Newton, Leibniz ve kalkülüsün iki kez doğuşu

Arabanın hız göstergesi 60 km/sa gösteriyor. Peki bu sayı tam olarak neyi ölçer? Bir saatte 60 km yol aldığınızı değil, çünkü bir saat boyunca hızınız değişebilir. Gösterge, o anki hızı söyler. Ama “o an” hiç süre geçmeyen bir andır ve sıfır sürede alınan yol da sıfırdır. Sıfırı sıfıra bölemeyiz. O zaman anlık hız ne demektir?

Bu soru ve onun ikizi olan “eğri bir şeklin alanı nasıl bulunur?” sorusu, 17. yüzyılda kalkülüs adını verdiğimiz yöntemle cevaplandı. Türev ve integralden oluşan bu yöntemi İngiltere’de Isaac Newton, Almanya’da Gottfried Wilhelm Leibniz birbirinden bağımsız olarak geliştirdi. Bu yazıda önce iki temel fikri kendi sayılarımızla kuracak, sonra iki matematikçinin hikâyesine ve bilim tarihinin en sert öncelik tartışmalarından birine bakacağız.

Anlık hız: Aralığı küçültmek

Hava direncini ihmal edersek, bırakılan bir taşın t saniyede düştüğü yol yaklaşık h(t) = 4,9 × t² metredir. Bu formülün geçmişini Galileo ve serbest düşme yazımızda anlatıyoruz. Taşın tam 2. saniyedeki hızını bulmak istiyoruz.

Anlık hızı doğrudan hesaplayamıyoruz, ama ortalama hızı hesaplayabiliriz: alınan yol bölü geçen süre. 2. saniyeden başlayıp giderek kısalan aralıklar alalım:

Aralık	Alınan yol (m)	Ortalama hız (m/s)
2 ile 3 saniye arası	44,1 − 19,6 = 24,5	24,5
2 ile 2,1 saniye arası	21,609 − 19,6 = 2,009	20,09
2 ile 2,01 saniye arası	19,79649 − 19,6 = 0,19649	19,649
2 ile 2,001 saniye arası	0,0196049	19,6049

Aralık kısaldıkça ortalama hız belirli bir sayıya yaklaşıyor: 19,6 m/s. İşte anlık hız, bu yaklaşılan değerdir.

Aynı hesabı genel olarak yapalım. 2 ile 2 + Δt arasındaki ortalama hız:

(4,9 × (2 + Δt)² − 4,9 × 4) ÷ Δt = 4,9 × (4Δt + Δt²) ÷ Δt = 19,6 + 4,9 × Δt

Δt ne kadar küçülürse 4,9 × Δt terimi o kadar küçülür ve sonuç 19,6’ya yaklaşır. Δt’yi hiçbir zaman sıfır yapmadık; yalnızca giderek küçülttük. Sıfıra bölme sorununu bu şekilde aşıyoruz.

Geometrik olarak ortalama hız, yol-zaman grafiğinde iki noktayı birleştiren kesenin eğimidir. Noktalar birbirine yaklaştıkça kesen, eğriye o noktada yalnızca dokunan teğet doğruya dönüşür. Anlık değişim hızına bugün türev diyoruz.

Alan: Parçalayıp toplamak

Şimdi tersini düşünelim. Taşın hızı her an v(t) = 9,8 × t m/s ise ilk 2 saniyede ne kadar yol alır?

Hız sabit olsaydı yol = hız × süre olurdu. Hız değiştiği için süreyi küçük parçalara bölelim ve her parçada hızı sabit sayalım. 2 saniyeyi 4 eşit parçaya (her biri 0,5 s) bölelim:

1. Her parçanın sonundaki hızı kullanırsak: hızlar 4,9; 9,8; 14,7 ve 19,6. Toplam yol ≈ 0,5 × (4,9 + 9,8 + 14,7 + 19,6) = 24,5 m. Bu fazla bir tahmindir.
2. Her parçanın başındaki hızı kullanırsak: hızlar 0; 4,9; 9,8 ve 14,7. Toplam yol ≈ 0,5 × 29,4 = 14,7 m. Bu eksik bir tahmindir.

Parça sayısını 8’e çıkarırsak tahminler 22,05 m ve 17,15 m olur. Parçalar inceldikçe iki tahmin birbirine yaklaşır ve ortak değer olan 19,6 m’ye sıkışır. Bu sayı, hız-zaman grafiğinin altında kalan üçgenin alanıdır: ½ × 2 × 19,6 = 19,6. Bu değer h(2) = 4,9 × 4 = 19,6 ile de aynıdır.

Eğrinin altındaki alanı ince dikdörtgenlerin toplamının sınırı olarak bulma işlemine integral diyoruz.

İki fikir, tek yöntem

Buraya kadar iki ayrı iş yaptık: Yol formülünden hıza geçtik (türev), hız formülünden yola geri döndük (integral). İkisinin birbirinin tersi olduğunu gördük. Kalkülüsün temel teoremi dediğimiz bu bağ, Newton ile Leibniz’in her ikisinin de kavradığı asıl büyük fikirdir.

Parçalara ayırma ve eğimler üzerine düşünenler onlardan önce de vardı. Arşimet eğri alanları ince parçalarla hesaplamış, Fermat ve Barrow gibi 17. yüzyıl matematikçileri teğetler ve alanlar üzerine önemli sonuçlara ulaşmıştı. Newton ile Leibniz’i ayıran şey, bu dağınık teknikleri birçok farklı probleme uygulanabilen genel ve sistemli bir yönteme dönüştürmeleriydi. Parçalara bölme fikrinin felsefi kökenlerini Zenon paradoksları yazımızda bulabilirsiniz.

Newton: Akan nicelikler

Newton, 1665-1666 yıllarında Cambridge Üniversitesi veba salgını yüzünden kapanınca doğduğu köy olan Woolsthorpe’a döndü. Bu dönemde kalkülüs üzerine temel fikirlerini geliştirdi. Newton değişen nicelikleri zamanla “akan” büyüklükler olarak düşündü ve bunlara fluent, değişim hızlarına fluxion adını verdi. Bir x niceliğinin değişim hızını harfin üstüne bir nokta koyarak ẋ biçiminde gösterdi.

Ancak Newton sonuçlarını uzun süre yayımlamadı. 1669’da yazdığı bir çalışması yalnızca yakın çevresindeki matematikçiler arasında elden ele dolaştı. Yöntemini ayrıntılı anlattığı kitabı 1671’de yazıldı ama ancak ölümünden sonra, 1736’da basılabildi. 1687’de yayımlanan ünlü Principia’da ise sonuçlarını büyük ölçüde klasik geometri diliyle sundu.

Leibniz: Sonsuz küçük farklar

Leibniz 1672-1676 yıllarında Paris’te yaşadı ve matematiğe bu dönemde derinlemesine yöneldi. 1675’teki notlarında integral için uzatılmış bir S harfine benzeyen ∫ işaretini kullanmaya başladı. İşaret, Latince “toplam” anlamındaki summa sözcüğünü hatırlatır, çünkü Leibniz integrali sonsuz küçük parçaların toplamı olarak düşünüyordu.

Leibniz, çok küçük değişimleri dx ve dy ile gösterdi. Türevi de bu iki küçük farkın oranı olarak dy/dx biçiminde yazdı. Bu gösterim o kadar kullanışlıydı ki bugün lisede öğrenilen türev ve integral işaretlerinin çoğu Leibniz’den gelir.

Leibniz yöntemini 1684’te Acta Eruditorum dergisinde yayımladı. Bu, kalkülüsün basılı ilk sistematik anlatımıydı. İntegral işareti ise 1686’daki bir makalesiyle basılı olarak ilk kez görüldü.

Öncelik kavgası

Kimin önce bulduğu sorusu yıllar içinde sertleşti. Newton yöntemini daha önce bulmuş ama yayımlamamıştı. Leibniz ise yöntemini önce yayımlamıştı. Leibniz 1670’lerde Londra’yı ziyaret etmiş ve Newton’la dolaylı yoldan mektuplaşmıştı. Newton’un taraftarları bu bağlantıları ileri sürerek Leibniz’i fikirleri Newton’dan almakla suçladı. Newton’u destekleyen İngiliz matematikçi John Keill’in 1708’de yayımlanan imalı suçlaması tartışmayı alevlendirdi.

Leibniz, Londra’daki bilim kurumu Royal Society’ye itiraz etti. Dernek 1712’de konuyu inceleyecek bir kurul oluşturdu. Kurulun raporu, Newton’u ilk mucit olarak gösterdi ve 1713 başında yayımlandı. O sırada derneğin başkanı Newton’du ve bugün eldeki belgeler, raporun hazırlanmasındaki araştırma işinin büyük ölçüde Newton’un kendisi tarafından yürütüldüğünü gösteriyor. Yani tartışmanın bir tarafı, hakemliği de fiilen üstlenmişti. Leibniz 1716’da, Newton 1727’de öldü; tartışma ikisinin ölümünden sonra da bir süre İngiltere ile kıta Avrupası arasında sürdü.

Bugün tarihçilerin genel kanısı şudur: Newton kalkülüse daha önce, 1660’ların ortasında ulaştı. Leibniz ise kendi yolunu bağımsız olarak buldu ve yöntemini ilk yayımlayan oldu. İki matematikçi aynı fikre farklı yollardan vardı: Newton hareket ve zaman üzerinden, Leibniz sonsuz küçük farklar ve toplamlar üzerinden.

İki yöntemin de mantıksal bir açığı vardı. “Sonsuz küçük” niceliklerin tam olarak ne olduğu belirsizdi. Bu açık 19. yüzyılda, Cauchy ve Weierstrass gibi matematikçilerin limit kavramını kesin bir tanıma kavuşturmasıyla kapandı. Yukarıdaki tabloda “Δt giderek küçülürken yaklaşılan değer” dediğimiz fikir, işte bu limit kavramıdır.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Fizik: Hız, konumun türevidir; ivme hızın türevidir. Newton’un hareket yasaları türev diliyle yazılır. Kepler’in gezegen yasalarının çekim kuvvetinden nasıl çıktığını gösteren hesap da kalkülüsle yapılır.
• Mühendislik ve ekonomi: En az malzemeyle en büyük hacmi elde etmek ya da maliyeti en aza indirmek gibi problemler türevle çözülür.
• Olasılık ve istatistik: Sürekli dağılımlarda olasılıklar, eğri altındaki alanlarla, yani integrallerle hesaplanır.
• YKS: Limit, türev ve integral, AYT matematiğinin ağırlıklı konuları arasındadır. Konuların ayrıntılı listesine ne öğrettiğimizi anlattığımız sayfadan ulaşabilirsiniz.

Kapanış

Kalkülüsün hikâyesi hem bir fikrin hem de sert bir rekabetin hikâyesidir. Aynı yöntemi iki farklı kişi, iki farklı dille ve birbirinden habersiz yollarla buldu. Aralarındaki kavga yıllarca sürse de bugün öğrenciler Newton’un fiziğini Leibniz’in işaretleriyle yazıyor. Türev “çok kısa bir aralıkta ne oluyor?”, integral ise “bu küçük parçaları toplarsam ne elde ederim?” diye sorar. İki soru birlikte değişen dünyayı matematikle anlatmamızı sağlar.