Gökkuşağı neden yaklaşık 42 derecede görünür? Kırılma, yansıma ve en küçük sapma

Yağmurdan sonra güneş arkanızda kalırken gökyüzünde renkli bir kemer belirir. Ne kadar yürürseniz yürüyün ona yaklaşamazsınız; yanınızdaki kişi de aslında sizinkinden biraz farklı bir gökkuşağı görür. Gökkuşağı gökyüzünde duran bir nesne değil, bakış yönüne bağlı bir ışık desenidir.

Bu desenin en şaşırtıcı yanı, açısının hep aynı olmasıdır. Güneşin tam karşısındaki noktaya karşı güneş noktası diyelim. Başınızın gölgesi bu noktayı gösterir. Birincil gökkuşağı, bu noktanın etrafında yaklaşık 42° yarıçaplı bir çember boyunca görünür. Bu yazıda o 42°’nin, küresel bir su damlasının içindeki ışık yolundan ve “en küçük sapma açısı” fikrinden nasıl çıktığını adım adım hesaplayacağız.

Işık damlaya girince ne olur?

Işık bir ortamdan diğerine geçerken yön değiştirir. Buna kırılma denir. Havadan suya geçen bir ışın için kırılma yasası şöyledir:

sin i = n × sin r

Burada i, ışının yüzeye çizilen dikme (normal) ile yaptığı geliş açısı; r, suyun içindeki kırılma açısı; n ise suyun kırılma indisidir. Görünür ışık için n yaklaşık 1,33’tür.

Birincil gökkuşağını oluşturan ışının damladaki yolu üç adımdır:

1. Işın damlaya girer ve kırılır.
2. Damlanın arka yüzeyinde bir kez yansır.
3. Damladan çıkarken tekrar kırılır.

Küresel bir damlada merkezden yüzeye çizilen her doğru, o noktadaki dikmedir. Bu yüzden damlanın içinde ışın ile dikmeler arasında oluşan üçgenler ikizkenardır ve içerideki açıların hepsi r olur. Bu simetri sayesinde hesap sadeleşir.

Sapma açısını hesaplayalım

Işının başlangıç yönü ile son yönü arasındaki toplam dönüşe sapma açısı diyelim ve D ile gösterelim. Her adımın katkısı:

• Girişte kırılma: ışın i − r kadar döner.
• İçeride yansıma: ışın 180° − 2r kadar döner.
• Çıkışta kırılma: ışın yine i − r kadar döner.

Toplarsak:

D = (i − r) + (180° − 2r) + (i − r) = 180° + 2i − 4r

Güneşten gelen ışınlar damlanın farklı noktalarına çarptığı için i, 0° ile 90° arasında her değeri alabilir. n = 1,333 için birkaç değer hesaplayalım:

Geliş açısı i	Kırılma açısı r	Sapma D	180° − D
0°	0°	180,0°	0,0°
20°	14,9°	160,5°	19,5°
40°	28,8°	144,7°	35,3°
50°	35,1°	139,7°	40,3°
60°	40,5°	137,9°	42,1°
70°	44,8°	140,7°	39,3°
80°	47,6°	149,5°	30,5°
90°	48,6°	165,6°	14,4°

Son sütun, çıkan ışının geldiği yöne göre ne kadar “geri döndüğünü” gösterir. Tabloya bakın: i büyüdükçe sapma önce azalır, 60° civarında en küçük değerine iner, sonra yeniden artar. Son sütun da hiçbir zaman yaklaşık 42°’yi geçmez.

Neden tam da en küçük sapma?

Asıl önemli gözlem şudur: D’nin en küçük olduğu yerde eğri düzleşir. i’yi 50° ile 70° arasında değiştirdiğimizde D yalnızca yaklaşık 3 derece değişir. Oysa i’yi 0° ile 20° arasında değiştirdiğimizde D neredeyse 20 derece değişir.

Bunun anlamı, damlaya farklı noktalardan giren çok sayıda ışının aynı açıya yığılmasıdır. Geri dönen ışık, 42° dolayında bir yoğunluk kazanır. Gözümüz, gökyüzünde karşı güneş noktasından 42° uzaklıktaki damlalardan gelen bu yoğun ışığı parlak bir yay olarak görür. Uzaydaki bütün bu damlalar, gözümüzü tepe noktası kabul eden bir koninin yüzeyi üzerindedir. Koninin yere değmeyen kısmı da bize kemer olarak görünür.

Bu fikir 1637’de René Descartes’ın çalışmalarında açıkça ortaya kondu. Descartes, suyla dolu cam bir küreyi büyük bir yağmur damlası gibi kullanarak gözlem yaptı ve birçok ışının yolunu tek tek hesapladı. Koordinat geometrisinin kurucusunun bu yönünü Descartes ve koordinat sistemi yazımızda daha geniş anlatıyoruz.

Türevle tam değer

Tabloyla yaklaşık yeri bulduk. Kesin değeri türevle bulabiliriz. D’nin en küçük olduğu noktada türevi sıfırdır. Kırılma yasasının iki tarafının türevini alıp düzenlersek şu koşula ulaşırız:

cos² i = (n² − 1) ÷ 3

n = 1,333 için: (1,777 − 1) ÷ 3 ≈ 0,259, buradan cos i ≈ 0,509 ve i ≈ 59,4°. Kırılma yasasından r ≈ 40,2° bulunur. Böylece D ≈ 180° + 118,8° − 160,9° ≈ 137,9° ve gökkuşağı açısı 180° − 137,9° ≈ 42,1° olur. Bir fonksiyonun en küçük değerini türevle bulma fikrinin tarihini Newton, Leibniz ve kalkülüs yazımızda okuyabilirsiniz.

Renkler neden ayrılır?

Suyun kırılma indisi renge göre biraz değişir. Kırmızı ışık için n yaklaşık 1,331, mor ışık için yaklaşık 1,343’tür. Aynı hesabı iki değer için yaparsak:

• Kırmızı: gökkuşağı açısı ≈ 42,4°
• Mor: gökkuşağı açısı ≈ 40,6°

Fark yaklaşık 2 derecedir. Bu yüzden birincil gökkuşağında kırmızı dışta, mor içte yer alır. Diğer renkler arada sıralanır. Güneş gökyüzünde nokta değil, yaklaşık yarım derece genişliğinde bir disk olduğu için renkler birbirine biraz karışır ve kenarlar yumuşar.

Hesap bir şeyi daha açıklar: Işınların hepsi en fazla 42° kadar geri döndüğü için, gökkuşağının içindeki gökyüzü dışındakinden daha aydınlık görünür. Yağmurlu bir havada bu farkı dikkatle bakınca fark edebilirsiniz.

İkincil gökkuşağı ve karanlık kuşak

Bazen birincil yayın dışında, daha soluk ikinci bir yay görünür. Bu yay, damla içinde iki kez yansıyan ışınlardan oluşur. Her ek yansıma sapmaya 180° − 2r daha ekler:

D₂ = 360° + 2i − 6r

Aynı yöntemle en küçük sapmayı arayalım. Türev koşulu bu kez cos² i = (n² − 1) ÷ 8 olur. n = 1,333 için i ≈ 71,8° ve D₂ ≈ 230,9° bulunur. Işın bir tam yarım turdan fazla döndüğü için, karşı güneş noktasından uzaklığı D₂ − 180° ≈ 51° olur.

İkincil gökkuşağının iki ilginç özelliği vardır:

• Renk sırası terstir: Kırmızı içte, mor dışta kalır. Ek yansıma ışının yönünü aynadaki gibi çevirir.
• Daha soluktur: Her yansımada ışığın bir kısmı damladan dışarı kaçar. İki yansımadan sonra geriye daha az ışık kalır.

İki yay arasındaki bölge ise belirgin şekilde daha karanlıktır. Çünkü birincil yansımadan gelen ışık 42°’nin dışına, ikincil yansımadan gelen ışık 51°’nin içine düşemez. Bu bölgeye, onu ilk tarif eden Afrodisiaslı İskender’in adıyla İskender’in karanlık kuşağı denir.

Modelin sınırları ve günlük sonuçlar

Bu hesap bir geometrik optik modelidir. Birkaç varsayıma dayanır:

• Damlalar tam küredir. Küçük damlalar için iyi bir yaklaşımdır; büyük damlalar düşerken hafifçe yassılaşır.
• Işık ışın gibi davranır. Işığın dalga yapısı hesaba katılmaz. Bu yüzden model, birincil yayın hemen içinde bazen görülen ince, soluk ek renk şeritlerini açıklayamaz. Onlar için dalga optiği gerekir.
• Güneş ışınları paraleldir. Güneş çok uzakta olduğu için bu çok iyi bir yaklaşımdır.

Model yine de günlük gözlemleri başarıyla açıklar:

• Öğle vakti yazın gökkuşağı görmek zordur. Güneşin yüksekliği 42°’den fazlaysa karşı güneş noktası ufkun o kadar altındadır ki 42°’lik çemberin tamamı ufkun altında kalır.
• Güneş batarken yay en yüksektir. Güneş ufka yakınken karşı güneş noktası da ufka yakındır; yarım çembere yakın büyük bir kemer görülür.
• Uçaktan ya da yüksek bir yerden bakıldığında, altta yeterince damla varsa gökkuşağı tam bir çember olarak görülebilir.

Bir bahçe hortumuyla, güneşi arkanıza alıp ince bir su sisi püskürterek aynı açıyı kendiniz deneyebilirsiniz. Önce gözlemleyip sonra ölçüp matematikle ifade etme yaklaşımımızı nasıl öğrettiğimizi anlattığımız sayfada bulabilirsiniz.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

Gökkuşağı hesabı, lise ve üniversite matematiğinin birkaç temel aracını bir araya getirir: trigonometrik fonksiyonlar, açıların toplanması, fonksiyon tablosu okuma ve bir fonksiyonun en küçük değerini bulma. Aynı düşünce, optik aletlerin tasarımında, atmosferdeki damla ve buz kristallerinin incelenmesinde ve ışığın malzemelerle etkileşiminin ölçülmesinde kullanılır. Kırılma yasası ise fizik derslerinin ve sınavlarının değişmeyen konularındandır.

Kapanış

Gökkuşağının 42°’si, milyonlarca damlanın her birinde tekrarlanan tek bir geometrik gerçeğin sonucudur: Sapma açısının bir en küçük değeri vardır ve ışık o değerin etrafında yığılır. Bir dahaki yağmur sonrasında güneşi arkanıza alın ve başınızın gölgesini bulun: Renkli yay, o noktanın etrafında hep aynı açıda sizi bekliyor olacak.