Hilbert'in 23 problemi: Bir konuşma 20. yüzyıl matematiğine nasıl yön verdi?

Bir matematikçi bir yüzyılın gündemini belirleyebilir mi? 8 Ağustos 1900’de Paris’te toplanan Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nde Alman matematikçi David Hilbert, tam olarak bunu denedi. Konuşmasında yeni yüzyılda matematiğin hangi sorularla uğraşması gerektiğini anlattı. Sonradan yayımlanan metinde bu soruların sayısı 23’tü.

Bu yazıda “Hilbert’in 23 problemi” denince neyin kastedildiğini, problemlerin neden bu kadar etkili olduğunu ve bugün hangilerinin çözüldüğünü, hangilerinin hâlâ açık durduğunu göreceğiz. Bir uyarıyla başlayalım: Problemlerin bir kısmı net bir evet ya da hayır sorusu değildir. Bu yüzden “kaç tanesi çözüldü?” sorusunun tek ve kesin bir cevabı yoktur.

Paris, 1900: Konuşmada 10, metinde 23 problem

Hilbert o yıllarda Göttingen Üniversitesi’nde çalışıyordu ve döneminin en etkili matematikçilerinden biri sayılıyordu. Kongredeki konuşmasında zaman darlığı nedeniyle yalnızca 10 problemden söz etti. Kongre bildirilerinde ve dergilerde yayımlanan tam metin ise 23 problemi içeriyordu.

Hilbert’in amacı bir sınav listesi hazırlamak değildi. Problemleri, matematiğin farklı alanlarını ileriye taşıyacak birer yön işareti olarak seçti. Bazıları tek bir kesin soruydu, bazıları ise bütün bir araştırma alanına yapılmış çağrıydı. Listede kümeler kuramı, sayılar kuramı, geometri, cebir, analiz ve hatta fiziğin matematiksel temelleri vardı.

Hilbert’in dile getirdiği bir inanç da bu konuşmayla birlikte hatırlanır: Her iyi tanımlanmış matematik problemi, ya bir çözümle ya da çözümün neden imkânsız olduğunu gösteren bir ispatla sonuçlandırılabilir. 20. yüzyıl, bu inancın beklenmedik biçimde sınanacağı bir yüzyıl oldu.

Birkaç problem, yakından

23 problemin hepsini ayrıntılı anlatmak bir kitabı doldurur. Liseden bildiğimiz kavramlarla bağ kurabileceğimiz birkaç tanesine bakalım.

1. problem: Sonsuzluklar arasında bir basamak var mı?

Georg Cantor, doğal sayıların sonsuzluğu ile gerçek sayıların sonsuzluğunun aynı büyüklükte olmadığını göstermişti. Süreklilik hipotezi şunu sorar: Bu iki sonsuzluğun arasında, ikisinden de farklı büyüklükte bir sonsuzluk var mıdır?

Cevap şaşırtıcı çıktı. Kurt Gödel 1940’ta, hipotezin kümeler kuramının standart aksiyomlarıyla çelişmediğini gösterdi. Paul Cohen 1963’te, hipotezin olumsuzunun da bu aksiyomlarla çelişmediğini kanıtladı. Yani bu aksiyomlardan yola çıkarak hipotezi ne kanıtlayabiliriz ne de çürütebiliriz. Bu duruma “bağımsızlık” denir. Bazı matematikçiler problemi kapanmış sayar, bazıları ise yeni aksiyomlarla sorunun yeniden ele alınması gerektiğini düşünür. Cantor’un fikirlerini sonsuzluklar ve köşegen yöntemi yazımızda anlatıyoruz.

2. problem: Aritmetik kendi içinde çelişkisiz mi?

Hilbert, aritmetiğin aksiyomlarının hiçbir zaman çelişki üretmeyeceğinin kanıtlanmasını istiyordu. Gödel 1931’de, yeterince güçlü ve çelişkisiz bir biçimsel sistemin kendi çelişkisizliğini kendi içinde kanıtlayamayacağını gösterdi. Bu, Hilbert’in hayal ettiği türden bir ispatın mümkün olmadığı anlamına geliyordu. Konuyu Gödel’in eksiklik teoremleri yazımızda ayrıntılı ele alıyoruz.

3. problem: Aynı hacim, aynı parçalar mı?

Düzlemde alanları eşit iki çokgenden birini sonlu sayıda parçaya kesip diğerini oluşturabilirsiniz. Hilbert, aynı şeyin hacmi eşit çokyüzlüler için de geçerli olup olmadığını sordu. Öğrencisi Max Dehn kısa süre içinde olumsuz cevabı verdi: Hacimleri eşit olduğu hâlde birbirine kesilip dönüştürülemeyen çokyüzlüler vardır. Böylece listeden ilk çözülen problem bu oldu.

10. problem: Tam sayı çözümü bulan evrensel bir yöntem

Bu problem, bir lise öğrencisinin bile anlayabileceği kadar sade bir soru sorar. Tam sayı katsayılı bir polinom denklemi veriliyor. Bu denklemin tam sayı çözümü olup olmadığına her zaman karar veren bir yöntem var mıdır?

Kendi örneklerimizle düşünelim:

• x² + y² = z² denkleminin tam sayı çözümü vardır: x = 5, y = 12, z = 13 için 25 + 144 = 169.
• x² − 3y² = 1 denkleminin de çözümü vardır: x = 2, y = 1 için 4 − 3 = 1.
• x² + y² = 7 denkleminin ise çözümü yoktur. Bir tam sayının karesi 4’e bölündüğünde yalnızca 0 ya da 1 kalanını verir. İki karenin toplamı bu yüzden 0, 1 ya da 2 kalanını verebilir; 7 ise 3 kalanını verir.

Her denklem için böyle bir akıl yürütme bulmak zorunda mıyız, yoksa hepsini çözen tek bir mekanik yöntem var mı? Martin Davis, Hilary Putnam ve Julia Robinson’ın on yıllara yayılan çalışmalarının üzerine Yuri Matiyasevich 1970’te son adımı attı: Böyle evrensel bir yöntem yoktur. Bu sonuç, “yöntem” kavramının Alan Turing gibi matematikçilerce kesin olarak tanımlanmasıyla mümkün oldu. Bu fikrin arka planını Turing makinesi yazımızda bulabilirsiniz.

Bugünkü durum: Çözülen, kısmen çözülen, açık kalan

Aşağıdaki gruplama matematikçiler arasında yaygın kabul gören değerlendirmeleri özetler. Bazı problemlerin hangi gruba gireceği yoruma açıktır.

Genel kabulle çözülmüş sayılanlar (örnekler):

• 3. problem: Dehn, 1900 dolayında, olumsuz cevap.
• 7. problem: Aleksandr Gelfond ve Theodor Schneider 1934’te birbirinden bağımsız olarak, 2^√2 gibi sayıların aşkın olduğunu, yani hiçbir tam sayı katsayılı polinom denklemin kökü olamayacağını gösterdi.
• 10. problem: Matiyasevich, 1970, olumsuz cevap.
• 17. problem: Emil Artin 1927’de, hiçbir yerde negatif değer almayan polinomların rasyonel fonksiyonların kareleri toplamı olarak yazılabileceğini kanıtladı.
• 18. problem: Bu problemin bir parçası, uzayda eş kürelerin en sıkı nasıl dizilebileceğini sorar. Manavların portakal dizdiği düzenin en iyisi olduğu iddiasını Thomas Hales 1998’de bilgisayar destekli bir ispatla gösterdi. İspatın bilgisayarda biçimsel olarak doğrulanması yaklaşık iki on yıl daha sürdü.

Cevabı “çözülemez” ya da “bağımsız” çıkanlar: 1. ve 2. problemler bu gruptadır. Bu problemler bir anlamda cevaplandı, ama cevap Hilbert’in beklediği türden olmadı.

Kısmen çözülmüş ya da tartışmalı olanlar: Örneğin 13. problemin sürekli fonksiyonlarla ilgili yorumu 1957’de Andrey Kolmogorov ve Vladimir Arnold’un çalışmalarıyla çözüldü. Ancak problemin cebirsel bir yorumunun hâlâ açık olduğu kabul edilir. 15. ve 22. gibi başka problemler için de benzer ayrımlar vardır.

Açık kalanlar: Genellikle 8., 12. ve 16. problemler bu gruba konur. 8. problemin içinde Riemann hipotezi vardır. Asal sayıların dağılımıyla ilgili bu soru bugün matematiğin en ünlü açık problemlerinden biridir. 2000 yılında ilan edilen Milenyum Problemleri arasında da yer alır. 16. problem ise düzlemde polinomlarla tanımlanan eğrilerin biçimleriyle ilgilidir ve görece düşük dereceli polinomlar için bile tam cevaplanamamıştır.

Fazla genel ya da belirsiz sayılanlar: 4. ve 23. problemler bir sonuca bağlanabilecek kadar kesin tanımlanmadığı için genellikle “çözüldü” ya da “açık” diye sınıflandırılmaz. 6. problem ise fiziğin aksiyomlaştırılmasını ister ve bazı yorumcular onu matematikten çok fizik problemi olarak görür.

Listenin asıl etkisi: Yeni alanlar

Hilbert’in problemleri, cevaplarından daha çok, bu cevaplara giden yolda doğan fikirlerle önemlidir.

• Mantık ve hesaplanabilirlik: 2. ve 10. problemler, “kanıt” ve “algoritma” kavramlarının kesin tanımlanmasını zorunlu kıldı. Bugünkü bilgisayar biliminin kuramsal temelleri bu tartışmalardan beslendi.
• Kümeler kuramı: 1. problem, bağımsızlık kanıtları gibi tamamen yeni teknikler doğurdu.
• Sayılar kuramı: 7., 8., 9., 11. ve 12. problemler üzerindeki çalışmalar, cebirsel sayılar kuramını yüzyıl boyunca canlı tuttu.
• Bilgisayar destekli ispat: 18. problemdeki küre dizilimi sorusu, uzun hesapların bilgisayarla ve biçimsel doğrulayıcılarla denetlenmesi fikrini güçlendirdi.

Problemleri çözenler de ölçüt hâline geldi. Matematik topluluğunda “Hilbert problemlerinden birini çözmek”, bir matematikçinin çalışmasının önemini anlatan kısa bir ifade oldu.

Neden önemli? Lise matematiğiyle bağ

Hilbert’in problemleri çok ileri görünse de temelinde okulda karşılaştığımız sorular var:

• Denklemler: “Bu denklemin tam sayı çözümü var mı?” sorusunu 10. problemde gördük. Yukarıdaki kalan (mod 4) akıl yürütmesi, bölünebilme konusundaki fikirlerin doğrudan uygulamasıdır.
• Sayı kümeleri: Rasyonel, irrasyonel ve aşkın sayı ayrımı, 7. problemin konusudur.
• İspat: “Bir şeyin imkânsız olduğunu kanıtlamak” fikri, olmayana ergi yöntemiyle lisede de tanıştığımız bir düşünme biçimidir.

YKS matematik konularının hangi başlıklarda toplandığını görmek isterseniz ne öğretiyoruz sayfamıza göz atabilirsiniz.

Kapanış

Hilbert 1900’de sorularının çoğunun çözüleceğine inanıyordu. Yüzyılın sonunda bazı sorular gerçekten çözüldü. Bazılarının cevabı ise “bu aksiyomlarla karar verilemez” ya da “böyle bir yöntem yoktur” çıktı. Belki de listenin en büyük dersi budur: İyi sorulmuş bir soru, cevabı beklediğimiz gibi çıkmasa bile, matematiğe yepyeni kapılar açar. Riemann hipotezi gibi açık kalan problemler ise hâlâ yeni kuşakları bekliyor.