GPS konumumuzu nasıl bulur? Mesafeler, küreler ve saatler

Harita uygulamasını açtığınızda mavi nokta birkaç saniye içinde bulunduğunuz sokağa oturur. Çoğu kişi uyduların bizi “gördüğünü” ya da konumumuzu bize gönderdiğini düşünür. Gerçekte durum tam tersidir. GPS uyduları yalnızca yayın yapar; telefonunuzdaki alıcı ise sessizce dinler ve konumunu kendisi hesaplar.

Hesabın özü şudur: Alıcı, birkaç uydudan gelen sinyalin yolda ne kadar süre geçirdiğini ölçer. Süreyi ışık hızıyla çarparak her uyduya olan mesafeyi bulur. Sonra bu mesafelere uyan tek noktayı arar. Bu yönteme mesafelerle konum bulma anlamında trilaterasyon denir. İşin ince kısmı saatlerdedir. Neden en az dört uyduya ihtiyaç duyulduğunu ve Einstein’ın görelilik kuramının hesaba neden girdiğini adım adım göreceğiz.

Gökyüzündeki saatler

GPS, Amerika Birleşik Devletleri’nin işlettiği bir uydu seyrüsefer sistemidir. Sistem, 1995’te tam işler kapasiteye ulaştığı ilan edildi. Tasarım en az 24 uydu üzerine kuruludur, ama 2020’lerde çalışır durumdaki uydu sayısı 30’un üzerindedir. Uydular yaklaşık 20 200 km yükseklikte, altı ayrı yörünge düzleminde dolanır ve her biri Dünya’nın çevresini günde yaklaşık iki kez turlar. Bu yerleşim, Dünya’nın hemen her noktasından aynı anda en az dört uydunun görülebilmesi için seçilmiştir.

Her uydu, üzerindeki atom saatlerinin gösterdiği zamanı ve kendi yörünge bilgisini içeren bir sinyal yayınlar. Alıcı sinyali yakaladığında “Bu sinyal uydudan hangi anda çıktı?” sorusunun cevabını bilir. Kendi saatine bakarak da sinyalin ne zaman ulaştığını görür.

Avrupa’nın Galileo’su, Rusya’nın GLONASS’ı ve Çin’in BeiDou’su da aynı ilkeye dayanan sistemlerdir. Birçok alıcı bu sistemlerin sinyallerini birlikte kullanır.

Süreden mesafeye

Sinyal radyo dalgasıdır ve ışık hızıyla, yani saniyede yaklaşık 300 000 km yol alır. Mesafe basit bir çarpımla bulunur:

mesafe = ışık hızı × yolculuk süresi

Tepemizdeki bir uydudan gelen sinyal yaklaşık 20 200 km yol alır. Bu da 20 200 ÷ 300 000 ≈ 0,067 saniye, yani yaklaşık 67 milisaniye eder.

Burada önemli bir uyarı saklıdır. Işık o kadar hızlıdır ki çok küçük zaman hataları büyük mesafe hatalarına dönüşür:

• 1 milisaniyelik hata → yaklaşık 300 km
• 1 mikrosaniyelik hata → yaklaşık 300 m
• 1 nanosaniyelik hata → yaklaşık 30 cm

Telefonunuzdaki saat bir atom saati değildir. Birkaç milisaniye kayması bile konumu yüzlerce kilometre saptırır. Bu sorunu birazdan matematikle çözeceğiz.

Önce düz bir haritada: daireler

Üç boyuta geçmeden fikri iki boyutta görelim. Aşağıdaki örnek, basitleştirilmiş bir modeldir: Düz bir haritada üç verici var, ölçümler kusursuz ve birim kilometre.

• A vericisi (0, 0) noktasında, mesafe 5 km.
• B vericisi (10, 11) noktasında, mesafe 10 km.
• C vericisi (12, −3) noktasında, mesafe 10 km.

Yalnızca A’yı bilirsek, A merkezli 5 km yarıçaplı bir dairenin üzerinde herhangi bir yerde olabiliriz. B’yi de eklersek iki daire genellikle iki noktada kesişir. Üçüncü daire bu iki noktadan birini seçer.

Hesabı Descartes’ın koordinat sistemiyle yapalım. Üç dairenin denklemleri şöyledir:

1. x² + y² = 25
2. (x − 10)² + (y − 11)² = 100
3. (x − 12)² + (y + 3)² = 100

İkinci denklemi açalım: x² − 20x + 100 + y² − 22y + 121 = 100. Burada x² + y² yerine 25 yazarsak 25 − 20x − 22y + 221 = 100 olur. Düzenlersek 20x + 22y = 146, yani 10x + 11y = 73.

Üçüncü denklemle aynı işlemi yapalım: x² − 24x + 144 + y² + 6y + 9 = 100. Yine x² + y² = 25 yazarsak 25 − 24x + 6y + 153 = 100 olur. Buradan 24x − 6y = 78, yani 4x − y = 13.

Karelerden kurtulduk ve elimizde iki doğrusal denklem kaldı. İkincisinden y = 4x − 13 çıkar. Bunu ilkinde yerine koyalım: 10x + 11(4x − 13) = 73. Buradan 54x = 216, yani x = 4 ve y = 3 bulunur. Konumumuz (4, 3). Kontrol: 4² + 3² = 25 ✓.

Üç boyutta küreler ve dördüncü uydu

Gerçek dünyada bir uyduya olan mesafeyi bilmek bizi bir dairenin değil, o uydu merkezli bir kürenin üzerine koyar. İki küre bir dairede kesişir. Üçüncü küre bu daireyi iki noktada keser. Bu iki noktadan biri çoğu zaman uzayın içinde ya da Dünya yüzeyinden çok uzakta kalır. Yani saatler kusursuz olsaydı üç uydu büyük ölçüde yeterdi.

Ama saatler kusursuz değildir. Alıcının saati bilinmeyen bir b miktarı kadar ileri ya da geri olsun. O zaman ölçülen bütün mesafeler aynı c × b miktarı kadar kayar. Bu yüzden bu ölçümlere “sahte mesafe” denir. Artık dört bilinmeyenimiz vardır: x, y, z ve saat hatası b. Dört bilinmeyen için en az dört denklem, yani en az dört uydu gerekir. Her uydu için denklem şöyle kurulur:

√((x − xᵢ)² + (y − yᵢ)² + (z − zᵢ)²) + c × b = ölçülen sahte mesafe

İki boyutlu örneğimizde bunun ne demek olduğunu görebiliriz. Alıcının saati hatalı olduğu için üç ölçüm de 1 km uzun çıksın: 6, 11 ve 11 km. Bu üç daire artık tek bir noktada buluşmaz. Alıcı, bütün ölçümlerden aynı miktarı çıkardığında dairelerin tek noktada buluştuğu değeri arar. Bu örnekte o değer 1 km’dir ve konum yine (4, 3) çıkar. Kısacası dördüncü uydu, ucuz bir kuvars saati hassas bir atom saatine dönüştüren matematiksel bir düzeltmedir.

Gerçek alıcılar genellikle dörtten fazla uydu görür. Denklem sayısı bilinmeyen sayısından fazla olunca, en küçük kareler gibi yöntemlerle ölçüm hatalarının etkisi azaltılır. Sinyalin atmosferdeki gecikmesi ve uydu saatlerinin küçük sapmaları için de düzeltmeler yapılır.

Görelilik: günde 38 mikrosaniye

Uydulardaki atom saatleri çok hassastır, ama başka bir soruyla karşılaşırlar: Zaman, uzayda yerdekiyle aynı hızda akmaz.

• Özel görelilik: Uydular saatte yaklaşık 14 000 km hızla hareket eder. Hızlı hareket eden saat, yerdeki gözlemciye göre daha yavaş işler. Bu etki uydu saatini günde yaklaşık 7 mikrosaniye geri bırakır.
• Genel görelilik: Uydular yerçekiminin daha zayıf olduğu yükseklikte bulunur. Zayıf yerçekiminde saat daha hızlı işler. Bu etki uydu saatini günde yaklaşık 45 mikrosaniye ileri götürür.

Net fark 45 − 7 = 38 mikrosaniyedir; uydu saati yerdekinden günde yaklaşık 38 mikrosaniye ileri gider. Küçük görünüyor, ama ışık hızıyla çarpalım: 38 milyonda bir saniye × 300 000 km/s ≈ 11,4 km. Bu düzeltme yapılmasaydı konum hataları günde kabaca 10 km birikirdi.

Mühendisler bu etkiyi baştan hesaba kattı. Uydu saatleri fırlatılmadan önce çok az daha yavaş işleyecek biçimde ayarlanır. Böylece yörüngeye yerleştiklerinde yerden bakıldığında doğru hızda işlerler. Görelilik, burada soyut bir kuram olmaktan çıkar ve günlük hayatta çalışan bir mühendislik hesabına dönüşür.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

GPS ve benzeri sistemler telefonlarda, araç navigasyonunda, uçak ve gemi seyrüseferinde, harita çiziminde, arazi ölçümünde ve hassas zaman eşitlemesinde kullanılır. Bütün bu uygulamaların arkasında aynı geometri vardır.

Bu geometri, lise matematiğinin tanıdık araçlarından oluşur:

• İki nokta arasındaki mesafe ve Pitagoras bağıntısı,
• Çemberin analitiği, yani merkezi ve yarıçapı bilinen çemberin denklemi,
• Denklem sistemleri ve karelerden kurtulup doğrusal denklemlere geçmek,
• Oran ve birim dönüşümleri: nanosaniyeden santimetreye.

Bu konuların TYT ve AYT’de nasıl yer aldığına ne öğrettiğimizi anlattığımız sayfadan bakabilirsiniz. Mesafe ve açıyla Dünya’yı ölçmenin çok daha eski bir örneğini merak ediyorsanız, Eratosthenes’in Dünya’nın çevresini hesaplamasını okuyabilirsiniz.

Kapanış

GPS, yıldızlara bakarak yol bulan eski denizcilerin mirasını milisaniyelik zaman ölçümüyle sürdürür. Mavi noktanın arkasında dört denklem, dört bilinmeyen, ışık hızı ve Einstein’ın zaman hakkındaki öngörüleri vardır. Bir daha haritada konumunuzun belirdiğini gördüğünüzde, telefonunuzun o an birkaç küre ve bir saat hatası üzerine küçük bir denklem sistemi çözdüğünü hatırlayabilirsiniz.