Arşimet ve π: Çokgenlerle bir sayıyı sıkıştırmak

π’nin tam değerini hiçbir zaman yazamayız; ondalık basamakları sonsuza kadar sürer ve tekrar etmez. Peki elinde hesap makinesi, ondalık gösterim, hatta π sembolü bile olmayan biri bu sayıyı nasıl yakalayabilir? MÖ 3. yüzyılda Sirakuza’da yaşayan Arşimet’in cevabı zekice bir fikre dayanıyordu: Sayıyı doğrudan bulmaya çalışmak yerine onu iki taraftan sıkıştırmak.

Arşimet, bir çemberin içine ve dışına düzgün çokgenler çizdi. İçteki çokgenin çevresi çemberden kısa, dıştakininki uzundur. Kenar sayısı arttıkça iki çokgen de çembere yaklaşır. Altıgenle başlayıp 96 kenarlı çokgene kadar ilerleyerek π’nin 3 10/71 ile 3 1/7 arasında olduğunu gösterdi. Bu yazıda bu sıkıştırmanın nasıl çalıştığını adım adım göreceğiz.

Arşimet ve “Çemberin Ölçülmesi”

Arşimet’in yaklaşık MÖ 287 ile MÖ 212 arasında Sicilya’daki Sirakuza’da yaşadığı kabul edilir. Geometri, mekanik ve hidrostatik üzerine çalıştı. π hesabını anlattığı eser, Çemberin Ölçülmesi adıyla bilinen kısa bir metindir ve daha uzun bir çalışmanın günümüze kalan bir parçası olduğu düşünülür.

Bu metinde üç önerme vardır:

1. Bir dairenin alanı, dik kenarlarından biri yarıçapa, diğeri çemberin çevresine eşit olan dik üçgenin alanına eşittir.
2. Dairenin alanının, çapı üzerine kurulan kareye oranı yaklaşık 11’e 14’tür.
3. Çemberin çevresinin çapına oranı 3 1/7’den küçük, 3 10/71’den büyüktür.

Bugünkü dille üçüncü önerme şudur: 3 10/71 < π < 3 1/7. Arşimet “π” demez; oranı sözle anlatır ve kesirlerle çalışır. π sembolü bu anlamda ilk kez 1706’da William Jones tarafından kullanıldı ve Euler’in 1737’den itibaren benimsemesiyle yaygınlaştı.

Fikir: İki çokgenin arasında kalan çember

Çapı 1 birim olan bir çember düşünelim. Bu çemberin çevresi tam olarak π’dir. Şimdi:

• Çemberin içine köşeleri çember üzerinde olan düzgün bir çokgen çizelim. Bu çokgenin çevresi çemberden kısadır.
• Çemberin dışına kenarları çembere teğet olan düzgün bir çokgen çizelim. Bu çokgenin çevresi çemberden uzundur.

Böylece her kenar sayısı için şu eşitsizliği yazabiliriz:

iç çokgenin çevresi < π < dış çokgenin çevresi

Kenar sayısını ikiye katladıkça iç çokgen dışa doğru büyür, dış çokgen içe doğru küçülür. Aradaki boşluk daralır ve π giderek daha dar bir aralığa hapsolur.

Bu modelin tek sezgisel kabulü şudur: Çemberin çevresi, içindeki bir çokgenin çevresinden uzun, onu saran bir çokgenin çevresinden kısadır.

Altıgenden başlamak

Başlangıç noktası olarak altıgen seçilir, çünkü altıgenin kenarı hesaplamak için elverişlidir.

İç altıgen: Düzgün altıgeni altı eşkenar üçgene bölebiliriz. Her üçgenin kenarı çemberin yarıçapına eşittir. Çap 1 ise yarıçap 1/2’dir. Altıgenin çevresi 6 × 1/2 = 3 olur. Demek ki π > 3.

Dış altıgen: Merkezden bir kenarın ortasına olan uzaklık yarıçapa, yani 1/2’ye eşittir. Bu uzunluk, kenarı a olan eşkenar üçgenin yüksekliğidir: (√3 ÷ 2) × a = 1/2. Buradan a = 1/√3 bulunur. Çevre 6 ÷ √3 = 2√3 ≈ 3,464 olur. Demek ki π < 3,464.

İlk adımda π’yi 3 ile 3,464 arasına sıkıştırdık. Aralık geniş, ama yöntem çalışıyor.

Kenar sayısını ikiye katlamak

Arşimet, altıgenden sonra 12, 24, 48 ve 96 kenarlı çokgenlere geçti. Her katlamada yeni kenar uzunluğunu bir önceki çokgenin kenarından geometrik bağıntılarla hesapladı. Bu hesaplarda √3 gibi köklü sayılar için kesirli yaklaşık değerler kullanmak zorundaydı. Böyle bir hesapta sınırların güvenilir kalması için yuvarlamanın yönü önemlidir: İç çokgenin çevresi olduğundan büyük, dış çokgenin çevresi olduğundan küçük gösterilmemelidir. Aksi hâlde π’yi saran aralık yanlışlıkla π’yi dışarıda bırakabilir.

Bugünkü trigonometriyle, çapı 1 olan çember için n kenarlı iç ve dış çokgen çevreleri n × sin(180°/n) ve n × tan(180°/n) olarak hesaplanabilir. Arşimet’in sin ve tan kavramları yoktu; aşağıdaki tablo onun adımlarının bugünkü karşılığını gösterir:

Kenar sayısı	İç çokgen çevresi	Dış çokgen çevresi
6	3,00000	3,46410
12	3,10583	3,21539
24	3,13263	3,15966
48	3,13935	3,14609
96	3,14103	3,14271

96-gende aralık yaklaşık 0,0017 genişliğe iner. Arşimet’in kesirleri de bu değerleri kapsar:

• 3 10/71 = 223/71 ≈ 3,14085
• 3 1/7 = 22/7 ≈ 3,14286

Yani Arşimet π’yi ondalık yazımla yaklaşık 3,1408 ile 3,1429 arasına yerleştirdi. Okullarda sık duyulan “π yaklaşık 22/7’dir” ifadesinin kökü buradadır; ama Arşimet için 22/7 π’nin kendisi değil, bir üst sınırdır.

Bir katlamayı kendimiz yapalım

Altıgenden on ikigene geçişi Pitagoras teoremiyle adım adım yapabiliriz. Hesabı kolaylaştırmak için yarıçapı 1 alalım; altıgenin kenarı da 1 olur.

1. Altıgenin bir kenarının yarısı 0,5’tir.
2. Merkezden bu kenarın ortasına olan uzaklık: √(1² − 0,5²) = √0,75 ≈ 0,86603.
3. Kenarın ortasından çembere kalan uzaklık: 1 − 0,86603 = 0,13397.
4. On ikigenin bir kenarı, kenarları 0,5 ve 0,13397 olan dik üçgenin hipotenüsüdür: √(0,25 + 0,01795) = √0,26795 ≈ 0,51764.
5. On ikigenin çevresi: 12 × 0,51764 ≈ 6,21166. Çap 2 olduğundan oran 6,21166 ÷ 2 ≈ 3,10583.

Tablodaki 12 kenarlı iç çokgen değerine ulaştık. Aynı adımları yeni kenar uzunluğuyla tekrarlarsanız 24, 48 ve 96 kenarlı çokgenlere ilerleyebilirsiniz. Arşimet’in işi bu tekrarları, köklü sayıları kesirlerle sınırlayarak elle yapmaktı.

Rivayetler ve belgeler

Arşimet’in adı birkaç ünlü hikâyeyle birlikte anılır. Bunları belgelenmiş eserlerinden ayırmak gerekir.

• “Eureka!” hikâyesi: Arşimet’in bir tacın saf altından yapılıp yapılmadığını banyoda taşan suyu görünce çözdüğü ve sokağa “Eureka” diye bağırarak koştuğu anlatılır. Bu hikâye, Arşimet’in ölümünden çok sonra, MÖ 1. yüzyılda yaşamış Romalı mimar Vitruvius’un kitabında geçer. Anlatılan taşma yönteminin o dönemin ölçüm hassasiyetiyle uygulanmasının zor olduğu da belirtilir. Kısacası bir rivayettir.
• Ölümü: Romalıların Sirakuza’yı ele geçirdiği MÖ 212’de öldürüldüğü kabul edilir. Plutarkhos ölümü için birden fazla anlatım aktarır; çizimleri üzerinde çalışırken bir askerin elinde öldüğü anlatımı bunlardan yalnızca biridir.
• Mezarı: Arşimet’in mezarına bir silindirin içine yerleştirilmiş küre konmasını istediği ve Cicero’nun yüzyıllar sonra bu mezarı bulduğunu yazdığı aktarılır.

π hesabı ise böyle bir rivayet değildir: Yöntem ve sonuçlar Arşimet’in günümüze ulaşan kendi metninde yer alır.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Çember ve daire konuları: Çevre formülü 2πr ve alan formülü πr² okulda ezberlenir. Arşimet’in birinci önermesi, alan formülünün neden πr² olduğunu bir üçgen alanıyla görmemizi sağlar: taban 2πr, yükseklik r, alan (1/2) × 2πr × r = πr².
• Düzgün çokgenler: Altıgeni eşkenar üçgenlere bölmek, lise geometrisinde sık kullanılan bir fikirdir.
• Sınır ve yaklaşım: Bir değeri alttan ve üstten sıkıştırmak, ileride limit ve integral konularında karşılaşılan düşüncenin atasıdır.
• Hesap güvenilirliği: Yuvarlama yaparken hatanın yönünü kontrol etmek, bugün de sayısal hesabın temel ilkelerinden biridir.

Arşimet’in yöntemi yüzyıllarca kullanıldı. 15. yüzyılda Semerkant’ta el-Kâşî, aynı fikri çok daha fazla kenarlı bir çokgenle uygulayarak π’yi çok daha yüksek hassasiyetle hesapladı. Bu hikâyeyi Semerkant Rasathanesi yazımızda anlatıyoruz. Antik geometrinin mantık zincirini merak ediyorsanız Öklid’in Elemanlar’ı yazımıza da göz atabilirsiniz.

Kapanış

Arşimet π’yi “bulmadı”; onu iki taraftan kuşattı. Bu yaklaşımın gücü, tam değeri bilmeden de değerin nerede olduğunu kesin olarak söyleyebilmesidir. Kenar sayısı her ikiye katlandığında aralığın daraldığını görmek, sonsuz bir süreci sonlu adımlarla anlamanın ilk ve en güzel örneklerinden biridir.