Cahit Arf: Arf değişmezi, Arf halkaları ve Türkiye'de matematik

Uluslararası bir matematik makalesinde “Arf invariant” ya da “Arf ring” ifadesine rastlarsanız, bu adın bir Türk matematikçiden geldiğini bilmek güzel bir duygudur. Cahit Arf, 20. yüzyılda uluslararası literatürde adıyla anılan kavramlar bırakmış matematikçilerimizdendir.

Bu yazıda Cahit Arf’ın kim olduğunu, adını taşıyan kavramların ne anlama geldiğini ve Türkiye’de matematiğin ve bilimin kurumsallaşmasına nasıl katkı yaptığını anlatacağız. Arf değişmezi ve Arf halkaları üniversite düzeyinde konulardır. Burada ayrıntılı tanımlar yerine, lise matematiğiyle anlaşılabilecek küçük örneklerle fikri görmeye çalışacağız.

Selanik’ten Paris’e, Göttingen’e

Cahit Arf 11 Ekim 1910’da, o dönem Osmanlı toprağı olan Selanik’te doğdu. Balkan Savaşı sırasında ailesi önce İstanbul’a göç etti, ardından İzmir’e yerleşti. Arf ilk eğitimini burada aldı.

Devlet bursuyla Paris’e giden Arf, 1928–1932 yılları arasında École Normale Supérieure’de okudu. Türkiye’ye döndükten sonra bir süre Galatasaray Lisesi’nde matematik öğretmenliği yaptı, ardından İstanbul Üniversitesi’nde çalışmaya başladı.

Doktorasını Almanya’daki Göttingen Üniversitesi’nde, sayılar kuramcısı Helmut Hasse’nin yanında yaptı ve 1938’de tamamladı. Göttingen, o yıllarda cebir ve sayılar kuramının önemli merkezlerinden biriydi.

Hasse–Arf teoremi: Doktora tezinden kalıcı bir sonuç

Arf’ın doktora tezinde elde ettiği sonuç bugün Hasse–Arf teoremi olarak anılır ve cebirsel sayılar kuramında kullanılır. Teorem, belirli türden sayı cisimlerinin genişlemelerinde ortaya çıkan bazı sayıların, beklenebileceği gibi kesirli değil, tam sayı olduğunu söyler.

Bu teoremin tam ifadesi lise düzeyinin oldukça ötesindedir. Yine de fikrin çekirdeği tanıdıktır: Karmaşık görünen bir yapıda, hesaplanan bir niceliğin her zaman tam sayı çıktığını kanıtlamak. Bir çokgenin iç açılar toplamının 180°’nin tam katı olması gibi, “neden hep tam sayı?” sorusu matematikte çoğu zaman derin bir yapının işaretidir. Arf’ın bu alandaki çalışması, Galois ve grup kuramı yazımızda anlattığımız fikirlerin ileri bir devamı olarak düşünülebilir.

Arf değişmezi: İki elemanlı dünyada bir sayı

Arf’ın 1941’de yayımlanan makalesi, karakteristiği 2 olan cisimler üzerindeki karesel biçimlerin sınıflandırılmasıyla ilgilidir. Kulağa ürkütücü geliyor. Adım adım açalım.

İki elemanlı sayı sistemi

Yalnızca 0 ve 1’den oluşan, toplamanın “2’ye göre kalan” ile yapıldığı bir sistem düşünelim:

• 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0
• 0 × 0 = 0, 0 × 1 = 0, 1 × 1 = 1

Bu sistemde 1 + 1 = 0 olduğu için sisteme “karakteristiği 2” denir. Bilgisayarların bit düzeyindeki hesapları ve Boole’un mantık cebiri bu dünyaya çok yakındır. Burada ilginç bir durum vardır: x yalnızca 0 ya da 1 olabildiğinden x² = x olur.

İki karesel biçim

İki değişkenli şu iki ifadeyi, bu sistemde bütün olası (x, y) değerleri için hesaplayalım.

Birinci biçim: q₁(x, y) = x·y

• (0, 0) → 0
• (1, 0) → 0
• (0, 1) → 0
• (1, 1) → 1

Dört değerin üçü 0, biri 1’dir.

İkinci biçim: q₂(x, y) = x² + x·y + y²

• (0, 0) → 0 + 0 + 0 = 0
• (1, 0) → 1 + 0 + 0 = 1
• (0, 1) → 0 + 0 + 1 = 1
• (1, 1) → 1 + 1 + 1 = 3, yani 2’ye göre kalan 1

Burada dört değerin biri 0, üçü 1’dir.

Neden ayrı bir değişmez gerekiyor?

Olağan sayılarla çalışırken karesel biçimleri ayırt etmek için onlardan türetilen “iki doğrusal” biçime bakmak çoğu zaman yeterlidir. Bu türetilmiş biçim q(u + v) − q(u) − q(v) ile bulunur. Karakteristik 2’de ise şaşırtıcı bir şey olur: Yukarıdaki iki biçimin türetilmiş biçimi aynı çıkar. Çünkü (x + x’)² açıldığında ortaya çıkan 2·x·x’ terimi bu sistemde 0’dır. Kareler adeta iz bırakmadan kaybolur.

Yani q₁ ve q₂’yi bu yolla ayırt edemeyiz. Oysa değer tabloları açıkça farklıdır: Birinde çoğunluk 0, diğerinde çoğunluk 1’dir. Değişken adlarını ne kadar değiştirirsek değiştirelim, bu çoğunluk bilgisi değişmez.

İşte Arf değişmezi, kabaca bu bilgiyi yakalayan ve 0 ya da 1 değerini alan bir sayıdır. Basit örneğimizde q₁’in Arf değişmezi 0, q₂’ninki 1’dir. Arf, iki elemanlı sistemi de kapsayan karakteristik 2 cisimlerinde karesel biçimlerin sınıflandırılmasında bu değişmezin anahtar rol oynadığını gösterdi. Böylece o güne kadar eksik kalan bir sınıflandırmayı tamamladı.

Topolojiye uzanan yol

Arf değişmezi zamanla, Arf’ın çalıştığı alandan çok uzakta da kullanılır oldu. Düğüm kuramında her düğüme 0 ya da 1 değerli bir “Arf değişmezi” atanır. Bu sayı, düğümleri birbirinden ayırt etmeye yardım eden araçlardan biridir. Yüksek boyutlu uzayların sınıflandırılmasıyla ilgilenen topoloji dallarında da önemli bir yer tutar. Bir cebir makalesinden doğan bir kavramın geometriye ve topolojiye bu kadar yayılması, matematiğin birliğinin güzel bir örneğidir.

Arf halkaları: Eğrilerin sivri noktaları

Arf’ın 1940’ların sonunda Londra Matematik Derneği’nin dergisinde yayımlanan bir makalesi, cebirsel eğrilerin tekil noktalarıyla ilgilidir. Tekil nokta, eğrinin düzgün olmadığı, örneğin sivri uç yaptığı ya da kendini kestiği noktadır.

Kendi örneğimizle bakalım. y² = x³ eğrisini düşünelim. x = 1 için y = ±1, x = 4 için y = ±8’dir. Eğri orijinde sivri bir uç yapar. Eğriyi bir t parametresiyle x = t², y = t³ olarak yazabiliriz. Gerçekten de y² = t⁶ ve x³ = t⁶ olur.

Bu eğri üzerindeki polinom ifadelerde t’nin hangi kuvvetleri ortaya çıkabilir? x = t² ve y = t³ ile çarpma yaparak t², t³, t⁴ = x², t⁵ = x·y, t⁶ = x³ gibi kuvvetler elde ederiz. Ama t¹ elde edemeyiz. Ortaya çıkan üsler 0, 2, 3, 4, 5, … dizisidir. Eksik olan tek üs 1’dir. Bu “boşluk”, sivri noktanın cebirsel izidir.

Arf, bir eğri kolu tekil noktada adım adım “açıldığında” her adımda ortaya çıkan katlılık dizisinin cebirsel olarak nasıl belirlenebileceğini gösterdi. Bu çalışmada ortaya koyduğu koşulları sağlayan halkalar, 1971’de Amerikalı matematikçi Joseph Lipman tarafından tanımlanıp “Arf halkaları” olarak adlandırıldı. Arf halkaları ve onlarla ilişkili “Arf yarıgrupları”, bugün de cebir ve cebirsel geometride çalışılan konulardır.

Türkiye’de matematiğe ve bilime katkısı

Arf’ın etkisi yalnızca makaleleriyle sınırlı değildir.

• İstanbul Üniversitesi: 1943’te profesör, 1955’te ordinaryüs profesör oldu ve 1962’ye kadar burada ders verdi. Pek çok matematikçi yetiştirdi.
• Uluslararası deneyim: 1964–1966 yıllarında Princeton’daki İleri Araştırmalar Enstitüsü’nde bulundu, ardından Kaliforniya Üniversitesi Berkeley’de misafir olarak çalıştı.
• ODTÜ: 1967’de Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü’ne katıldı ve 1980’e kadar burada çalıştı. ODTÜ, 2001’den beri onun anısına her yıl “Arf Dersleri” adıyla uluslararası konuşmacıların katıldığı bir etkinlik düzenler.
• TÜBİTAK: Kuruluş yıllarında TÜBİTAK’ta etkin görev aldı ve 1964’te Bilim Kurulu’nun başkanlığını üstlendi. Emekliliğinden sonra Gebze’deki araştırma merkezinde çalışmalarını sürdürdü.
• Türk Matematik Derneği: 1985–1989 yılları arasında derneğin başkanlığını yaptı.

Aldığı ödüller arasında 1948’de İnönü Ödülü ve 1974’te TÜBİTAK Bilim Ödülü bulunur. Onu tanıyanlar, genç matematikçilere zaman ayırmasını ve matematiğe duyduğu içten bağlılığı özellikle anlatır. Cahit Arf 26 Aralık 1997’de İstanbul’da hayatını kaybetti. 2009’dan itibaren tedavüle giren 10 Türk lirası banknotun arka yüzünde onun portresine ve Arf değişmezine ilişkin bir formüle yer verildi.

Neden önemli? Lise matematiğiyle bağ

• Kalan aritmetiği: Yukarıdaki iki elemanlı sistem, lisede gördüğümüz “bir sayının 2’ye bölümünden kalan” fikrinin cebirsel bir yapıya dönüşmüş hâlidir. Tek ve çift sayıların toplama ve çarpma kuralları tam olarak bu tabloyu verir.
• Polinomlar ve eğriler: y² = x³ gibi bir eğriyi çizmek ve parametrelemek, fonksiyonlar ve analitik geometri konularıyla doğrudan ilişkilidir.
• Değişmez fikri: “Bir nesneyi dönüştürdüğümüzde ne değişmeden kalır?” sorusu, üçgenin iç açılar toplamından simetriye kadar okul matematiğinin her yerindedir.

Bu kavramların müfredattaki karşılıklarını görmek isterseniz ne öğretiyoruz sayfamıza göz atabilirsiniz.

Kapanış

Cahit Arf, uluslararası düzeyde özgün sonuçlar üretirken bir yandan da ülkesinde matematiğin ve bilimin kurumlarını güçlendirmeye çalıştı. İki elemanlı bir sistemde dört değeri saymak gibi mütevazı görünen bir fikirden, düğümleri ve eğrileri sınıflandıran araçlara uzanan yol, onun matematiğinin en güzel özetidir.