√2 neden bir kesir olarak yazılamaz? İrrasyonel sayıların keşfi

Kenarı 1 birim olan bir kare çizin ve bir köşesinden karşı köşesine bir doğru çekin. Bu köşegen ne kadar uzundur? Pitagoras teoremi cevabı hemen verir: 1² + 1² = 2 olduğundan köşegen √2 birimdir. Peki √2 kaçtır? 1,4 mü, 1,41 mi, 1,4142 mi? Hiçbiri tam değildir. Üstelik ne kadar uzun bir ondalık ya da ne kadar büyük paydalı bir kesir yazarsanız yazın, tam değere ulaşamazsınız.

√2’nin iki tam sayının oranı olarak yazılamaması, yani irrasyonel olması, Antik Yunan matematiğinde derin bir sarsıntı yarattı. Bu yazıda keşfin arka planını, çevresinde oluşan Hippasos rivayetini ve bu gerçeğin nasıl ispatlandığını adım adım göreceğiz.

Kareden doğan bir sayı

Önce √2’ye yaklaşmayı deneyelim:

• 1,4² = 1,96 (biraz küçük)
• 1,42² = 2,0164 (biraz büyük)
• 1,414² = 1,999396 (biraz küçük)
• 1,415² = 2,002225 (biraz büyük)

Her adımda aralığı daraltabiliriz ama sonuç hiç tam 2 çıkmaz. Kesirlerle deneyelim:

• 7/5 için: 49/25 = 1,96
• 17/12 için: 289/144 ≈ 2,0069
• 41/29 için: 1681/841 ≈ 1,9988

Bu kesirlerde ilginç bir şey var. Payın karesi ile paydanın karesinin iki katı arasındaki farka bakalım: 7² − 2 × 5² = 49 − 50 = −1. Sonra 17² − 2 × 12² = 289 − 288 = 1. Ardından 41² − 2 × 29² = 1681 − 1682 = −1. Fark hep 1 ya da −1 çıkıyor, ama asla 0 olmuyor. Fark 0 olsaydı p² = 2q² olurdu, yani p/q tam olarak √2 olurdu. Birazdan bunun neden hiçbir zaman olamayacağını göreceğiz.

Babilliler bu köşegen için şaşırtıcı derecede iyi bir yaklaşık değer biliyordu. O değeri Babillilerin 60 tabanı yazımızda çözüyoruz.

Ortak ölçü fikri

Antik Yunan matematikçileri uzunlukları karşılaştırırken ortak ölçü fikrini kullanırdı. İki uzunluğun ortak ölçüsü varsa, ikisini de tam sayıda kez içeren küçük bir birim bulunur. Örneğin 6 cm ve 10 cm’lik iki çubuk için 2 cm’lik bir birim, birinci çubuğa 3 kez, ikinciye 5 kez sığar. Bu durumda iki uzunluğun oranı 3/5 gibi bir tam sayı oranıdır.

Pitagorasçı gelenekte, evrendeki düzenin tam sayılar ve onların oranlarıyla açıklanabileceği düşüncesi önemli bir yer tutuyordu. Bu bakışa göre her iki uzunluk için, ne kadar küçük olursa olsun, bir ortak ölçü bulunmalıydı. Bir karenin kenarı ile köşegeni için böyle bir ölçünün olmadığının anlaşılması, bu yüzden büyük bir sürprizdi. Keşfin büyük olasılıkla MÖ 5. yüzyılda yapıldığı düşünülür; kimin yaptığı ise bilinmiyor.

Hippasos rivayeti

Keşif çoğu zaman Metapontionlu Hippasos adında bir Pitagorasçıyla birlikte anılır. Popüler anlatılarda Hippasos’un bu sırrı açıkladığı için denizde boğulduğu ya da tanrıların cezasına uğradığı söylenir.

Bu anlatıyı dikkatle okumak gerekir:

• Hikâyenin günümüze ulaşan biçimleri, olaydan yüzyıllar sonra yazılmıştır.
• Bazı anlatılar boğulan kişinin adını vermez. Bazıları konuyu irrasyonel büyüklüklerle değil, beşgenlerden oluşan on iki yüzlü cisimle ilgili bir sırla ilişkilendirir.
• Bir başka anlatıda ceza ölüm değil, topluluktan dışlanmadır: Kişi hâlâ yaşarken onun için sembolik bir mezar yapıldığı söylenir.
• İlk fark edilen örneğin √2 mi, yoksa düzgün beşgenin köşegeni ile kenarı arasındaki oran mı olduğu da tartışmalıdır.

Kısacası Hippasos’un bu keşfi yaptığı ve bu yüzden öldürüldüğü, kanıtlanmış bir tarih değil, zamanla şekillenmiş bir rivayettir. Kesin olan, MÖ 4. yüzyıla gelindiğinde ortak ölçüsü olmayan büyüklüklerin Yunan matematikçileri tarafından bilindiği ve incelendiğidir.

İspat: √2 neden bir kesir olamaz?

Şimdi asıl soruya gelelim. Kullanacağımız yöntem çelişki yoluyla ispattır: İddianın tersini varsayar, bu varsayımın imkânsız bir sonuca götürdüğünü gösteririz. Çift ve tek sayılara dayanan bu akıl yürütmenin Aristoteles’in döneminde bilindiği anlaşılır.

Önce küçük bir yardımcı bilgi: Tek bir sayının karesi tektir. Tek bir sayı 2k + 1 biçimindedir. Karesi (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 olur; bu da tektir. Demek ki karesi çift olan bir sayı tek olamaz, çift olmak zorundadır.

Şimdi ispat:

1. √2’nin bir kesir olduğunu varsayalım: √2 = p/q. Burada p ve q pozitif tam sayılardır ve kesir sadeleştirilmiştir; yani p ile q’nun 1’den başka ortak böleni yoktur.
2. İki tarafın karesini alalım: 2 = p²/q². Buradan p² = 2q² bulunur.
3. p², 2 ile çarpılmış bir sayıya eşit olduğundan çifttir. Yardımcı bilgiye göre p de çifttir.
4. p çiftse bir m tam sayısı için p = 2m yazabiliriz. Yerine koyalım: (2m)² = 2q², yani 4m² = 2q², buradan q² = 2m².
5. Aynı akıl yürütmeyle q² çifttir, dolayısıyla q de çifttir.
6. Hem p hem q çift çıktı; ikisi de 2’ye bölünüyor. Oysa 1. adımda kesrin sadeleştirilmiş olduğunu, yani ortak bölenlerinin olmadığını varsaymıştık.
7. Bu bir çelişkidir. Demek ki başlangıçtaki varsayım yanlıştır: √2 hiçbir p/q kesrine eşit değildir.

Aynı sonuca son basamaktan ulaşmak

Aynı gerçeği sayıların son basamağına bakarak da görebiliriz. Bir tam sayının karesi yalnızca 0, 1, 4, 5, 6 ya da 9 ile biter. 2q² ise yalnızca 0, 2 ya da 8 ile bitebilir. p² = 2q² eşitliğinde iki tarafın son basamağı aynı olmalı; ortak tek seçenek 0’dır. O hâlde p² 0 ile biter, bu da p’nin 0 ile bitmesini gerektirir. 2q²’nin 0 ile bitmesi ise q²’nin 0 ya da 5 ile bitmesi, dolayısıyla q’nun 0 ya da 5 ile bitmesi demektir. Sonuçta p ve q’nun ikisi de 5’e bölünür; bu yine sadeleştirilmiş kesir varsayımıyla çelişir.

Keşiften sonra ne oldu?

Bu keşif matematiği yıkmadı; tam tersine derinleştirdi. Kireneli Theodoros’un √3’ten √17’ye kadar, tam kare olmayan sayıların kareköklerinin de ortak ölçüsüz olduğunu gösterdiği aktarılır. Sonraki kuşaklarda Eudoksos, ortak ölçüsü olmayan büyüklüklerle de çalışabilen bir oran kuramı geliştirdi. Öklid’in Elemanlar’ı bu tür büyüklükleri sınıflandırmaya kapsamlı bir bölüm ayırdı.

Gerçek sayıların bugünkü sağlam tanımı ise ancak 19. yüzyılda yapılabildi. Rasyonel sayıların sayı doğrusunda “boşluklar” bıraktığı ve bu boşlukların irrasyonel sayılarla dolduğu fikri, sonsuzluğu ciddiye almayı gerektiriyordu. Bu yolculuğun başka bir durağını Cantor ve sonsuzluk yazımızda bulabilirsiniz.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• A4 kâğıdı: A serisi kâğıtlarda uzun kenarın kısa kenara oranı √2’dir. A4’ün ölçüleri 297 mm × 210 mm’dir ve 297 ÷ 210 ≈ 1,414. Bu oran sayesinde bir yaprağı ikiye katladığınızda aynı biçimde, yarı büyüklükte bir yaprak elde edersiniz: A3’ün yarısı A4, A4’ün yarısı A5 olur.
• Köşegenler: Kare biçimli her fayans, pencere ya da ekran parçasının köşegeni kenarının √2 katıdır. Kenarı 30 cm olan bir fayansın köşegeni yaklaşık 42,4 cm’dir.
• Lise matematiği: Rasyonel ve irrasyonel sayılar, köklü ifadeler ve çelişki yoluyla ispat, müfredatın temel parçalarıdır. Bir ispatın neden bu kadar güçlü olduğunu ispat nedir yazımızda daha ayrıntılı konuşuyoruz.

Kapanış

Bir karenin köşegeni, bütün uzunlukların tam sayı oranlarıyla ölçülebileceği inancını sarstı. Ama bu sarsıntı matematiğe yeni bir tür sayı, yeni bir ispat biçimi ve sonsuzlukla yüzleşme cesareti kazandırdı. √2’nin ondalık basamakları hiç bitmez ve hiçbir düzenle tekrar etmez; yine de onu bir cetvel ve pergelle kâğıda tam olarak çizebiliriz. Bu küçük çelişki, matematiğin en güzel sürprizlerinden biridir.