İslam Dünyası ve Orta Çağ · 15. yüzyıl
Semerkant Rasathanesi: Uluğ Bey, el-Kâşî ve sin 1°'nin peşinde
15. yüzyılda Semerkant'ta Uluğ Bey'in kurduğu rasathanede el-Kâşî, π'yi 16 ondalık basamağa kadar hesapladı ve sin 1° için yinelemeli bir yöntem geliştirdi. Dev bir sekstant, bir yıldız kataloğu ve iki güçlü hesap.
Yazan: matematikce editörlüğü 5 dk okuma
Gökyüzündeki bir yıldızın konumunu dakika, hatta saniye düzeyinde ölçmek istiyorsanız iki şeye ihtiyacınız var: çok büyük ve dikkatle bölmelenmiş bir ölçüm aleti ve bu ölçümleri hesaba dönüştürecek çok hassas trigonometri tabloları. 15. yüzyılda Semerkant’ta ikisi de aynı çatı altında toplandı.
Timur’un torunu Uluğ Bey, Semerkant’ta bir medrese ve bir rasathane kurdu, çevresine dönemin önde gelen astronom ve matematikçilerini topladı. Bu ekibin en parlak hesapçısı el-Kâşî, 1424’te π’yi 16 ondalık basamak doğrulukla hesapladı ve 1° açının sinüsünü bulmak için yinelemeli bir yöntem geliştirdi. Bu yazıda rasathaneyi, yıldız kataloğunu ve bu iki hesabın arkasındaki matematiği anlatacağız.
Bir hükümdar ve bir bilim merkezi
Uluğ Bey 1394’te doğdu ve genç yaşta Semerkant’ın yöneticisi oldu. 1417 ile 1420 arasında Semerkant’ın Registan meydanında bir medrese yaptırdı; burada astronomi ve matematik de okutuluyordu.
Rasathanenin yapımı 1420’li yıllarda başladı. Kesin yıl kaynaklarda farklı verilir: el-Kâşî’nin bir mektubuna dayanan değerlendirmeler 1420’yi, bazı çalışmalar 1424’ü, bazıları 1428’i işaret eder. Rasathanede el-Kâşî’nin yanı sıra Kadızâde-i Rûmî ve Ali Kuşçu gibi bilginler de çalıştı.
Fahri sekstantı: Ölçmek için büyütmek
Rasathanenin kalbi, Fahri sekstantı denen dev bir ölçüm aletiydi. Sekstant, çemberin altıda biri kadar bir yaydır; yay üzerindeki bölmeler, gök cisimlerinin ufuktan yüksekliğini okumaya yarar. Semerkant’taki alet meridyen, yani kuzey-güney doğrultusunda yerleştirilmişti ve yarıçapının 40 metre dolayında olduğu hesaplanır.
Aleti bu kadar büyük yapmanın matematiksel bir nedeni vardır. Yay uzunluğu yarıçapla orantılıdır:
yay uzunluğu = 2πr × (açı ÷ 360°)
Yarıçap 40 metre ise 1 derecelik yay yaklaşık 2π × 40 ÷ 360 ≈ 0,70 metre uzunluğundadır. Bu, bir dereceyi 60 dakikaya bölmek için her dakikaya yaklaşık 1,2 santimetre düşmesi demektir. Yarıçapı 1 metre olan bir alette ise bir dakikalık bölme üçte bir milimetreden kısa olurdu. Büyük yarıçap, küçük açıları gözle okunabilir uzunluklara çevirir.
Rasathane Uluğ Bey’in 1449’da öldürülmesinden sonra terk edildi ve zamanla yıkıldı. Yeri 1908’de arkeolog Vyatkin tarafından bulundu. Kazıda sekstantın yer altında kalan bölümü ortaya çıkarıldı.
Zîc-i Sultânî ve yıldız kataloğu
Rasathanedeki çalışmaların sonucu, Zîc-i Sultânî adıyla bilinen astronomi tablolarında toplandı. Bu eserin en bilinen bölümü yıldız kataloğudur. Katalog 1437 yılı için hazırlanmıştır ve 1018 yıldızın konumunu verir. Bu yıldızların yaklaşık 992’si Semerkant’ta yeniden gözlenmiş; Semerkant’tan görülemeyecek kadar güneydeki 27 yıldız ise daha önceki bir katalogdan, gerekli düzeltmeler yapılarak alınmıştır. Katalog düzen olarak Batlamyus’un geleneğini izler, ancak konumlar yeni gözlemlere dayanır. Bu yüzden Batlamyus’tan sonra yapılmış en kapsamlı özgün yıldız kataloglarından biri sayılır.
Yıldız konumlarını gözlemden tabloya dönüştürmek, küresel trigonometri gerektirir. Bu hesapların güvenilirliği de sinüs tablolarının hassasiyetine bağlıdır. İşte bu noktada el-Kâşî devreye girer.
el-Kâşî ve π: 805 306 368 kenarlı bir çokgen
el-Kâşî yaklaşık 1380’de Kâşân’da doğdu, 1429’da Semerkant’ta öldü. Temmuz 1424’te tamamladığı Risâle el-Muhîtiyye (Çember Üzerine İnceleme) adlı eserinde, Arşimet’in iç ve dış çokgen fikrini çok daha ileri taşıdı.
Bunun için kenar sayısı
3 × 2²⁸ = 805 306 368
olan düzgün çokgenlerle çalıştı. Altıgenden başlayıp kenar sayısını 28 kez ikiye katlamak demektir bu. 2π’yi altmışlık tabanda 9 basamağa kadar hesapladı; bu, onluk tabanda yaklaşık 16 ondalık basamağa karşılık gelir:
π ≈ 3,1415926535897932
Bu hassasiyet, 1600 dolaylarında Ludolph van Ceulen’in hesaplarına kadar aşılamadı. Arşimet’in 96-gen yöntemini merak ediyorsanız Arşimet ve π yazımıza göz atabilirsiniz.
Bu kadar basamak ne işe yarar?
Hassasiyetin ne anlama geldiğini bir örnekle görelim. Dünya’nın yarıçapını yaklaşık 6371 km alırsak çevresi 2 × π × 6371 ≈ 12 742 × π km olur.
- π yerine 3,14 kullanırsak hata 12 742 × (π − 3,14) ≈ 20 km olur.
- π yerine 3,1416 kullanırsak hata yaklaşık 0,09 km, yani 94 metre dolayına iner.
- 16 ondalık basamakla hata, 12 742 km’yi 10⁻¹⁶ mertebesinde bir sayıyla çarpmak demektir; yaklaşık bir nanometre, yani milimetrenin milyonda biri kadar.
Her yeni doğru basamak, hatayı yaklaşık on kat küçültür. Gözlem aletlerinin hassasiyeti arttıkça hesap tablolarının da aynı ölçüde hassas olması gerekir; aksi hâlde ölçümün inceliği hesapta kaybolur.
el-Kâşî 1427’de Miftâhu’l-Hisâb (Hesabın Anahtarı) adlı kapsamlı bir aritmetik kitabı da yazdı. Bu eserde ondalık kesirleri sistemli biçimde kullandı ve altmışlık kesirlerle ondalık kesirler arasındaki benzerliği gösterdi.
sin 1°: Bir kübik denklemi adım adım çözmek
Trigonometri tablosu hazırlarken en zor adımlardan biri sin 1°’yi bulmaktır. Bazı açıların sinüsleri geometrik yollarla tam olarak hesaplanabilir. Örneğin 3° = 18° − 15° olduğu için sin 3°, sin 18° ve sin 15°’ten hesaplanabilir. Ama 1°’ye geometrik yapımla doğrudan ulaşılamaz: Açıyı üçe bölmek gerekir.
el-Kâşî bu sorunu bir denkleme dönüştürdü. Kaynaklara göre Batlamyus teoremini bir kirişler dörtgenine uygulayarak bir kübik denklem elde etti. Bugünkü trigonometriyle aynı ilişki şöyle yazılabilir:
sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin³ θ
θ = 1° ve x = sin 1° dersek:
sin 3° = 3x − 4x³
Bu kübik denklemi çözmek için el-Kâşî hızla yakınsayan bir yineleme yöntemi kullandı. Fikri bugünkü dille şöyle anlatabiliriz. Denklemi x’i yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim:
x = (sin 3° + 4x³) ÷ 3
x çok küçük bir sayı olduğu için 4x³ terimi daha da küçüktür. İlk tahmin olarak onu yok sayıp x₀ = sin 3° ÷ 3 alalım. Sonra her tahmini sağ tarafa koyarak yeni bir tahmin üretelim. sin 3° ≈ 0,0523359562 değeriyle:
| Adım | Tahmin |
|---|---|
| x₀ | 0,0174453187… |
| x₁ | 0,0174523978… |
| x₂ | 0,0174524064268… |
| x₃ | 0,0174524064372707… |
| x₄ | 0,0174524064372835… |
Her adımda doğru basamak sayısı artar. Birkaç adım sonra sin 1° ≈ 0,0174524064372835 değerine ulaşılır. MacTutor’un aktardığı Semerkant değeri de virgülden sonra 16 basamağa kadar bugünkü değerle örtüşür.
Burada el-Kâşî’nin elle, altmışlık tabanda çalıştığını unutmamak gerekir. Yukarıdaki tablo onun adımlarının birebir kopyası değil, aynı fikrin bugünkü ondalık gösterimle bir canlandırmasıdır.
Bugün nerede karşımıza çıkar?
- Trigonometri: Sinüs, kosinüs ve üç kat açı formülleri AYT trigonometri konularındandır. sin 3θ özdeşliği, bu formüllerin gerçek bir hesap sorununu çözmek için nasıl kullanılabileceğini gösterir.
- Yay uzunluğu ve oran: Fahri sekstantındaki hesap, dairede yay uzunluğu problemlerinin aynısıdır.
- Yinelemeli yöntemler: Bir tahmini tekrar tekrar düzelterek çözüme yaklaşmak, bugün bilgisayarların denklem çözerken kullandığı sayısal yöntemlerin temel fikridir.
- Ondalık gösterim: Ondalık kesirlerin sistemli kullanımı, bugün hiç düşünmeden yazdığımız 3,14 gibi sayıların arka planındadır.
YKS’de trigonometri konularının yerini görmek için ne öğretiyoruz sayfamıza bakabilirsiniz.
Kapanış
Semerkant Rasathanesi, gözlem ile hesabın birbirine nasıl bağlı olduğunu çok iyi gösterir. Dev bir sekstant açıları okunabilir kılıyordu; ama bu okumaları anlamlı sonuçlara çevirmek için π’nin ve sinüs değerlerinin hassas bilinmesi gerekiyordu. el-Kâşî’nin yinelemeli yöntemi, “tam çözümü yazamıyorsam, ona istediğim kadar yaklaşabilir miyim?” sorusuna verilmiş çok erken ve çok güçlü bir cevaptı.