Gauss ve normal dağılım: Ölçüm hatalarının çan eğrisi

Bir mutfak tartısına aynı elmayı on kez koyup kaldırdığınızı düşünün. Tartı hep aynı sayıyı göstermeyebilir: 201 gram, 199 gram, 200 gram, bir kez de 203 gram. Sonuçların çoğu gerçek değere yakın, birkaçı biraz uzakta, çok uzakta olanlar ise nadirdir. Ölçümleri bir sütun grafiğinde toplarsanız ortası yüksek, iki yanı simetrik biçimde alçalan bir şekil belirir.

Bu şekle çan eğrisi, matematiksel adıyla normal dağılım denir. Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss’un adıyla da anılır, çünkü Gauss bu eğriyi ölçüm hatalarının kuramına yerleştirdi. Bu yazıda eğrinin nereden geldiğini, Gauss’un gerçekte ne yaptığını, ünlü 68-95-99,7 kuralını ve birçok ölçümün ortalamasını almanın neden bu kadar güçlü olduğunu sayılarla göreceğiz.

Gauss kimdi? Bir hikâye ve bir uyarı

Gauss 1777’de bugünkü Almanya’daki Braunschweig’da doğdu, 1855’te Göttingen’de öldü. Sayılar kuramından geometriye, astronomiden manyetizmaya kadar pek çok alanda iz bıraktı ve 1807’den itibaren Göttingen Gözlemevi’ni yönetti.

Gauss denince akla gelen ilk hikâye, ilkokuldayken öğretmeninin sınıfa 1’den 100’e kadar sayıları toplatması ve küçük Gauss’un cevabı hemen bulmasıdır. Anlatıya göre sayıları uçlardan eşleştirmiştir: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101 ve böyle 50 çift olduğu için toplam 50 × 101 = 5050’dir.

Bu hikâyeyi bir rivayet olarak okumak gerekir. Gauss’un ölümünden kısa süre sonra yazılan ilk yaşam öyküsünde, sınıfta uzun bir toplama işlemini hızla bitirdiğinden söz edilir; ama 1’den 100’e kadar sayılar ve eşleştirme yöntemi bu anlatıda geçmez. Bu ayrıntılar hikâyeye sonraki anlatımlarda eklenmiştir. Yöntemin kendisi ise doğru ve kullanışlıdır: 1’den n’ye kadar sayıların toplamı n × (n + 1) ÷ 2’dir.

Kayıp bir gök cismi ve en küçük kareler

1801’in ilk gününde İtalyan gökbilimci Giuseppe Piazzi, bugün cüce gezegen olarak sınıflandırılan Ceres’i keşfetti. Birkaç hafta izledikten sonra Ceres, Güneş’in parıltısı içinde kayboldu. Elde yalnızca kısa bir yay boyunca yapılmış, üstelik hatalı ölçümler vardı. Ceres’in birkaç ay sonra gökyüzünün neresinde görüneceğini kim hesaplayabilirdi?

24 yaşındaki Gauss bu soruyu çözdü ve yıl sonunda gökbilimciler Ceres’i onun hesapladığı konumun yakınında yeniden buldu. Gauss, hatalı gözlemlerden en olası yörüngeyi çıkarmak için bugün en küçük kareler yöntemi dediğimiz fikri kullanmıştı.

Bu yöntemi ilk yayımlayan kişi ise Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre oldu (1805). Gauss 1809’da yayımladığı Theoria motus adlı gök mekaniği kitabında yöntemi 1795’ten beri kullandığını yazdı. Kimin önce bulduğu konusundaki bu anlaşmazlık tarihte tartışmalı bir öncelik sorusu olarak kalmıştır.

Hata eğrisi: Gauss ne gösterdi?

Gauss’un 1809’daki kitabında yaptığı şey, iki soruyu birbirine bağlamaktı:

1. Aynı büyüklüğü birçok kez ölçtüğümüzde, gerçek değere en iyi tahmin nedir? Çoğumuzun sezgisi “ortalama” der.
2. Ölçüm hataları nasıl dağılıyor olmalı ki ortalama gerçekten en iyi tahmin olsun?

Gauss, bu iki sorunun cevaplarının birbirini gerektirdiğini gösterdi. Hataların belirli bir çan biçimli eğriye uyduğu varsayılırsa, en olası değer aritmetik ortalamadır ve en küçük kareler yöntemi en iyi sonucu verir. Bu eğrinin formülü şöyledir:

f(x) = 1 ÷ (σ√(2π)) × e^(−(x − μ)² ÷ (2σ²))

Formül karmaşık görünebilir ama iki sayıyla kontrol edilir:

• μ (ortalama): Eğrinin tepesinin durduğu yer.
• σ (standart sapma): Eğrinin ne kadar geniş yayıldığı. σ küçükse ölçümler ortalamaya sıkıca toplanır.

Formülde e sayısının ve π’nin birlikte yer alması da ilginçtir.

Adı Gauss’la anılsa da ilk o değildi

Aynı eğri, olasılık hesabında Gauss’tan önce ortaya çıkmıştı. Fransız asıllı matematikçi Abraham de Moivre, 1733’te çok sayıda yazı-tura atışında yazı sayısının dağılımının bu eğriye yaklaştığını gösterdi. Pierre-Simon Laplace ise sonraki on yıllarda bu sonucu çok daha genel bir ilkeye dönüştürdü. Yani “Gauss eğrisi” adı, eğrinin mucidini değil, ölçüm kuramındaki etkili kullanımını hatırlatır. Olasılık hesabının daha önceki başlangıcını Pascal ve Fermat yazımızda bulabilirsiniz.

Çan eğrisi neden bu kadar sık çıkar?

Kendi örneğimizle bakalım. 10 madeni parayı birlikte atıp kaç tanesinin yazı geldiğini sayalım. Olası tüm sonuçların sayısı 2¹⁰ = 1024’tür. Kaç farklı yolla k tane yazı gelebileceği, 10’un k’li kombinasyonudur:

Yazı sayısı	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Yol sayısı	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

Bu sayılarla bir sütun grafiği çizerseniz ortası yüksek, iki yanı simetrik bir şekil çıkar. Tam 5 yazı gelme olasılığı 252 ÷ 1024 ≈ %24,6’dır. 4, 5 ya da 6 yazı gelme olasılığı ise (210 + 252 + 210) ÷ 1024 ≈ %65,6’dır.

Para sayısını 10’dan 100’e, 1000’e çıkardıkça sütunların tepeleri giderek düzgün bir çan eğrisine oturur. Bunun nedeni şudur: Her sonuç, birbirinden bağımsız birçok küçük etkinin toplamıdır. Olasılık kuramının en önemli sonuçlarından biri olan merkezi limit teoremi, belirli koşullar altında birçok bağımsız küçük etkinin toplamının yaklaşık olarak normal dağıldığını söyler.

Ölçüm hataları da çoğu zaman böyledir: Elin küçük titremesi, havadaki akım, göz yanılması, aletin küçük kusurları. Her biri küçüktür, bir kısmı sonucu artırır, bir kısmı azaltır. Toplamları çan eğrisine benzer.

68-95-99,7 kuralı

Normal dağılımda verilerin ortalama çevresine nasıl yayıldığını gösteren pratik bir kural vardır:

• Değerlerin yaklaşık %68’i ortalamanın 1 standart sapma yakınındadır.
• Yaklaşık %95’i 2 standart sapma yakınındadır.
• Yaklaşık %99,7’si 3 standart sapma yakınındadır.

Kendi örneğimizi kuralım. Bir laboratuvar terazisinin 500 gramlık bir ağırlığı ölçerken yaptığı hataların normal dağıldığını ve standart sapmasının 2 gram olduğunu varsayalım.

1. Ölçümlerin yaklaşık %68’i 498 ile 502 gram arasında çıkar.
2. Yaklaşık %95’i 496 ile 504 gram arasında çıkar.
3. 494’ün altında ya da 506’nın üstünde bir sonuç görmek çok nadirdir: 1000 ölçümde yalnızca 3 kadar.

Ortalamanın gücü

Gauss’un ölçüm kuramından çıkan belki de en yararlı sonuç şudur: Aynı büyüklüğü birbirinden bağımsız n kez ölçüp ortalama alırsak, ortalamanın standart sapması tek bir ölçümünkünün √n’de biri olur.

Terazimize dönelim. Tek ölçümün standart sapması 2 gramdı.

• 4 ölçümün ortalaması: 2 ÷ √4 = 1 gram
• 16 ölçümün ortalaması: 2 ÷ √16 = 0,5 gram
• 100 ölçümün ortalaması: 2 ÷ √100 = 0,2 gram

16 ölçümün ortalaması, %95 olasılıkla gerçek değerin 1 gram yakınındadır. Ancak dikkat: Hatayı yarıya indirmek için ölçüm sayısını 4 katına çıkarmak gerekir. Ayrıca bu kural yalnızca rastgele hataları küçültür. Terazi her seferinde 3 gram fazla gösteriyorsa, bu sistematik hata ortalama almakla kaybolmaz.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Anketler ve hata payı: Bir anketteki “±3 puan” gibi ifadeler, normal dağılıma dayanan hesaplardan gelir. Ayrıntısını anketler ve örneklem yazımızda bulabilirsiniz.
• Bilim ve mühendislik: Ölçüm sonuçları çoğu zaman “değer ± belirsizlik” biçiminde verilir. Üretim hatlarında parçaların ölçüleri de benzer yöntemlerle denetlenir.
• Sınav puanları: Büyük sınavlarda puanlar çoğu zaman yaklaşık çan biçimli dağılır. Standart puan hesapları bu fikre dayanır.
• Lise matematiği: Veri, ortalama, standart sapma ve olasılık konuları, normal dağılıma giden yolun ilk basamaklarıdır.

Bir uyarıyı da eklemek gerekir: Her veri normal dağılmaz. Bazı veriler tek yana doğru uzun bir kuyruk oluşturur ve bu durumda ortalama yanıltıcı olabilir. Sayıları doğru okumanın incelikleri için istatistik okuryazarlığı yazımıza göz atabilirsiniz.

Kapanış

Çan eğrisi, kusurlu ölçümlerden güvenilir bilgi çıkarmanın matematiğidir. Gauss’un katkısı, hatayı yok saymak yerine onu inceleyip bir yasaya bağlamaktı. Kaybolan bir gök cismini yeniden bulmaktan bugünkü anket sonuçlarına kadar uzanan bu fikir, tek bir ölçüme değil, birçok ölçümün birlikte anlattığı hikâyeye güvenmeyi öğretir.