluşturur:

• Diziler: Fibonacci dizisi, özyinelemeli tanımın en bilinen örneğidir. Ardışık terim oranlarının bir sayıya yaklaşması, limit kavramına sezgisel bir giriştir.
• Rasyonel ve irrasyonel sayılar: Bir açının turun rasyonel kesri olup olmaması, desenin görünümünü doğrudan değiştirir. İrrasyonel sayıların ilk örneklerini √2’nin irrasyonelliği yazımızda anlatıyoruz.
• Kutupsal düşünme ve alan: r = c√n seçimi, dairenin alan formülünden çıkan bir orantıdır.
• Modelleme: Basit bir kuralın karmaşık görünen bir deseni üretebileceğini, ama modelin gerçeğin her ayrıntısını açıklamadığını görürüz.

Kapanış

Ayçiçeğinin tablası, tek bir açının tekrar tekrar uygulanmasıyla oluşan bir düzeni gösterir: 137,5° dönmek, karekökle dışa açılmak ve boşluk bırakmamak. Fibonacci sayıları bu düzenin görünür izidir. Ama doğa kurallara kusursuzca uyan bir ders kitabı değildir; kimi çiçek bir eksik sayar, kimi başka bir diziye geçer. Matematiğin gücü de burada: Hem düzeni açıklamamızı hem de istisnaları dürüstçe görebilmemizi sağlar.