Yarıda kalan oyun: Pascal ile Fermat'nın mektupları ve olasılığın doğuşu

İki arkadaş, üç tur önce kazanan ödülü alacak şekilde bir oyuna başlıyor. Biri 2 tur, diğeri 1 tur kazanmışken oyun yarıda kesilmek zorunda kalıyor. Ödül nasıl paylaşılmalı? Eşit mi? Kazanılan turlarla orantılı mı? Yoksa başka bir yol mu var?

Bu soru, “puan problemi” adıyla yüzyıllarca tartışıldı. 1654 yazında Blaise Pascal ile Pierre de Fermat bu soruyu mektuplarla ele aldı ve cevabı geçmişte ne olduğuna değil, gelecekte neler olabileceğine bakarak buldu. Bu fikir, olasılık hesabının başlangıç noktalarından biri kabul edilir. Bu yazıda problemi, iki matematikçinin farklı yöntemlerini ve bugünkü olasılık konusuyla bağlantısını adım adım inceleyeceğiz.

Eski bir soru, yanlış bir cevap

Puan problemi Pascal ile Fermat’dan önce de biliniyordu. İtalyan matematikçi Luca Pacioli, 1494’te yayımladığı Summa adlı kitapta bu tür bir soruya yer verdi. Tartaglia ve Cardano gibi 16. yüzyıl yazarları da problem üzerine düşündü.

Pacioli’nin ele aldığı türden bir örnek şöyledir: Oyun altı tur kazanan tarafın zaferiyle bitecek. A 5 tur, B 3 tur kazanmışken oyun duruyor. Pacioli, ödülü o ana kadar kazanılan turlarla orantılı, yani 5’e 3 oranında bölmeyi önerdi.

İlk bakışta adil görünür. Ama bir sorun var: Bu yöntem, oyunun bitmesine ne kadar kaldığını hesaba katmaz. A’nın kazanmak için tek bir tura, B’nin ise arka arkaya üç tura ihtiyacı vardır. Durum “5’e 3”ten çok daha fazla A’nın lehinedir. Birazdan göreceğimiz yöntemle doğru paylaşım 7’ye 1 çıkar.

1654 mektupları

Blaise Pascal 1623’te doğdu, 1662’de öldü. Pierre de Fermat 1601–1665 yılları arasında yaşadı ve Toulouse’da hukukçu olarak çalıştı. 1654 yazında aralarında olasılık üzerine birkaç mektup gidip geldi. Pascal’ın ilk mektubu günümüze ulaşmadı; ama sonrakilerden tartışmanın içeriğini öğrenebiliyoruz.

Soruların, oyun tutkusuyla bilinen Chevalier de Méré tarafından Pascal’a iletildiği anlatılır. Kaynaklar bunu “muhtemelen” diye aktarır; kesin bir belge değildir.

Pascal’ın 29 Temmuz 1654 tarihli mektubunda verdiği örnek, yazının başındaki sorunun ta kendisidir: Üç tur kazanan ödülü alacak, her oyuncu ortaya 32 pistol (dönemin altın parası) koymuş, toplam ödül 64 pistol.

Pascal’ın yolu: Bir tur daha oynansaydı?

Pascal, sonucu geriye doğru adım adım kurar. Her turu iki oyuncunun da eşit şansla kazanabildiğini varsayar.

Durum 2–1 (A’nın 1, B’nin 2 tura daha ihtiyacı var): Bir tur daha oynandığını düşünelim.

• A kazanırsa oyun biter, A 64 pistolün hepsini alır.
• B kazanırsa durum 2–2 olur. Bu durumda iki oyuncu tamamen eşittir ve ödül 32–32 paylaşılmalıdır.

Yani A her iki durumda da en az 32 pistol alacaktır; bu 32 zaten onundur. Kalan 32 pistol eşit şansla ya A’ya ya B’ye gidecektir; bu yüzden ikiye bölünür. A: 32 + 16 = 48, B: 16.

Durum 2–0 (A’nın 1, B’nin 3 tura ihtiyacı var):

• A kazanırsa 64 alır.
• B kazanırsa durum 2–1 olur; az önce bu durumda A’nın payını 48 bulduk.

A en az 48 alacağından bu onundur; kalan 16 ikiye bölünür. A: 48 + 8 = 56, B: 8.

Durum 1–0 (A’nın 2, B’nin 3 tura ihtiyacı var):

• A kazanırsa durum 2–0 olur: A’nın payı 56.
• B kazanırsa durum 1–1 olur: eşitlik, A’nın payı 32.

A en az 32 alır; kalan 56 − 32 = 24 ikiye bölünür. A: 32 + 12 = 44, B: 20.

Pascal’ın her adımda yaptığı şey, iki eşit olası sonucun ortalamasını almaktır. Bugün buna beklenen değer diyoruz.

Fermat’nın yolu: Bütün olasılıkları listele

Fermat aynı soruya farklı bir yoldan yaklaştı: Oyunun en fazla kaç tur daha sürebileceğini bul ve bu turların bütün olası sonuçlarını yaz.

Durum 2–1’de oyun en fazla 2 tur daha sürer. Oyun erken bitse bile, sayma kolaylığı için iki turun da oynandığını varsayalım. A’nın kazandığı turu A, B’nin kazandığını B ile gösterirsek dört eşit olası sonuç vardır:

1. tur	2. tur	Kazanan
A	A	A
A	B	A
B	A	A
B	B	B

A dört sonucun üçünde kazanır. Ödülün 3/4’ü, yani 48 pistol A’ya düşer. Pascal’ın sonucuyla aynıdır.

Şimdi Pacioli’nin örneğine dönelim: A’nın 1, B’nin 3 tura ihtiyacı var. Oyun en fazla 3 tur daha sürer ve 2 × 2 × 2 = 8 eşit olası sonuç vardır. B’nin kazanabilmesi için üç turu da kazanması gerekir: yalnızca BBB. Geriye kalan 7 sonuçta A kazanır. Adil paylaşım 7’ye 1’dir.

“Oyun erken bitse bile turların oynandığını varsaymak” ilk bakışta tuhaf gelebilir. Ama bu, sonuçları eşit olasılıklı yapmanın akıllıca bir yoludur. Oyun bittikten sonra oynanan hayalî turlar kazananı değiştirmez.

Pascal, bu tür sayma işlerini düzenli biçimde yapmak için bugün “Pascal üçgeni” dediğimiz sayı üçgeni üzerine de bir inceleme yazdı. Üçgenin satırları, kaç turda kaç kazanç olabileceğini sayan kombinasyon sayılarını verir.

Kendiniz deneyin: Toplam ödül yine 64 pistol olsun. A’nın kazanmak için 1 tura, B’nin 4 tura ihtiyacı varken oyun dursun. Oyun en fazla 4 tur daha sürer ve 2 × 2 × 2 × 2 = 16 eşit olası sonuç vardır. B yalnızca dört turun dördünü de kazanırsa, yani BBBB sonucunda kazanır. A’nın payı 15/16 × 64 = 60 pistol, B’nin payı 4 pistol olur. Pacioli’nin yöntemi ise bu durumda bile kazanılmış turlara bakarak çok farklı bir paylaşım önerirdi.

Modelin varsayımları

Bu çözüm birkaç açık varsayıma dayanır:

• Her tur bağımsızdır: Bir önceki turun sonucu bir sonrakini etkilemez.
• Oyuncular eşit güçtedir: Her turu iki taraf da 1/2 olasılıkla kazanır. Oyunculardan biri daha iyiyse hesap değişir.
• Adil paylaşım, kazanma olasılığıyla orantılıdır: Bu bir matematik sonucu değil, üzerinde uzlaşılan bir adalet tanımıdır.

Bu varsayımları açıkça yazmak, olasılık problemlerinde en az hesabın kendisi kadar önemlidir.

Mektuplardan sonra

Pascal ile Fermat mektuplarını yayımlamadı. 1655’te Paris’e gelen Hollandalı bilim insanı Christiaan Huygens, bu problemlerin tartışıldığını öğrendi ve konu üzerine kendi incelemesini yazdı. De ratiociniis in ludo aleae (Şans Oyunlarında Akıl Yürütme Üzerine) 1657’de yayımlandı ve olasılık üzerine basılmış ilk çalışma olarak kabul edilir.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Olasılık konusu: Örnek uzayı listelemek (Fermat’nın yolu) ve bağımsız olayların olasılıklarını çarpmak (1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8), lise olasılık konusunun ve YKS sorularının temelidir.
• Kombinasyon ve Pascal üçgeni: “4 turda en az 2 kazanma kaç farklı biçimde olur?” sorusu, kombinasyon sayılarıyla çözülür.
• Beklenen değer: Sigorta primleri, oyun kuralları ve risk hesapları, Pascal’ın ortalama alma fikrine dayanır.
• Karar verme: Bilginin eksik olduğu durumlarda adil ve tutarlı karar vermek, istatistiğin ve veri biliminin temel sorularındandır.

YKS’de olasılık, permütasyon ve kombinasyon konularının yerini ne öğretiyoruz sayfamızda görebilirsiniz. Olasılığı deneyle öğrenme fikrimizi nasıl öğretiyoruz sayfasında anlatıyoruz.

Kapanış

Puan probleminin çözümündeki asıl dönüşüm bakış yönündeydi: Ödülü geçmişte kazanılan turlara göre değil, gelecekte olabileceklere göre paylaşmak. Pascal geriye doğru adım adım ortalama aldı, Fermat bütün olasılıkları tek tek saydı; ikisi de aynı sonuca ulaştı. Belirsizliği sayılarla ifade etme fikri, o yazın mektuplarında somut bir yöntem hâline geldi.