Kar taneleri neden altı kollu? Buz kristali, altı katlı simetri ve benzersizlik

Bir kar tanesini eldivenin üzerinde birkaç saniyeliğine yakalayabilirseniz dikkatle bakın: Kolları dört ya da beş değil, neredeyse her zaman altıdır. Üstelik kollar birbirine şaşırtıcı ölçüde benzer. Gökyüzünde kimsenin çizmediği bir şekil, nasıl bu kadar düzenli olabilir?

Kısa cevap şudur: Kar tanesinin altı kolu, suyun donarken kurduğu altıgen kristal örgüden gelir. Kolların birbirine benzemesi ise aynı havada, aynı anda büyümelerinin sonucudur. Bu yazıda altı katlı simetriyi matematik diliyle tanımlayacak, sıcaklığın kar tanesinin biçimini nasıl değiştirdiğini görecek ve çok bilinen “iki kar tanesi asla aynı olmaz” sözünün aslında ne kadar doğru olduğunu tartışacağız.

Kar tanesi aslında nedir?

Kar tanesi, bulutta su buharının doğrudan buza dönüşmesiyle büyüyen bir buz kristalidir. Çoğu zaman bir toz ya da polen parçacığı çekirdek görevi görür. Buhar molekülleri bu küçük buz çekirdeğinin yüzeyine tutunur ve kristal katman katman büyür. Burada önemli bir ayrım var: Yağan kar çoğu zaman tek bir kristal değil, birbirine yapışmış birçok kristalden oluşan bir kümedir. Fotoğraflarda gördüğümüz o düzenli yıldız şekilleri, tek tek kristallerdir.

Tek bir kar kristalinde yaklaşık 10¹⁸ ile 10¹⁹ arasında su molekülü bulunduğu tahmin edilir. Yani bir milyar kere milyar mertebesinde. Bu sayı, yazının sonunda benzersizlik sorusuna döndüğümüzde işimize yarayacak.

Altıgen nereden geliyor?

Bir su molekülü, bir oksijen ve iki hidrojen atomundan oluşur. Buzda her molekül, komşularına hidrojen bağlarıyla tutunur. Her molekül dört komşuya bağlanır ve bu dört bağ, yaklaşık bir düzgün dörtyüzlünün köşelerine doğru uzanır. Dörtyüzlü bağların yeryüzü koşullarında en kararlı dizilişi, “buz Ih” adı verilen altıgen buzdur.

Bu örgüye yukarıdan bakıldığında moleküller, hafifçe kırışık altıgen halkalar oluşturur. Halkalar yan yana dizilerek bal peteğini andıran bir ağ kurar, ağlar da üst üste yığılır. Kristal büyürken bu mikroskobik düzen korunur. Sonuçta göz ile görülebilen buz prizması da altı yan yüzlü olur. Kar tanesinin altı kolu, bu altıgen prizmanın altı köşesinden dışarı doğru büyüyen uzantılardır.

Burada ölçek farkı çok büyüktür. Tek bir altıgen halkanın genişliği bir nanometreden küçüktür. Birkaç milimetrelik bir kar tanesinde, bir kenardan diğerine milyonlarca halka dizilir. Bu kadar büyük bir sayıda halkanın aynı yönde durması, küçük düzenin büyük bir şekle nasıl taşındığını gösterir.

Altı katlı simetrinin matematiği

Matematikte simetri, bir şekli değiştirmeden bırakan dönüşümdür. Düzgün bir altıgeni düşünelim.

1. Dönmeler: Altıgeni merkezinin etrafında 60° döndürürseniz şekil kendisiyle çakışır. Tam tur 360° olduğu için bu işlemi 360 ÷ 60 = 6 kez yapabilirsiniz: 0°, 60°, 120°, 180°, 240° ve 300°. Hiç döndürmemek (0°) de bir simetri sayılır.
2. Yansımalar: Altıgeni ikiye bölen ve şekli aynada yansıtır gibi kendi üzerine katlayan 6 doğru vardır. Bunların 3’ü karşılıklı köşelerden, 3’ü karşılıklı kenarların ortalarından geçer.

Toplam simetri sayısı 6 + 6 = 12’dir. Bu 12 dönüşümün oluşturduğu yapıya matematikte dihedral grup denir ve D₆ ile gösterilir. Güzel bir özellik: İki simetriyi art arda uygularsanız sonuç yine bu 12 dönüşümden biridir. Örneğin 120° ve 240° dönme art arda 360° yani 0° dönme verir.

Neden 60°? Çünkü düzgün altıgen, merkezden köşelere çizilen doğrularla 6 eş eşkenar üçgene ayrılır. Her üçgenin merkezdeki açısı 360° ÷ 6 = 60°’dir. Kar tanesinin iki komşu kolu arasındaki açı da bu yüzden yaklaşık 60°’dir.

Simetrinin fizikteki derin anlamını merak ediyorsanız Emmy Noether ve simetri ile korunum yasaları yazımız iyi bir devam olur.

Küçük bir deney: Kâğıttan kar tanesi

Bir kâğıdı önce ikiye katlayın, sonra katlı kenarı merkez alarak üç eşit dilime (her biri 60°) bölecek şekilde katlayın ve bir kez daha ikiye katlayın. Kenarlardan rastgele parçalar kesip açtığınızda altı kollu, yansıma simetrili bir desen elde edersiniz. Dört katlı bir kâğıt size kare simetrisi verir; ama gerçek bir kar tanesine benzemez. Bu deney, simetrinin “tek bir parçayı tasarlayıp gerisini dönüşümlerle üretmek” olduğunu elle görmeyi sağlar.

Sıcaklık ve nem biçimi nasıl değiştirir?

Her kar tanesi yıldız biçiminde değildir. Kristalin nasıl büyüyeceğini iki şey belirler: sıcaklık ve havadaki fazla su buharı (aşırı doygunluk). 1930’larda Japon fizikçi Ukichiro Nakaya, laboratuvarda yapay kar kristalleri büyüterek bu ilişkiyi bir diyagram hâlinde düzenledi. Kabaca şöyle özetlenebilir:

Yaklaşık sıcaklık	Baskın biçim
0 °C ile −3 °C arası	İnce altıgen plakalar
−3 °C ile −10 °C arası	Sütunlar; −5 °C dolayında ince iğneler
−10 °C ile −22 °C arası	Plakalar; nem yüksekse dallı yıldızlar (en çarpıcıları −15 °C dolayında)
−22 °C’den soğuk	Çoğunlukla kısa sütunlar, arada plakalar

Sınırlar keskin değildir; tablo bir eğilimi anlatır. Nem düşük olduğunda kristal yavaş büyür ve basit bir altıgen prizma olarak kalır. Nem arttıkça büyüme hızlanır ve köşeler, yüzlerin ortasından daha hızlı ilerler. Çünkü köşeler etraftaki buhara daha fazla uzanır. Köşelerdeki bu küçük avantaj kendini besler: Köşe biraz öne çıkınca daha çok buhar yakalar ve daha da öne çıkar. Kollar ve yan dallar böyle doğar.

İlginç olan şu: Hiçbir sıcaklıkta biçimin altıgen temeli kaybolmaz. İğne biçimli kristaller bile aslında çok uzamış altıgen prizmalardır. Değişen, simetrinin kendisi değil, büyümenin hangi yönde daha hızlı olduğudur.

Kollar neden birbirine benziyor?

Bu soru çoğu insanın aklını kurcalar: Bir kol, diğer kolun ne yaptığını nereden biliyor? Cevap, kolların birbiriyle “haberleşmediği”dir.

Bir kar kristali birkaç milimetre boyundadır. Bu kadar küçük bir cismin altı kolu da aynı sıcaklığı, aynı nemi ve aynı hava akımını yaşar. Kristal düşerken bulutun farklı katmanlarından geçer. Bir katmanda nem artınca altı kolun hepsinde aynı anda yan dallar filizlenir. Başka bir katmanda hava kuruyunca hepsinin ucu aynı anda düz bir plakaya döner. Böylece her kol, kristalin yolculuğunun aynı “günlüğünü” taşır.

Yine de gerçek kar kristallerinin büyük çoğunluğu kusurludur. Kollardan biri kırılmış, biri kısa kalmış, ikisi birbirine yapışmış olabilir. Kitaplardaki kusursuz yıldızlar, binlerce kristal arasından seçilmiş örneklerdir. Doğadaki simetri bir eğilimdir, kusursuz bir kural değil.

“İki kar tanesi aynı olmaz” doğru mu?

Bu sözün doğru ya da yanlış olması, “aynı” kelimesine ne anlam yüklediğimize bağlıdır.

Basit kristaller için: Çok küçük ve basit altıgen prizmalar, mikroskop altında birbirinin neredeyse aynısı gibi görünebilir. Bu düzeyde “hiç benzer iki tane yoktur” demek doğru olmaz.

Karmaşık kristaller için: Dallı büyük bir kristalin biçimi, yolculuk boyunca yaşadığı sayısız küçük koşul değişikliğine bağlıdır. Burada basit bir sayma modeli sezgi kazandırır. Bu bir benzetmedir, gerçek bir fizik hesabı değildir: Bir kristalin yolculuğunda kolun belirli bir noktasında yan dal çıkıp çıkmamasını bir “evet/hayır” seçimi sayalım ve böyle 100 bağımsız seçim olduğunu varsayalım. Farklı olasılık sayısı:

2¹⁰⁰ ≈ 1,27 × 10³⁰

Gerçek kristallerde seçimler ne tam bağımsızdır ne de yalnızca iki seçenekli; ama gerçek ayrıntı sayısı bu oyuncak modeldekinden çok daha fazladır. Bu yüzden iki büyük dallı kristalin tıpatıp aynı görünmesi son derece olasılık dışıdır.

Molekül düzeyinde: Her kristalde 10¹⁸’den fazla molekül olduğunu hatırlayalım. Bu kadar çok molekülün her birinin iki kristalde de birebir aynı yerde durması gerekirdi. Bu yüzden iki kristalin molekül molekül aynı olması pratikte imkânsız kabul edilir.

Dürüst bir ifade şöyle olabilir: “Karmaşık iki kar kristalinin tıpatıp aynı olması son derece olası değildir; küçük ve basit kristaller ise birbirine çok benzeyebilir.” Bilimde “asla” demek yerine olasılıklarla konuşmak, sözü hem daha doğru hem de daha ilginç yapar.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

Kar tanesi, lise matematiğinin birkaç kavramını bir araya getirir:

• Düzgün çokgenler ve açılar: Düzgün altıgenin iç açısı 120°, merkez açısı 60°’dir. Aynı altıgenlerin boşluksuz döşeme yapabilmesi, bal peteğinin neden altıgen olduğu sorusuyla doğrudan bağlantılıdır.
• Dönüşüm geometrisi: Dönme ve yansıma, koordinat geometrisinde ve fonksiyon grafiklerinde sık kullanılan araçlardır.
• Sayma ve olasılık: 2ⁿ gibi üslü ifadeler, seçenek sayısının ne kadar hızlı büyüdüğünü gösterir.
• Kristalografi: Malzeme bilimi ve kimyada, kristallerin iç düzeni simetri gruplarıyla sınıflandırılır.

Düzenli şekillerin üç boyuttaki akrabalarını görmek isterseniz Platon cisimleri yazımıza göz atabilirsiniz. Soyut bir kavramı önce gözle görüp sonra adlandırma yaklaşımımızı ise nasıl öğrettiğimizi anlattığımız sayfada bulabilirsiniz.

Kapanış

Kar tanesinin altı kolu, gözle göremediğimiz bir düzenin gözle görülür izidir: Moleküllerin açıları altıgen bir örgü kurar, örgü altıgen bir prizma büyütür, prizmanın köşeleri kollara dönüşür. Kollar arasındaki benzerlik ise ortak bir yolculuğun sonucudur. Bir dahaki kar yağışında avucunuza düşen minik yıldıza bakarken, onun hem bir simetri grubunun hem de bulutlar arasında geçen benzersiz bir hikâyenin taşıyıcısı olduğunu hatırlayabilirsiniz.