Öklid dışı geometriler: Paralellik aksiyomu sorgulanınca ne oldu?

Okulda öğrendiğimiz ilk geometri kurallarından biri şudur: Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°’dir. Peki bir üçgeni bir kürenin, örneğin Dünya’nın yüzeyine çizersek? Kuzey Kutbu’ndan ekvatora dik inen iki meridyen ve ekvatorun bir parçasıyla oluşan bir üçgende üç açının üçü de 90° olabilir. Toplam 270°’dir.

Bu bir hile değil, farklı bir geometridir. 19. yüzyılda matematikçiler, Öklid’in iki bin yıldan uzun süre sorgulanmadan kabul edilen bir varsayımını değiştirdiklerinde, kendi içinde tamamen tutarlı yeni geometriler ortaya çıktı. Bu yazıda o varsayımın, yani paralellik aksiyomunun hikâyesini anlatacak, yeni geometrilerde üçgenlerin nasıl davrandığını kendi hesaplarımızla görecek ve bu fikirlerin evrenin şeklini anlamaya nasıl yardım ettiğini konuşacağız.

Öklid’in beşinci varsayımı

MÖ 300 dolaylarında yazılan Elemanlar, geometriyi birkaç temel kabulden mantıkla türetilen bir sistem olarak kurdu. Bu yapıyı Öklid’in Elemanlar’ı yazımızda ayrıntılı anlatıyoruz. Öklid’in beş temel varsayımından ilk dördü kısa ve apaçık görünür: İki noktadan bir doğru geçer, bir doğru parçası uzatılabilir, her merkez ve yarıçapla bir çember çizilebilir, bütün dik açılar birbirine eşittir.

Beşincisi ise uzun ve karmaşıktır. Bugün en sık kullanılan eşdeğer biçimiyle şöyle söylenebilir:

Bir doğru ve onun üzerinde olmayan bir nokta verildiğinde, o noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan tam olarak bir doğru vardır.

Bu ifade günlük deneyimimize çok uygun görünür. Ama diğer dördü kadar “apaçık” değildir, çünkü sonsuza kadar uzanan doğrular hakkında konuşur ve kimse bir doğruyu sonsuza kadar izleyip kontrol edemez.

İki bin yıllık kanıt denemeleri

Pek çok matematikçi, beşinci varsayımın aslında bir varsayım olmadığını, ilk dördünden kanıtlanabileceğini düşündü. Antik Çağ yorumcularından İslam dünyasındaki matematikçilere, oradan 18. yüzyıl Avrupa’sına kadar birçok deneme yapıldı.

Bu denemelerin çoğu aynı tuzağa düştü: Kanıtın bir yerinde, farkında olmadan beşinci varsayıma eşdeğer başka bir kabul kullanıldı. Böylece önemli bir yan ürün ortaya çıktı: Paralellik aksiyomuna eşdeğer ifadelerin listesi. Bunlardan bazıları:

• Her üçgenin iç açıları toplamı 180°’dir.
• Her üçgenin, istenen büyüklükte, kendisine benzer bir üçgeni vardır.
• Bir doğruya eşit uzaklıktaki noktalar da bir doğru oluşturur.

18. yüzyılda İtalyan matematikçi Saccheri ve daha sonra Lambert, farklı bir yol denedi. Beşinci varsayımın yanlış olduğunu kabul edip bir çelişkiye ulaşmayı umdular. Çelişki bulmak yerine tuhaf ama birbiriyle uyumlu sonuçlarla karşılaştılar: Açıları toplamı 180°’den küçük olan üçgenler, alanı büyüdükçe açı toplamı küçülen şekiller. Bu sonuçları yine de “olamaz” diye bir kenara ittiler.

Üç kişi, aynı fikir

19. yüzyılın başında üç matematikçi birbirinden bağımsız olarak şu cesur sonuca vardı: Beşinci varsayımın yerine başka bir varsayım koymak çelişki doğurmaz; ortaya yeni ve geçerli bir geometri çıkar.

• Carl Friedrich Gauss bu fikir üzerinde uzun yıllar düşündü, ama sonuçlarını hiç yayımlamadı.
• Nikolay Lobaçevski fikirlerini 1826’da Kazan Üniversitesi’nde bir konuşmada sundu ve 1829’da Rusça olarak yayımladı. Bu, konunun basılı ilk kapsamlı anlatımıydı.
• János Bolyai ise çalışmasını, babasının 1831-1832’de basılan bir matematik kitabına ek olarak yayımladı.

Bolyai’nin hikâyesi biraz hüzünlüdür. Babası eki eski dostu Gauss’a gönderdi. Gauss cevabında çalışmayı övmenin kendisini övmek anlamına geleceğini, çünkü içeriğinin onun yıllardır süren düşünceleriyle neredeyse aynı olduğunu yazdı. Genç Bolyai bu cevaptan derinden etkilendi.

Bugün Gauss, Bolyai ve Lobaçevski’nin bu geometriye bağımsız olarak ulaştığı kabul edilir. Yayın önceliği ise Lobaçevski’dedir.

Hiperbolik geometri: Sonsuz sayıda paralel

Lobaçevski ve Bolyai’nin geometrisinde beşinci varsayımın yerine şu kabul konur: Bir doğrunun dışındaki bir noktadan, o doğruyu hiç kesmeyen birden fazla (hatta sonsuz sayıda) doğru geçer. Bugün buna hiperbolik geometri diyoruz.

Bu geometride:

1. Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°’den küçüktür.
2. Eksik kalan miktar, yani 180° ile açılar toplamı arasındaki fark, üçgenin alanıyla orantılıdır. Üçgen büyüdükçe açıları küçülür.
3. Benzer ama farklı büyüklükte üçgenler yoktur. Açıları eşit olan iki üçgen aynı zamanda eştir.

Hiperbolik geometriyi zihnimizde canlandırmak zordur, çünkü günlük deneyimimiz ona uymaz. Matematikçilerin kullandığı araçlardan biri Poincaré diski adı verilen bir modeldir. Bu modelde bütün hiperbolik düzlem bir dairenin içine sığdırılır. “Doğrular”, dairenin sınırını dik açıyla kesen çember yaylarıdır. Bu yazının kapak çizimindeki sağ üçgen böyle çizilmiştir: Kenarları içe doğru kavislidir ve açıları, düz bir üçgenin açılarından belirgin biçimde küçüktür. Diskin kenarına yaklaştıkça, modelde küçük görünen parçalar aslında çok uzun mesafeleri temsil eder.

Günlük hayattan kaba bir benzetme de yapılabilir: Kenarları kıvrım kıvrım olan bir marul yaprağı ya da bir eyer yüzeyi, yerel olarak hiperbolik bir yüzeye benzer. Bu yalnızca bir benzetmedir, ama “düz bir kâğıda sığmayacak kadar çok alan” fikrini sezdirir.

Küresel geometri ve Riemann

Diğer yönde ne olur? Hiç paralel doğru olmasaydı? Bu fikre en genel çerçeveyi Bernhard Riemann getirdi. Riemann 1854’te Göttingen’de verdiği ünlü bir derste geometriyi, uzayın her küçük bölgesinde uzunluğun nasıl ölçüldüğü üzerinden yeniden düşündü. Bu ders ancak ölümünden sonra, 1868’de yayımlandı.

Bu bakışın en kolay canlandırılabilen örneği küre yüzeyidir. Kürede iki nokta arasındaki en kısa yol bir büyük daire yayıdır. Ekvator ve meridyenler büyük dairelerdir. İki büyük daire her zaman iki noktada kesişir. Yani kürede “doğrular” arasında paralellik yoktur. Uçaklar uzun yolculuklarda haritada eğri görünen rotalar izler, çünkü düz bir haritadaki doğru, küre üzerindeki en kısa yol değildir.

Küre üzerinde bir üçgen hesabı

Girişteki üçgeni ele alalım: Köşeleri Kuzey Kutbu ve ekvator üzerinde boylamları 90° farklı olan iki nokta.

1. Meridyenler ekvatoru dik keser: ekvator üzerindeki iki köşenin açısı 90° + 90°.
2. Kutuptaki açı, iki meridyen arasındaki boylam farkıdır: 90°.
3. Toplam: 270°. Fazlalık: 270° − 180° = 90°.

Kürede bu fazlalık da alanla orantılıdır. Açıları radyan cinsinden ölçersek, yarıçapı R olan bir kürede:

alan = (açılar toplamı − π) × R²

Fazlalık 90°, yani π/2 radyan. Dünya’nın yarıçapını yaklaşık 6371 km alırsak alan ≈ (π/2) × 6371² ≈ 63,8 milyon km² olur. Dünya’nın toplam yüzey alanı 4πR² ≈ 510 milyon km² olduğundan, bu üçgen yüzeyin tam sekizde biridir. Gerçekten de kutuptan ekvatora inen 90°’lik bir dilim, kuzey yarımkürenin dörtte biridir.

Şimdi küçük bir üçgen düşünelim: Alanı 1000 km² olan, bir ilçeyi kaplayacak büyüklükte bir üçgen. Açı fazlalığı 1000 ÷ 6371² ≈ 0,0000246 radyan eder. Bu da yaklaşık 5 açı saniyesidir, bir derecenin yaklaşık 700’de biri. Günlük ölçeklerde Öklid geometrisinin bu kadar iyi çalışmasının nedeni budur: Küçük bölgelerde eğrilik fark edilmeyecek kadar küçüktür. Dünya’nın eğriliğini bir gölge açısıyla fark eden Antik Çağ bilgininin hikâyesini Eratosthenes yazımızda bulabilirsiniz.

Hangisi “doğru” geometri?

Bu soru, 19. yüzyıl matematiğinin en derin sonuçlarından birine götürür. Yüzyılın ikinci yarısında matematikçiler, hiperbolik geometrinin Öklid geometrisi içinde kurulan modellerle temsil edilebildiğini gösterdi. Bunun anlamı şudur: Öklid geometrisi çelişkisizse, hiperbolik geometri de çelişkisizdir. Beşinci varsayım diğer dördünden kanıtlanamaz; çünkü onu kabul eden de reddeden de tutarlı sistemler vardır.

Bu sonuç, matematikte aksiyom kavramına bakışı değiştirdi. Aksiyomlar artık “apaçık doğrular” olarak değil, bir sistemin başlangıç kuralları olarak görülmeye başlandı. Hangi kuralların seçileceği mantıksal bir zorunluluk değil, incelemek istediğimiz yapıya bağlı bir karardır. Bu yaklaşımın ispat anlayışına etkisini ispat nedir yazımızda tartışıyoruz.

Hangi geometrinin fiziksel evreni anlattığı ise matematik değil, ölçüm sorusudur. Nitekim Einstein’ın 1915’te tamamladığı genel görelilik kuramı, çekimi uzay-zamanın eğriliği olarak açıklarken Riemann’ın başlattığı geometriyi temel matematik aracı olarak kullandı.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Harita ve navigasyon: Uzun uçuş ve deniz rotaları küresel geometriyle hesaplanır.
• Fizik ve astronomi: Genel görelilik ve evrenin büyük ölçekli yapısı üzerine çalışmalar, eğri uzay geometrisine dayanır.
• Matematik ve bilgisayar bilimi: Hiperbolik geometri, dallanan ağ yapılarının çizilmesi gibi uygulamalarda kullanılır.
• Lise matematiği: Üçgenlerde açı toplamı, paralel doğrular ve benzerlik konuları, Öklid geometrisinin tam da bu varsayımına dayanır. Bu varsayımı bilmek, “neden 180°?” sorusunun cevabını anlamayı sağlar.

Kapanış

Öklid dışı geometrilerin hikâyesi, sorgulanmayan bir kabulü sorgulamanın gücünü gösterir. İki bin yıl boyunca kanıtlanmaya çalışılan bir cümlenin kanıtlanamaz olduğu anlaşıldığında, geometri bir değil birçok olasılığa açıldı. Düz bir kâğıttaki 180°, bir küredeki 270° ve hiperbolik bir diskteki daha küçük toplamlar, her biri kendi kuralları içinde doğrudur.