Apollonius ve konikler: Bir koniyi kesince elips, parabol ve hiperbol

Karanlık bir odada el fenerini duvara tuttuğunuzu düşünün. Feneri duvara dik tuttuğunuzda ışık bir daire çizer. Biraz eğdiğinizde daire uzayıp bir elipse dönüşür. Daha da eğdiğinizde ışığın bir kenarı sonsuza uzanır ve açık uçlu bir eğri belirir. Fenerden çıkan ışık bir koni oluşturur; duvar da bu koniyi kesen bir düzlemdir. Duvarda gördüğünüz eğrilere konikler denir.

Bu eğrileri Antik Çağ’da en kapsamlı biçimde inceleyen kişi, bugünkü Antalya yakınlarındaki Perge kentinde doğan Apollonius’tur. Bu yazıda onun koniklere nasıl yaklaştığını, elips, parabol ve hiperbol adlarının nereden geldiğini ve bu eğrilerin koordinatlarla nasıl yazıldığını kendi örneklerimizle göreceğiz.

Pergeli Apollonius

Apollonius’un MÖ 3. yüzyılın ikinci yarısında doğup MÖ 190 dolaylarında öldüğü düşünülür; kesin tarihler bilinmiyor. Pamfilya bölgesindeki Perge’de doğdu, İskenderiye’de Öklid’in öğrencilerinin çevresinde yetişti ve orada ders verdi. Bergama’yı da ziyaret ettiği bilinir. Antik Çağ’da “Büyük Geometrici” diye anıldığı aktarılır.

En önemli eseri, sekiz kitaptan oluşan Konikler’dir. Bu kitapların ilk dördü Grekçe olarak günümüze ulaştı. Beşinci, altıncı ve yedinci kitaplar ise 9. yüzyılda Bağdat’ta yapılan Arapça çeviri sayesinde korundu. Sekizinci kitap kayıptır. Bu, İslam dünyasındaki çeviri geleneğinin antik bilgiyi korumadaki rolünün güzel bir örneğidir.

Apollonius’tan önce ve Apollonius’un yeniliği

Konik kesitler Apollonius’tan önce de biliniyordu. MÖ 4. yüzyılda Menaikhmos, küpün hacmini iki katına çıkarma problemi üzerinde çalışırken bu eğrilere ulaşmıştı. O dönemde her eğri farklı türde bir koniyle elde edilirdi: tepe açısı dik, dar ya da geniş olan koniler, kenarlarından birine dik bir düzlemle kesilirdi.

Apollonius’un yeniliği, bütün konikleri tek bir çift koniden elde etmesiydi. Tepe noktasında birleşen iki koni düşünün; biri yukarı, biri aşağı açılır. Bu çift koniyi bir düzlemle kesiyoruz. Yalnızca düzlemin eğimini değiştirerek bütün eğrileri elde ederiz:

• Düzlem koninin tabanına paralelse daire oluşur.
• Düzlem biraz eğik olup koninin bir yarısını baştan başa keserse elips oluşur.
• Düzlem koninin kenar çizgilerinden birine tam paralelse, eğri bir yönde sonsuza uzanır ve parabol oluşur.
• Düzlem daha dik olup koninin iki yarısını da keserse, iki ayrı koldan oluşan hiperbol oluşur.

Böylece üç ayrı eğri gibi görünen şeyler, aynı ailenin üyeleri olarak incelenebildi.

Adlar nereden geliyor?

Elips, parabol ve hiperbol adlarını bu eğriler için ilk kez sistemli biçimde kullanan Apollonius’tur. Adlar, Yunan geometrisindeki “alan uygulama” denen bir yöntemden gelir. Bu yöntemde bir alan, verilen bir doğru parçası üzerine yerleştirilir ve üç durum ortaya çıkar:

• Alan parçaya tam oturur: parabolē, yani “yan yana koyma, denk getirme”.
• Alan parçaya göre eksik kalır: elleipsis, yani “eksiklik”.
• Alan parçayı aşar: hyperbolē, yani “fazlalık, aşma”.

Apollonius, her eğrinin temel özelliğini bu üç durumdan birine karşılık gelen bir alan ilişkisiyle ifade etti ve eğrileri buna göre adlandırdı. Türkçedeki “abartı” anlamındaki mübalağa için edebiyatta kullanılan “hiperbol” terimi de aynı “aşma” fikrinden gelir.

Koordinatlarla konikler

Apollonius’un elinde koordinat sistemi yoktu; o, bütün sonuçlarını geometrik şekiller ve oranlarla kurdu. Koniklerin cebirsel denklemlerle yazılması 17. yüzyılda analitik geometriyle mümkün oldu. Bu dönüşümü Descartes ve koordinat sistemi yazımızda anlatıyoruz. Aşağıdaki örnekler bu yüzden modern bir anlatımdır.

Elips: uzaklıklar toplamı sabit

Elips, iki sabit noktaya (odaklara) olan uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların kümesidir. Kendi örneğimizi kuralım: Odaklar (−4, 0) ve (4, 0), uzaklıklar toplamı 10 olsun.

1. Toplamın yarısına a diyelim: a = 5. Merkezden odağa uzaklığa c diyelim: c = 4.
2. b² = a² − c² = 25 − 16 = 9, yani b = 3.
3. Denklem: x²/25 + y²/9 = 1.

Kontrol: (0, 3) noktasının iki odağa uzaklığı √(16 + 9) = 5’tir; toplam 10. (5, 0) noktası için uzaklıklar 9 ve 1’dir; toplam yine 10.

İki çivi, bir ip ve bir kalemle bunu kâğıt üzerinde çizebilirsiniz: İpin uçlarını çivilere bağlayın, kalemle ipi gergin tutarak dolaşın.

Parabol: odak ile doğruya eşit uzaklık

Parabol, bir noktaya (odak) ve bir doğruya (doğrultman) eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir. Odak (0, 1), doğrultman y = −1 olsun.

1. Bir (x, y) noktasının odağa uzaklığının karesi: x² + (y − 1)².
2. Doğrultmana uzaklığın karesi: (y + 1)².
3. Eşitleyelim: x² + y² − 2y + 1 = y² + 2y + 1.
4. Sadeleştirelim: x² = 4y, yani y = x²/4.

Kontrol: (2, 1) noktasının odağa uzaklığı 2’dir, doğrultmana uzaklığı da 1 − (−1) = 2’dir. Bu, lisede ikinci dereceden fonksiyonların grafiği olarak tanıdığımız eğridir.

Hiperbol: uzaklıklar farkı sabit

Hiperbol, iki odağa olan uzaklıkları farkının mutlak değeri sabit olan noktaların kümesidir. Odaklar (−5, 0) ve (5, 0), fark 6 olsun.

1. a = 3 (farkın yarısı), c = 5.
2. b² = c² − a² = 25 − 9 = 16, yani b = 4.
3. Denklem: x²/9 − y²/16 = 1.

Kontrol: (3, 0) noktasının odaklara uzaklıkları 8 ve 2’dir; fark 6.

Tek bir sayıyla sınıflandırma

Koniklerin hepsi, bir odak ile bir doğrultman kullanılarak da tanımlanabilir: Odağa uzaklığın doğrultmana uzaklığa oranı sabit bir e sayısıdır. Bu sayıya dışmerkezlik denir. e < 1 ise elips, e = 1 ise parabol, e > 1 ise hiperbol elde edilir. Yukarıdaki örneklerde elips için e = c/a = 4/5 = 0,8, hiperbol için e = 5/3 ≈ 1,67’dir.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Gezegen yörüngeleri: 17. yüzyılın başında Kepler, gezegenlerin Güneş etrafında elips biçiminde yörüngelerde dolandığını gösterdi. Apollonius’un saf geometri olarak incelediği eğri, göklerin düzenini açıkladı. Ayrıntılar Kepler yasaları yazımızda.
• Fırlatılan cisimler: Hava direncini ihmal eden ideal modelde, eğik atılan bir topun izlediği yol paraboldür. Bu modelin tarihini Galileo ve serbest düşme yazımızda anlatıyoruz.
• Çanak antenler ve farlar: Parabolün ekseni doğrultusunda gelen ışınlar, yüzeyden yansıdıktan sonra odakta toplanır. Çanak antenler sinyali odağa toplar; farlarda ise odaktaki ışık kaynağından çıkan ışınlar paralel bir demet olarak dışarı yansır.
• Konum bulma: İki verici istasyondan gelen sinyallerin alıcıya varış süreleri arasındaki fark, alıcının bu iki istasyona olan uzaklıkları farkını verir. Bu farkı sağlayan noktalar bir hiperbol üzerindedir. Bazı eski radyo seyir sistemleri, iki farklı istasyon çiftinden gelen hiperbollerin kesişiminden konum buluyordu.
• Lise matematiği: Parabol, ikinci dereceden fonksiyonların grafiği olarak müfredatın temel konularındandır. Daire ve analitik geometri de koniklerle doğrudan ilişkilidir.

Kapanış

Apollonius bir koniyi kesen düzlemin eğimini değiştirerek birbirinden çok farklı görünen eğrileri tek bir aileye topladı. Bu eğrilerin gezegenleri, fırlatılan topları ve sinyalleri anlatacağını bilmiyordu. İki bin yıl sonra ortaya çıkan bu bağlantılar, saf merakla yapılan geometrinin evreni anlamak için ne kadar değerli bir hazırlık olabileceğini gösteriyor.