Modern Matematik · 1874–1891
Cantor ve sonsuzlukların büyüklüğü: Köşegen yöntemi
Doğal sayılar da gerçek sayılar da sonsuzdur; ama Georg Cantor, gerçek sayıların hiçbir listeye sığmayacağını gösterdi. Bire bir eşleme fikri, sayılabilir sonsuzluk ve köşegen yöntemi adım adım.
Yazan: matematikce editörlüğü 5 dk okuma
Sonsuz, sonsuzdur; birinden daha büyük bir sonsuzluk olabilir mi? Bu soru ilk bakışta anlamsız görünür. 19. yüzyılın sonlarına kadar pek çok matematikçi de sonsuzluğu tamamlanmış bir büyüklük olarak ele almaktan kaçınıyordu. Georg Cantor ise sonsuz kümeleri birbiriyle karşılaştırmanın kesin bir yolunu buldu ve şaşırtıcı bir sonuca ulaştı: Bazı sonsuz kümeler, başka sonsuz kümelerden gerçekten daha büyüktür.
Doğal sayılar kümesi ile gerçek sayılar kümesi ikisi de sonsuzdur. Ama Cantor, gerçek sayıların doğal sayılarla bire bir eşlenemeyeceğini, yani hiçbir sonsuz listeye eksiksiz yazılamayacağını ispatladı. Bu ispatın 1891’de yayımladığı en bilinen biçimi “köşegen yöntemi” adıyla anılır. Bu yazıda önce iki kümenin “aynı büyüklükte” olmasının ne demek olduğunu, sonra köşegen yöntemini adım adım göreceğiz.
Saymadan karşılaştırmak: Bire bir eşleme
Bir salonda sandalye mi fazla, insan mı? Saymadan da cevap verebilirsiniz: Herkesten bir sandalyeye oturmasını isteyin. Boş sandalye kalırsa sandalyeler, ayakta kalan olursa insanlar fazladır. Hiçbiri kalmazsa sayıları eşittir.
Cantor’un fikri, bu yöntemi sonsuz kümelere uygulamaktır: İki kümenin elemanları, hiçbir eleman dışarıda kalmayacak ve hiçbir eleman iki kez kullanılmayacak şekilde eşlenebiliyorsa, iki küme aynı büyüklüktedir (aynı kardinaliteye sahiptir).
Bu tanım hemen şaşırtıcı sonuçlar verir.
Doğal sayılar ve çift sayılar: Her n doğal sayısını 2n ile eşleyelim.
| Doğal sayı | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Çift sayı | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | … |
Her doğal sayının bir eşi, her çift sayının da bir eşi var. Demek ki çift sayılar, doğal sayıların bir parçası olduğu hâlde, onlarla aynı büyüklüktedir. Sonsuz kümelerde “parça bütünden küçüktür” sezgisi geçerli değildir.
Tam sayılar: Negatif sayılar da eklenince küme büyür mü? Tam sayıları 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, … diye sıralarsak her tam sayı listede bir yere düşer. Yine doğal sayılarla bire bir eşlenir.
İki aralık: 0 ile 1 arasındaki gerçek sayılar ile 0 ile 2 arasındaki gerçek sayıları karşılaştıralım. Her x sayısını 2x ile eşlersek, örneğin 0,3 ile 0,6’yı, 0,75 ile 1,5’i eşleriz. İkinci aralığın her sayısı, yarısı alınarak birinci aralıktaki eşine döner. Aralıklardan birinin uzunluğu diğerinin iki katı olduğu hâlde, eleman sayısı bakımından aynı büyüklüktedirler.
Doğal sayılarla bire bir eşlenebilen kümelere sayılabilir sonsuz kümeler denir. Cantor bu büyüklüğü ℵ₀ (alef sıfır) ile gösterdi. Alef, İbrani alfabesinin ilk harfidir.
Rasyonel sayılar da sayılabilir
Cantor 1873’te rasyonel sayıların da sayılabilir olduğunu gösterdi. Bu şaşırtıcıdır, çünkü herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.
Fikri görmek için pozitif rasyonel sayıları bir tabloya dizelim: p. satır ve q. sütuna p/q yazalım. Sonra tabloyu sol üst köşeden başlayarak çapraz şeritler boyunca tarayalım: 1/1; sonra 2/1, 1/2; sonra 3/1, 2/2, 1/3; ve böyle devam. Daha önce görülen değerleri (2/2 = 1/1 gibi) atlarsak her pozitif rasyonel sayı bu taramada bir yere düşer ve bir sıra numarası alır.
1874’te Crelle dergisinde yayımlanan makalesinde Cantor, tam sayı katsayılı polinomların kökü olan gerçek sayıların, yani cebirsel sayıların da sayılabilir olduğunu gösterdi. Aynı makalede gerçek sayıların sayılamaz olduğunu da ispatladı. Bu ilk ispat iç içe aralıklar fikrine dayanıyordu. Bugün daha çok bilinen köşegen yöntemi ise 1891’de geldi.
Köşegen yöntemi adım adım
Şimdi 0 ile 1 arasındaki gerçek sayıların sayılabilir olduğunu varsayalım ve bu varsayımın bir çelişkiye yol açtığını gösterelim.
Sayılabilir olsaydı, bu sayıları bir liste hâlinde yazabilirdik: 1. sayı, 2. sayı, 3. sayı… Her birini ondalık açılımıyla yazalım. Örnek bir listenin başı şöyle olsun:
| Sıra | Ondalık açılım |
|---|---|
| 1. | 0,3 1 4 1 5 9 … |
| 2. | 0,5 0 0 0 0 0 … |
| 3. | 0,1 4 2 8 5 7 … |
| 4. | 0,6 6 6 6 6 6 … |
| 5. | 0,7 1 8 2 8 1 … |
Kalın yazılan basamaklar köşegeni oluşturur: 1. sayının 1. basamağı, 2. sayının 2. basamağı, 3. sayının 3. basamağı ve böyle devam.
Şimdi yeni bir x sayısı kuralım. Kuralımız şu olsun:
- Köşegendeki basamak 5 değilse, x’in o basamağına 5 yaz.
- Köşegendeki basamak 5 ise, x’in o basamağına 4 yaz.
Örnek listede köşegen 3, 0, 2, 6, 8, … olduğu için x = 0,55555… ile başlar.
Bu x sayısı listede var mı?
- x, 1. sayı olamaz, çünkü 1. basamakları farklıdır.
- x, 2. sayı olamaz, çünkü 2. basamakları farklıdır.
- Genel olarak x, n. sayı olamaz, çünkü n. basamakları farklıdır.
Ama x de 0 ile 1 arasında bir gerçek sayıdır. Demek ki “bütün” sayıları içerdiğini varsaydığımız listede olmayan bir sayı bulduk. Liste nasıl yazılırsa yazılsın bu kurulum yapılabilir. Öyleyse 0 ile 1 arasındaki gerçek sayılar hiçbir listeye sığmaz: sayılamaz sonsuzluktadır.
Yalnızca 4 ve 5 basamaklarını kullanmamızın küçük bir nedeni var: 0,4999… ile 0,5000… aynı sayıdır. Kurduğumuz x’te hiç 0 ya da 9 bulunmadığı için bu tür çift yazılışlar ispatı bozmaz.
Kendiniz deneyin: Bir listenin ilk üç sayısı 0,123…, 0,555… ve 0,909… olsun. Köşegendeki basamaklar sırasıyla 1, 5 ve 9’dur. Kuralı uygulayınca yeni sayı 0,545… ile başlar. Bu sayı birinci sayıdan ilk basamakta, ikinciden ikinci basamakta, üçüncüden üçüncü basamakta ayrılır. Listeye dördüncü, beşinci ya da milyonuncu sayı eklense de aynı kural yeni sayının basamaklarını uzatmaya devam eder.
Cantor’un 1891 makalesindeki özgün biçim ondalık sayılar yerine iki farklı işaretten oluşan sonsuz dizileri kullanır; ama akıl yürütme aynıdır. Aynı makalede Cantor, bu fikrin daha genel bir sonucunu da gösterdi: Her kümeden daha büyük bir küme vardır, yani sonsuzlukların “en büyüğü” yoktur.
Tepkiler ve açık kalan soru
Cantor’un fikirleri kolay kabul görmedi. Dönemin etkili matematikçilerinden Leopold Kronecker, yalnızca doğal sayılardan adım adım kurulabilen matematiği kabul ediyor ve Cantor’un çalışmalarına karşı çıkıyordu. Cantor 1884’ten itibaren tekrarlayan ağır depresyon dönemleri yaşadı; ama sonsuz kümeler üzerine çalışmayı sürdürdü.
Cantor’u yıllarca meşgul eden bir soru vardı: Doğal sayılardan büyük ama gerçek sayılardan küçük bir sonsuzluk var mıdır? Cantor böyle bir ara büyüklüğün olmadığını tahmin etti. Bu tahmine süreklilik hipotezi denir. David Hilbert 1900’de bu soruyu, çözülmesi gereken problemler listesinin ilk sırasına koydu.
- yüzyılda cevap beklenmedik bir biçimde geldi. Gödel, süreklilik hipotezinin kümeler kuramının standart aksiyomlarıyla çelişmediğini gösterdi. Paul Cohen 1963’te bu hipotezin olumsuzunun da aynı aksiyomlarla çelişmediğini ispatladı. Yani süreklilik hipotezi, bu aksiyomlardan ne ispatlanabilir ne de çürütülebilir.
Bugün nerede karşımıza çıkar?
- Sayı kümeleri: Doğal, tam, rasyonel ve gerçek sayı kümeleri lise matematiğinin temelidir. Rasyonel sayıların sayılabilir, gerçek sayıların sayılamaz olması, irrasyonel sayıların aslında “çoğunluk” olduğunu gösterir.
- Fonksiyonlar: Bire bir ve örten fonksiyon kavramları, Cantor’un eşleme fikrinin doğrudan karşılığıdır.
- Olmayana ergi ile ispat: Köşegen yöntemi, “varsay, çelişkiye ulaş” biçimindeki ispatların en öğretici örneklerindendir.
- Bilgisayar bilimi: Hesaplanabilirlik kuramında da köşegen fikrine dayanan akıl yürütmeler kullanılır. Bu bağlantıyı Turing makinesi yazımızda görebilirsiniz.
YKS’de sayı kümeleri ve fonksiyonların yerini ne öğretiyoruz sayfamızda bulabilirsiniz.
Kapanış
Cantor’un en büyük katkısı, sonsuzluğu belirsiz bir “çok fazla” olmaktan çıkarıp karşılaştırılabilen bir büyüklüğe dönüştürmesiydi. Bire bir eşleme gibi basit bir fikir ve köşegen boyunca yapılan küçük bir değişiklik, sonsuzlukların da farklı büyüklükleri olduğunu gösterdi. Bu sonuç bugün modern matematiğin temel taşlarından biridir.