Bilgisayarlı tomografinin matematiği: İzdüşümlerden kesit görüntüye

Bir kutunun içini açmadan görmek istediğinizi düşünün. Tek bir fotoğraf yeterli olmaz, çünkü öndeki ve arkadaki nesneler üst üste düşer. Ama kutuyu farklı açılardan pek çok kez “gölgeleyebilirseniz”, bu gölgelerden içerideki her noktanın ne kadar yoğun olduğunu hesaplayabilir misiniz?

Bilgisayarlı tomografi (BT) tam olarak bu soruya verilen matematiksel bir cevaptır. Cihaz, vücudun çevresinde dönerek birçok yönden X ışını ölçümü yapar. Bilgisayar da bu ölçümlerden tek bir ince kesitin görüntüsünü yeniden kurar. Bu yazıda bu yeniden kurmanın arkasındaki matematiği sade bir dille anlatacağız. Yazı tıbbi bilgi ya da tavsiye vermez; bir tetkikin gerekip gerekmediğine her zaman hekimler karar verir.

Tek bir röntgen neden yetmez?

Klasik röntgen görüntüsü, X ışınlarının vücudun bir tarafından girip öbür tarafına ulaşan kısmının kaydıdır. Işın yolu boyunca kemik, kas ve hava gibi farklı dokulardan geçer ve her biri ışını farklı ölçüde zayıflatır. Filmdeki her nokta, o ışının yol boyunca karşılaştığı bütün zayıflamaların toplam etkisini gösterir.

Sorun şudur: Toplamı bilmek, toplananları bilmek demek değildir. 10 sayısının 3 + 7’den mi, yoksa 5 + 5’ten mi oluştuğunu tek başına söyleyemeyiz. Aynı şekilde tek bir röntgen, ışının yolu üzerindeki dokuların hangi derinlikte olduğunu ayırt edemez. Çözüm, aynı bölgeden farklı yönlerde geçen çok sayıda ışın kullanmaktır.

Işın nasıl zayıflar? Logaritmanın rolü

Bir X ışını demeti bir malzemenin içinden geçerken şiddeti üstel olarak azalır. Kalınlık arttıkça geçen ışın, her santimetrede aynı oranda azalır. Bu yüzden ölçülen şiddetlerin oranını logaritmayla işlemek hesabı kolaylaştırır:

ln(I₀ ÷ I) = μ₁ × x₁ + μ₂ × x₂ + …

Burada I₀ ışının giriş şiddeti, I çıkış şiddeti, μ her dokunun zayıflatma katsayısı, x ise ışının o dokuda aldığı yoldur. Logaritma sayesinde çarpımlarla ifade edilen zayıflama, basit bir toplama dönüşür.

Hayalî sayılarla bir örnek yapalım. Işın önce katsayısı santimetre başına 0,2 olan 3 cm’lik bir bölgeden, sonra katsayısı 0,5 olan 2 cm’lik bir bölgeden geçsin. Toplam 0,2 × 3 + 0,5 × 2 = 1,6 olur. Çıkan ışının payı e üzeri −1,6, yani yaklaşık 0,20’dir. Işının yaklaşık beşte biri karşıya ulaşır. Tersinden bakınca: Ölçtüğümüz 0,20 oranının doğal logaritması bize yol boyunca katsayıların toplamını, yani 1,6’yı verir. Her ışın bize böyle bir toplam söyler. Logaritmanın doğuşunu merak ediyorsanız Napier yazımıza göz atabilirsiniz.

Kesiti bir denklem sistemi gibi düşünmek

Şimdi en küçük tomografi problemini kuralım. Kesitimiz yalnızca 2 × 2 hücreden oluşsun ve her hücrenin bilinmeyen bir yoğunluğu olsun:

	Sol	Sağ
Üst	a	b
Alt	c	d

Farklı yönlerden ışın göndererek şu toplamları ölçtüğümüzü varsayalım:

• Üst satır boyunca: a + b = 4
• Alt satır boyunca: c + d = 6
• Sol sütun boyunca: a + c = 3
• Sağ sütun boyunca: b + d = 7
• Bir köşegen boyunca: a + d = 5

Yalnızca satır ve sütun toplamları yetmez. Çünkü a’yı 1 artırıp b’yi 1 azaltır, c’yi 1 azaltıp d’yi 1 artırırsak dört toplam da değişmez. Köşegen ölçümü bu belirsizliği ortadan kaldırır. Farklı yönlerden ölçüm yapmanın matematikteki anlamı budur.

Çözelim. a + c = 3’ten c = 3 − a, a + d = 5’ten d = 5 − a çıkar. Bunları c + d = 6’da yerine koyarsak (3 − a) + (5 − a) = 6, yani 8 − 2a = 6 ve a = 1 bulunur. Buradan c = 2, d = 4 ve b = 3 olur. Kontrol: b + d = 3 + 4 = 7 ✓.

Gerçek bir BT kesiti yüzlerce satır ve sütundan oluşur. 512 × 512 hücrelik bir kesitte 262 144 bilinmeyen vardır. Cihaz her dönüşte binlerce yönden ölçüm alır. Ölçümler gürültülüdür, bu yüzden amaç denklemleri tam olarak değil, en iyi uyacak biçimde çözmektir. Bu kadar büyük sistemleri hızlı çözmek için özel yöntemler gerekir.

Radon dönüşümü: bütün doğrular boyunca toplamlar

Bu fikrin kuramsal temeli, cihazların yapılmasından yarım yüzyıl önce atılmıştı. Avusturyalı matematikçi Johann Radon, 1917’de şu soruyu inceledi: Bir düzlemdeki bir fonksiyonun, olası bütün doğrular boyunca alınmış toplamlarını, daha doğrusu integrallerini biliyorsak, fonksiyonun kendisini geri bulabilir miyiz? Radon, belirli koşullar altında bunun mümkün olduğunu gösterdi ve geri dönüş için bir formül verdi.

Bir fonksiyonu bütün doğrular üzerindeki integrallerine götüren işleme bugün onun adıyla Radon dönüşümü denir. BT cihazının ölçtüğü şey, kesitteki yoğunluk fonksiyonunun Radon dönüşümüne çok yakındır. Görüntüyü kurmak da bu dönüşümü tersine çevirmektir. Radon’un çalışması, uzun süre saf matematiğin bir sonucu olarak kaldı.

Geri izdüşüm ve filtre

Tersine çevirmenin sezgisel bir yolu geri izdüşümdür. Her ışının ölçtüğü toplamı, o ışının geçtiği bütün hücrelere geri dağıtırız. Bunu bütün yönler için yaptığımızda yoğun bölgelerde değerler birikir ve kaba bir görüntü ortaya çıkar.

Ama bu yöntem görüntüyü bulanıklaştırır. Tek bir parlak nokta bile her yöne uzanan çizgilerin kesiştiği yıldız biçimli bir leke gibi görünür. Çözüm, ölçümleri geri dağıtmadan önce keskin ayrıntıları güçlendiren bir filtreden geçirmektir. Bu yönteme filtreli geri izdüşüm denir ve uzun süre BT görüntülerinin kurulmasında standart yol oldu. Günümüzde ölçümleri ve gürültüyü adım adım daha iyi uyduran yinelemeli yöntemler de yaygın olarak kullanılır.

Cormack ve Hounsfield

Tıbbi uygulamaya giden yolda iki isim öne çıkar. Güney Afrika’da doğan fizikçi Allan Cormack, 1950’lerde Cape Town’da bir hastanede çalışırken vücut içindeki yoğunluk dağılımının farklı yönlerden yapılan ölçümlerle hesaplanabileceğini düşündü. Kuramsal sonuçlarını 1963 ve 1964’te iki makalede yayımladı. İlk başta bu çalışmalar pek ilgi görmedi.

İngiliz mühendis Godfrey Hounsfield ise EMI şirketinin araştırma laboratuvarında, Cormack’tan bağımsız olarak çalışan ilk klinik cihazı geliştirdi. Bu cihazla ilk hasta taraması 1 Ekim 1971’de Londra’daki Atkinson Morley Hastanesi’nde yapıldı. Tarama yaklaşık yarım saat sürdü, verilerin bilgisayarda işlenmesi ise saatler aldı. Cormack ve Hounsfield, 1979 Nobel Fizyoloji veya Tıp Ödülü’nü paylaştılar.

Hounsfield ölçeği

BT görüntüsündeki her hücrenin değeri, suya göre bir karşılaştırma olarak verilir. Tanım gereği su 0, hava −1000 Hounsfield birimidir:

HU = 1000 × (μ − μsu) ÷ μsu

Örneğin zayıflatma katsayısı sudan %5 fazla olan bir malzeme için HU = 1000 × 0,05 = 50 olur. Görüntüde bu sayılar gri tonlara çevrilir.

Neden önemli?

BT, soyut görünen matematiğin insanların hayatına doğrudan dokunduğu yerlerden biridir. Aynı yöntemler tıbbın dışında da kullanılır: sanayide parçaların içindeki kusurları bulmakta, jeofizikte yer altının yapısını incelemekte ve bilimsel araştırmalarda nesneleri kesmeden görüntülemekte.

Bu yazıdaki araçlar lise müfredatının tanıdık konularıdır: logaritma, denklem sistemleri, doğrunun analitiği ve açılar. Bir konunun somut bir sorudan başlayıp matematiğe nasıl dönüştüğünü anlattığımız yaklaşımı nasıl öğrettiğimizi anlattığımız sayfada bulabilirsiniz. Kesitteki hücreleri koordinatlarla adlandırmanın kökü ise Descartes’ın koordinat sistemine uzanır.

Kapanış

Bilgisayarlı tomografi, “toplamları biliyorsam parçaları bulabilir miyim?” sorusunun cevabıdır. Cevap evet, ama yeterince çok ve yeterince farklı yönden bakmak şartıyla. 2 × 2’lik küçük tablomuzda gördüğümüz köşegen ölçümü, cihazın vücudun çevresinde neden döndüğünü de açıklar. Radon’un 1917’deki saf matematik sorusu, yarım yüzyıl sonra vücudun içini açmadan görmemizi sağlayan bir hesaba dönüştü.