e sayısı: Bileşik faiz sorusundan doğan 2,718… sabiti

Matematikte adı tek bir harf olan iki ünlü sayı vardır. Birincisi π’dir ve çemberden gelir. İkincisi e’dir ve değeri yaklaşık 2,71828’dir. π’nin nereden geldiğini bir çember çizerek görebiliriz; peki e hangi sorudan doğdu?

Şaşırtıcı bir biçimde, e ile ilk karşılaşmalardan biri bir para sorusudur. 17. yüzyılın sonunda İsviçreli matematikçi Jakob Bernoulli şunu merak etti: Faiz yılda bir kez değil de daha sık, sonra daha da sık eklenirse birikim sınırsız mı büyür, yoksa bir sınıra mı yaklaşır? Bu yazıda bu soruyu kendi hesaplarımızla izleyecek, cevabın neden e olduğunu ve bu sayının neden matematiğin her köşesinde karşımıza çıktığını göreceğiz. Buradaki sayılar yalnızca matematiksel örnektir; herhangi bir yatırım önerisi içermez.

Bernoulli’nin sorusu

Bernoulli’nin 1683’te incelediği soruyu sadeleştirelim. Bir hesaba 1 lira koyduğumuzu ve yıllık faiz oranının abartılı biçimde %100 olduğunu varsayalım.

• Faiz yılda bir kez eklenirse: Yıl sonunda 1 + 1 = 2 lira olur.
• Faiz yılda iki kez eklenirse: Her altı ayda oranın yarısı, yani %50 eklenir. Altı ay sonra 1,5 lira olur. Kalan altı ayda bu 1,5 liranın da %50’si eklenir: 1,5 × 1,5 = 2,25 lira.
• Faiz yılda dört kez eklenirse: Her çeyrekte %25 eklenir: 1,25⁴ ≈ 2,4414 lira.

Faiz daha sık eklendikçe sonuç büyüyor. Çünkü her eklemede, önceki faizler de faiz kazanıyor. Buna bileşik faiz denir.

Genel olarak faiz yılda n kez eklenirse yıl sonundaki miktar:

(1 + 1/n)ⁿ

Bernoulli, n büyüdükçe bu ifadenin bir sınıra yaklaştığını ve bu sınırın 2 ile 3 arasında olduğunu gösterdi.

Tabloyu kendimiz hesaplayalım

Farklı n değerleri için (1 + 1/n)ⁿ ifadesini hesaplayalım:

Faiz ekleme sıklığı	n	(1 + 1/n)ⁿ
Yılda bir	1	2
Altı ayda bir	2	2,25
Üç ayda bir	4	2,4414
Ayda bir	12	2,6130
Haftada bir	52	2,6926
Günde bir	365	2,7146
Saatte bir	8760	2,7181
Dakikada bir	525 600	2,71828

Tablodaki düzeni izleyelim:

1. İlk adımlarda artış büyüktür: 2’den 2,25’e, oradan 2,44’e çıkıyoruz.
2. Aylıktan haftalığa geçince artış yalnızca 0,08 kadardır.
3. Günlükten saatliğe geçince artış 0,004’e iner.
4. Dakikalık eklemede sonuç 2,71828’e ulaşır ve daha sık eklemek artık virgülden sonraki beşinci basamağı bile zor değiştirir.

Birikim sınırsız büyümüyor; 2,71828… sayısına yaklaşıyor. İşte bu sınıra e diyoruz:

e = n sonsuza giderken (1 + 1/n)ⁿ ifadesinin limiti ≈ 2,718281828

Faizin her an, kesintisiz eklendiği bu sınır durumuna sürekli bileşik faiz denir.

Gerçekçi bir oranla deneyelim

Yüzde yüz faiz uç bir örnekti. 10 000 liralık bir tutar ve yıllık %12 oranla aynı fikri deneyelim. Vergiler, masraflar ve enflasyon gibi etkileri bu hesaba katmıyoruz.

1. Yılda bir ekleme: 10 000 × 1,12 = 11 200 lira
2. Ayda bir ekleme: Her ay %1 eklenir: 10 000 × 1,01¹² ≈ 11 268 lira
3. Sürekli ekleme: 10 000 × e^0,12 ≈ 11 275 lira

Yıllıktan aylığa geçiş 68 lira fark yaratırken, aylıktan sürekliye geçiş yalnızca 7 lira ekliyor. Ekleme sıklığının etkisi hızla doyuma ulaşıyor. Genel formül de şöyledir: r oranıyla sürekli bileşik faizde t yıl sonra miktar, başlangıç tutarının e^(r × t) katıdır.

Euler ve e harfi

Bu sabite e adını veren ve onu matematiğin merkezine yerleştiren kişi Leonhard Euler’dir. Euler, e harfini 1720’lerin sonunda yayımlanmamış bir çalışmasında kullanmaya başladı; 1731’de Christian Goldbach’a yazdığı bir mektupta da bu harf geçer. Harf ilk kez 1736’da basılan Mechanica adlı eserinde matbu olarak görüldü.

Neden e harfi seçildi? Kesin olarak bilinmiyor. Euler’in adının baş harfi olduğu ya da “üstel” anlamına gelen bir sözcükten türediği sık söylenir, ama bunu destekleyen bir kanıt yoktur. Euler’in yalnızca kullanılmamış bir harf seçmiş olması da mümkündür.

Euler, 1748’de yayımlanan Introductio in analysin infinitorum adlı kitabında e’yi sonsuz bir toplamla da ifade etti:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + …

Burada n! (n faktöriyel), 1’den n’ye kadar olan tam sayıların çarpımıdır: 3! = 6, 4! = 24 gibi. Bu seri, (1 + 1/n)ⁿ ifadesinden çok daha hızlı yaklaşır:

Terim sayısı	Toplam
1 + 1	2
+ 1/2	2,5
+ 1/6	2,6667
+ 1/24	2,7083
+ 1/120	2,7167
+ 1/720	2,71806
+ 1/5040	2,71825

Sekiz terimle virgülden sonra dört basamak doğru çıkıyor. Oysa (1 + 1/n)ⁿ ile aynı doğruluğa ulaşmak için n’yi binlerce almak gerekiyordu. Euler bu seriyle e’yi virgülden sonra 18 basamağa kadar hesapladı.

e’nin bir kesir olarak yazılamayan, yani irrasyonel bir sayı olduğu Euler döneminde anlaşıldı. 1873’te Fransız matematikçi Charles Hermite, e’nin tam sayı katsayılı hiçbir polinom denkleminin kökü olamayacağını, yani aşkın bir sayı olduğunu kanıtladı.

e neden “doğal” sayılır?

Bir faiz sorusundan doğan bir sayının matematiğin bu kadar merkezinde durması tesadüf değildir. Bunun nedeni, e’nin değişim hızıyla olan özel ilişkisidir.

y = aˣ biçimindeki üstel fonksiyonları düşünelim. Her birinin x = 0 noktasındaki eğimini, çok küçük bir adımla yaklaşık olarak hesaplayabiliriz: (a^0,001 − 1) ÷ 0,001.

• a = 2 için eğim ≈ 0,693
• a = 3 için eğim ≈ 1,099
• a = e için eğim ≈ 1,000

Eğimi tam 1 olan taban, 2 ile 3 arasında bir yerdedir ve bu taban e’dir. Bunun sonucu çok güçlüdür: eˣ fonksiyonunun her noktadaki eğimi, fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir. Başka bir deyişle, eˣ’in türevi yine eˣ’tir. Türev fikrinin nasıl doğduğunu Newton ve Leibniz yazımızda anlatıyoruz.

Bu özellik, “bir şeyin değişim hızı, o şeyin kendi miktarıyla orantılıysa” türündeki her durumda e’nin ortaya çıkması demektir. Sürekli bileşik faiz de tam olarak böyle bir durumdur: Birikim ne kadar büyükse, o an eklenen faiz de o kadar büyüktür.

Tabanı e olan logaritmaya doğal logaritma denir ve ln ile gösterilir. Logaritmanın, e henüz adını almadan önceki hikâyesini Napier ve logaritma yazımızda bulabilirsiniz.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Büyüme ve azalma modelleri: İdeal koşullarda çoğalan bir bakteri kolonisi ya da bozunan radyoaktif bir madde, e tabanlı üstel fonksiyonlarla modellenir. Bozunmanın yaş tayininde nasıl kullanıldığını karbon-14 yazımızda görebilirsiniz. Üstel büyümenin sezgimizi nasıl yanılttığını ise üstel büyüme yazımız anlatıyor. Gerçek popülasyonların sınırsız büyümediğini, modelin yalnızca belirli koşullarda geçerli olduğunu da unutmamak gerekir.
• Olasılık ve istatistik: Normal dağılımın çan eğrisinin formülünde e bulunur.
• Fizik ve mühendislik: Soğuyan bir çayın sıcaklığının ortam sıcaklığına yaklaşması ya da bir kondansatörün boşalması, e içeren ifadelerle anlatılır.
• Lise matematiği: Üstel ve logaritmik fonksiyonlar, limit ve türev konuları e sayısıyla doğrudan ilişkilidir. Bu konuların müfredattaki yerine ne öğrettiğimizi anlattığımız sayfadan bakabilirsiniz.

Kapanış

e sayısının hikâyesi, basit bir sorunun ne kadar derine götürebileceğini gösterir. “Faizi daha sık eklersek ne olur?” diye başlayan bir merak, önce bir tabloya, sonra bir limite, oradan da değişimin kendisini anlatan bir sabite ulaştı. 2,71828… sayısını bir sonraki karşılaşmanızda, arkasında sonsuz küçük adımlarla büyüyen bir miktarın durduğunu hatırlayabilirsiniz.