Günümüzde Matematik · Günümüz
Anketler, örneklem ve hata payı: Birkaç yüz kişi bir şehri nasıl temsil eder?
Bir şehrin tamamına sormadan, birkaç yüz kişilik iyi seçilmiş bir örneklemle oldukça güvenilir tahminler yapılabilir. Hata payının formülünü, güven düzeyinin anlamını ve hata payının anlatmadıklarını kendi örneğimizle adım adım inceliyoruz.
Yazan: matematikce editörlüğü 5 dk okuma
Bir tencere çorbanın tuzunu anlamak için tencerenin tamamını içmeniz gerekmez. İyice karıştırdıktan sonra alınan bir kaşık yeterlidir. Anketler de aynı fikre dayanır: Bir şehrin ya da ülkenin tamamına soru sormadan, iyi seçilmiş birkaç yüz ya da birkaç bin kişiye sorarak bütün hakkında tahmin yapmak.
Ama o kaşık, çorbanın tamamı değildir. Bir anket sonucunun yanında “±3 puan hata payı” gibi bir ifade görmemizin nedeni budur. Bu yazıda hata payının nasıl hesaplandığını, “%95 güven” ifadesinin gerçekte ne anlama geldiğini, örneklemin neden büyük olmasının yetmediğini ve evrenin büyüklüğünün şaşırtıcı biçimde neden pek önemli olmadığını kendi hayalî örneğimizle adım adım göreceğiz.
Evren, örneklem ve oran
İstatistikte hakkında bilgi edinmek istediğimiz topluluğun tamamına evren (ya da anakütle), içinden seçilen gruba örneklem denir. Genellikle öğrenmek istediğimiz şey, evrende belirli bir özelliğe sahip olanların oranıdır.
Örneğimizi kuralım. 200 000 hanelik hayalî bir şehirde belediye, hanelerin ne kadarının ayda en az bir kez halk kütüphanesini kullandığını merak ediyor. Bütün hanelere sormak pahalı ve yavaş olduğu için rastgele seçilmiş 600 haneye soruluyor. 240 hane “evet” diyor.
Örneklem oranı p = 240 ÷ 600 = 0,40, yani %40’tır. Şehrin tamamındaki gerçek oranı bilmiyoruz. Bildiğimiz, bu oranın %40’a yakın bir yerde olmasının akla yatkın olduğu. Ne kadar yakın?
Rastgelelik neden şart?
Hesaba geçmeden önce en önemli koşulu vurgulayalım: Örneklem rastgele seçilmelidir. Yani evrendeki her birimin seçilme şansı bilinmeli ve kimsenin seçimi ankete katılanların kendi tercihine bırakılmamalıdır.
Belediye aynı soruyu kütüphanenin girişinde bekleyip gelen ziyaretçilere sorsaydı ne olurdu? Neredeyse herkes “evet” derdi, çünkü soru zaten kütüphaneyi kullananlara soruluyor. Böyle bir örneklem 6000 kişi de olsa şehrin gerçeğini yansıtmaz. Hata payı formülü, yalnızca rastgele örneklemden gelen doğal dalgalanmayı ölçer. Yanlış seçilmiş bir örneklemin yanlılığını düzeltemez.
Hata payını adım adım hesaplamak
Aynı şehirden rastgele 600 hane seçmeyi defalarca tekrarladığımızı düşünelim. Her seferinde biraz farklı bir oran çıkardı: %38, %41, %40, %43… Bu oranlar gerçek değerin çevresinde, yaklaşık olarak çan eğrisi biçiminde, yani normal dağılıma göre dağılır. Bu dağılımın genişliğini ölçen sayıya standart hata denir. Bir oran için:
standart hata = √(p × (1 − p) ÷ n)
Bizim örneğimizde:
- p × (1 − p) = 0,40 × 0,60 = 0,24
- 0,24 ÷ 600 = 0,0004
- √0,0004 = 0,02
Normal dağılımda değerlerin yaklaşık %95’i ortalamanın iki yanında 1,96 standart hata içinde kalır. Bu yüzden %95 güven düzeyinde hata payı:
hata payı = 1,96 × standart hata = 1,96 × 0,02 ≈ 0,039
Yani yaklaşık ±3,9 yüzde puan. Tahminimiz %40, güven aralığımız ise yaklaşık %36,1 ile %43,9 arasıdır. Çan eğrisinin kökenini merak ediyorsanız Gauss ve normal dağılım yazımıza göz atabilirsiniz.
“%95 güven” ne demek?
Bu ifade sık sık yanlış anlaşılır. “%95 güven”, gerçek oranın %95 olasılıkla bu aralıkta olduğunu söyleyen bir cümle gibi okunur. Daha doğru yorum şudur: Bu yöntemi, yani rastgele 600 hane seçip aralığı bu formülle kurmayı çok kez tekrarlasaydık, kurulan aralıkların yaklaşık %95’i gerçek oranı içine alırdı. Yaklaşık yirmide biri ise ıskalardı. Elimizdeki tek aralığın bu yirmide birden biri olup olmadığını bilemeyiz.
Örneklem büyüklüğü: dört kat kişi, yarım hata
Hata payı formülünde n kökün içinde, paydadadır. Bu, önemli bir sonuç doğurur: Hata payını yarıya indirmek için örneklemi iki değil, dört katına çıkarmak gerekir.
p’yi bilmediğimizde en temkinli seçim p = 0,5’tir, çünkü p × (1 − p) en büyük değerini burada alır. Bu durumda:
| Örneklem (n) | Hata payı (%95 güven, p = 0,5) |
|---|---|
| 150 | yaklaşık ±8,0 puan |
| 600 | yaklaşık ±4,0 puan |
| 1000 | yaklaşık ±3,1 puan |
| 4000 | yaklaşık ±1,5 puan |
Hedef hata payından örneklem büyüklüğüne de dönebiliriz. ±3 puanlık bir hata payı istiyorsak n = 0,25 × (1,96 ÷ 0,03)² ≈ 1067,1 çıkar. Yukarı yuvarlayarak en az 1068 kişi gerektiğini buluruz.
Evrenin büyüklüğü neden pek önemli değil?
Şaşırtıcı bir gerçek: Formülde evrenin büyüklüğü hiç yok. 200 000 hanelik bir şehirde de, milyonlarca haneli bir bölgede de 600 kişilik rastgele bir örneklemin hata payı hemen hemen aynıdır. Çorba örneğine dönersek: İyi karıştırılmış olduğu sürece, bir kaşık tadın küçük bir tencerede de kocaman bir kazanda da yaklaşık aynı bilgiyi verir.
Evren küçük olduğunda ise bir düzeltme gerekir. Hata payı √((N − n) ÷ (N − 1)) ile çarpılır; burada N evrenin büyüklüğüdür. Bizim şehrimizde bu çarpan √(199 400 ÷ 199 999) ≈ 0,9985’tir, yani etkisi yok denecek kadar azdır. Ama 1000 öğrencili bir okulda 600 öğrenciye sorulsaydı çarpan √(400 ÷ 999) ≈ 0,63 olurdu ve hata payı belirgin biçimde küçülürdü. Kısacası örneklem, evrenin küçük bir parçası olduğu sürece evrenin büyüklüğü sonucu pek etkilemez.
Hata payının anlatmadıkları
Hata payı yalnızca bir tür belirsizliği, rastgele örneklemden gelen dalgalanmayı ölçer. Bir anketin yanılmasının başka yolları da vardır ve örneklemi büyütmek bunları azaltmaz:
- Kapsam hatası: Seçim listesi evreni tam kapsamıyorsa, örneğin yalnızca sabit telefonu olan hanelere ulaşılıyorsa, bazı gruplar hiç temsil edilmez.
- Yanıtsızlık: Soruyu cevaplamayı kabul edenler, reddedenlerden farklı düşünüyorsa sonuç kayar.
- Soru ifadesi: “Kütüphanemizin sunduğu zengin imkânlardan yararlanıyor musunuz?” gibi yönlendirici bir soru, cevapları etkiler.
- Ölçüm hatası: İnsanlar bir davranışı olduğundan sık ya da seyrek hatırlayabilir.
Alt gruplara bakarken de dikkatli olmak gerekir. Örneğimizde 600 hanenin yalnızca 150’si çocuklu hane olsaydı, bu grup için hata payı yaklaşık ±8 puana çıkardı. İki grup arasındaki farkı yorumlarken de her iki grubun belirsizliği birlikte hesaba katılmalıdır. Aradaki fark küçükse, gerçek bir fark olduğunu söylemek için veri yetmeyebilir.
Neden önemli?
Anketler; halk sağlığı araştırmalarında, eğitim çalışmalarında, pazar araştırmalarında ve resmî istatistiklerde karar vermenin temel araçlarından biridir. Bir haberde “%40” gördüğümüzde, hata payını, örneklemin nasıl seçildiğini ve sorunun nasıl sorulduğunu sormak, sayıları doğru okumanın yoludur. Bu konuda daha fazla örnek için istatistik okuryazarlığı yazımıza göz atabilirsiniz.
Bu yazıdaki fikirler lise matematiğinin olasılık, veri ve istatistik, oran ve köklü sayılar konularıyla doğrudan bağlantılıdır. Konu listesini ne öğrettiğimizi anlattığımız sayfada bulabilirsiniz.
Kapanış
Birkaç yüz kişilik bir örneklemin koca bir şehir hakkında anlamlı bir şey söyleyebilmesi, olasılık kuramının en kullanışlı sonuçlarından biridir. Ama bu gücün iki şartı var: Örneklem gerçekten rastgele seçilmeli ve sonuç, hata payıyla birlikte, dürüstçe okunmalı. Bir kaşık çorba, ancak çorba iyi karıştırılmışsa ve kaşığın bir tahmin olduğunu unutmazsak bize doğru bilgi verir.