Öklid'in Elemanlar'ı: Tanımdan ispata giden yol

“Neden böyle?” sorusuna matematikte verilen cevap bir otoriteye dayanmaz; bir ispata dayanır. Bu alışkanlığın en etkili örneklerinden biri, yaklaşık 2300 yıl önce İskenderiye’de yazılmış bir kitaptır: Öklid’in Elemanlar’ı. Kitap, birkaç tanım ve kabulden yola çıkarak yüzlerce sonucu tek tek kanıtlar.

Bu yazıda Elemanlar’ın nasıl bir kitap olduğunu, “tanım”, “postulat” ve “ortak kavram” kelimelerinin ne anlama geldiğini, ilk önermenin ispatını ve beşinci postulatın matematikçileri iki bin yıl boyunca neden meşgul ettiğini anlatacağız.

Öklid hakkında ne biliyoruz?

Şaşırtıcı ama Öklid’in hayatı hakkında çok az şey biliyoruz. Kabul gören bilgi, MÖ 300 dolaylarında İskenderiye’de, I. Ptolemaios döneminde ders verdiğidir. Bu bilginin önemli bir kısmı, Öklid’den yaklaşık yedi yüzyıl sonra yaşamış Proklos’un yorumlarından gelir. Doğum yeri olarak Megara’yı gösteren eski anlatımlar, aynı adı taşıyan başka bir filozofla karıştırılmanın sonucudur.

Öklid’e atfedilen ünlü bir söz de vardır: Kral Ptolemaios geometriyi öğrenmenin daha kısa bir yolu olup olmadığını sorunca, “geometriye giden kral yolu yoktur” dediği anlatılır. Bu bir rivayettir; Proklos’ta geçer ama doğruluğunu sınayacak çağdaş bir kaynak yoktur.

Elemanlar’daki sonuçların hepsi Öklid’e ait değildir. Kitap, kendinden önceki Yunan matematikçilerinin birikimini düzenler. Öklid’in asıl katkısı, bu bilgiyi mantıksal bir sıraya dizmek ve her sonucu öncekilere dayandırmaktır.

Kitabın yapısı: 13 kitap, üç büyük bölüm

Elemanlar, “kitap” denen 13 bölümden oluşur. Kabaca üç gruba ayrılır:

Kitaplar	Konu
I–VI	Düzlem geometrisi: üçgenler, paraleller, çember, çokgenler, oran-orantı
VII–X	Sayılar kuramı ve ölçülemeyen (irrasyonel) büyüklükler
XI–XIII	Uzay geometrisi ve beş düzgün çokyüzlü

Adında “geometri” olan bir kitapta sayıların da yer alması şaşırtıcı gelebilir. Örneğin asal sayıların sonsuz çoklukta olduğunun ispatı, IX. kitaptadır.

Elemanlar’ın ilk basılı baskısı 1482’de çıktı ve o tarihten bu yana binden fazla baskı yapıldığı tahmin edilir.

Başlangıç taşları: Tanımlar, postulatlar, ortak kavramlar

I. kitap üç tür başlangıç ifadesiyle açılır:

• 23 tanım: Nokta, doğru, açı, çember gibi kavramların ne anlama geldiği. Örneğin nokta “parçası olmayan şey” diye tanımlanır.
• 5 postulat: Geometriye özgü, ispatsız kabul edilen ifadeler.
• 5 ortak kavram: Her türlü büyüklük için geçerli genel kabuller. Örneğin “aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir.”

Beş postulatın bugünkü dille özeti şöyledir:

1. Herhangi iki noktadan bir doğru parçası çizilebilir.
2. Bir doğru parçası doğru boyunca istenildiği kadar uzatılabilir.
3. Herhangi bir merkez ve yarıçapla çember çizilebilir.
4. Bütün dik açılar birbirine eşittir.
5. İki doğruyu kesen bir doğru, aynı taraftaki iç açıların toplamı iki dik açıdan küçük olacak şekilde çizilmişse, bu iki doğru yeterince uzatıldığında o tarafta kesişir.

İlk dördü kısa ve sezgiseldir. Beşincisi ise hem uzun hem de sonsuza kadar uzatılan doğrulardan söz ettiği için dikkat çeker. Bu farkın hikâyesine birazdan döneceğiz.

İlk önerme: Eşkenar üçgen nasıl çizilir?

I. kitapta 48 önerme vardır. İlki, yöntemi çok iyi gösterir: Verilen bir doğru parçası üzerine eşkenar üçgen çizmek.

AB doğru parçası verilmiş olsun.

1. Merkezi A, yarıçapı AB olan bir çember çiz. (3. postulat)
2. Merkezi B, yarıçapı BA olan bir çember çiz. (3. postulat)
3. İki çember bir C noktasında kesişsin. C’yi A’ya ve B’ye birleştir. (1. postulat)
4. C, A merkezli çemberin üzerinde olduğu için AC = AB. (çemberin tanımı)
5. C, B merkezli çemberin üzerinde olduğu için BC = BA. (çemberin tanımı)
6. AC ve BC aynı şeye, AB’ye eşit olduğu için AC = BC. (1. ortak kavram)
7. Öyleyse AB = BC = CA ve ABC üçgeni eşkenardır.

Her adımın yanında hangi tanıma, postulata ya da ortak kavrama dayandığı yazılıdır. Bu, Elemanlar’ın bütününde izlenen düzendir: Hiçbir adım “görüldüğü gibi” diye geçiştirilmez.

Burada bir ayrıntı daha var: Öklid, iki çemberin gerçekten kesiştiğini ayrıca gerekçelendirmez. Yüzyıllar sonra matematikçiler bu tür örtük varsayımları fark etti ve geometrinin temellerini daha titiz biçimde yeniden yazdı. Bu, Elemanlar’ın değerini azaltmaz; ispat fikrinin zamanla nasıl olgunlaştığını gösterir.

I. kitabın sonlarına doğru, 47. önerme olarak, bugün Pitagoras teoremi dediğimiz sonuç ispatlanır: Dik üçgende hipotenüs üzerine kurulan kare, diğer iki kenar üzerine kurulan karelerin toplamına eşittir.

Kendiniz deneyin: Ters açılar

Aynı yöntemi küçük bir sonuçta kendimiz uygulayalım. İki doğru bir noktada kesişsin ve dört açı oluştursun. Karşılıklı duran iki açıya ters açılar denir. Bunların eşit olduğunu gösterelim.

1. Kesişen doğrulardan birinin üzerinde yan yana duran a ve b açıları, bir doğru boyunca yan yanadır; toplamları iki dik açıya eşittir.
2. Aynı şekilde b ile onun öbür yanındaki c açısı da diğer doğru boyunca yan yanadır; toplamları yine iki dik açıdır.
3. a + b ile b + c aynı büyüklüğe eşit olduğu için birbirine eşittir. (1. ortak kavram)
4. Her ikisinden de b çıkarılırsa kalanlar eşittir: a = c. (3. ortak kavram: eşitlerden eşitler çıkarılırsa kalanlar eşittir.)

a ile c ters açılardır. Dört satırlık bu ispat, lise geometrisinde hiç düşünmeden kullandığımız bir bilginin hangi kabullere dayandığını gösterir.

Beşinci postulatın uzun hikâyesi

Pek çok matematikçi, beşinci postulatın aslında bir postulat olmadığını, diğer dördünden ispatlanabileceğini düşündü. Proklos, kendinden önceki bir ispat girişiminin hatalı olduğunu yazdı, sonra kendisi de bir ispat denedi; o da hatalıydı. Ancak Proklos, postulatın bugün okullarda sık kullanılan eşdeğer biçimini de verdi: Bir doğru ve üzerinde olmayan bir nokta verildiğinde, bu noktadan geçen ve doğruya paralel olan tam bir doğru vardır.

1697’de Saccheri, beşinci postulatın yanlış olduğunu varsayıp bir çelişkiye ulaşmayı denedi. Bu yolda aslında Öklid dışı geometrinin birçok sonucunu buldu ama aradığı çelişkiyi bulduğunu sanarak yanıldı.

19. yüzyılda tablo değişti. Gauss, Bolyai ve Lobaçevski birbirinden bağımsız olarak, beşinci postulat yerine farklı bir kabul konduğunda da çelişkisiz bir geometri kurulabileceğini gördü. Lobaçevski bu fikri 1829’da yayımladı. 1868’de Beltrami, bu yeni geometrinin tutarlı olduğunu gösteren bir model verdi. Böylece beşinci postulatın diğerlerinden ispatlanamayacağı anlaşıldı. Öklid onu ispatsız kabul ederken haklıydı.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Okul geometrisi: Üçgenlerin eşliği, paralel doğrularda açılar, çemberde açılar gibi konuların birçoğu Elemanlar’ın ilk kitaplarından gelir. Lise geometrisi ve YKS geometri soruları hâlâ bu mantık zinciri üzerine kuruludur.
• İspat düşüncesi: “Verilenler, istenen, gerekçe” düzeniyle çözüm yazmak, Öklid’in her adımı bir dayanağa bağlama alışkanlığının devamıdır.
• Aksiyomatik yöntem: Modern matematikte sayı kümelerinden olasılığa kadar pek çok alan, birkaç temel kabul üzerine kurulur.
• Uzay ve fizik: Öklid dışı geometriler, genel görelilikte uzay-zamanın eğriliğini anlatmak için kullanılan matematiğin öncülerindendir.

Konuları gözlemden ispata taşıma yaklaşımımızı nasıl öğretiyoruz sayfasında, YKS geometri konularını ise ne öğretiyoruz sayfasında bulabilirsiniz. Antik geometrinin gerçek dünyaya uygulanmış bir örneği için Eratosthenes’in Dünya’yı ölçmesi yazımıza bakabilirsiniz.

Kapanış

Elemanlar’ı özel kılan tek tek teoremleri değil, onları birbirine bağlayan yapıdır. Birkaç tanım ve kabulden yola çıkıp her adımı gerekçelendirerek şaşırtıcı sonuçlara ulaşmak, matematiğin hâlâ en temel çalışma biçimidir. Beşinci postulatın hikâyesi ise bize bir şey daha öğretir: Başlangıçtaki kabulleri sorgulamak, bazen tamamen yeni dünyaların kapısını açar.