Galois ve grup kuramı: Beşinci dereceden denklemlerin kök formülü neden yok?

Lisede ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulan formülü öğreniriz: ax² + bx + c = 0 ise x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Katsayıları yerine koyar, dört işlem ve karekök alma ile kökleri buluruz. Üçüncü ve dördüncü dereceden denklemler için de daha uzun ama benzer formüller 16. yüzyılda bulundu. Doğal olarak sıradaki soru şuydu: Beşinci dereceden denklemlerin formülü nedir?

Matematikçiler bu formülü yaklaşık 250 yıl aradı. 19. yüzyılın başında cevap geldi: Böyle genel bir formül yoktur. Daha da önemlisi, genç bir Fransız matematikçi olan Évariste Galois, bir denklemin bu tür bir formülle çözülüp çözülemeyeceğini köklerin simetrisine bakarak anlamanın yolunu gösterdi. Bu yazıda bu fikri basit örneklerle kuracak, Galois’nın kısa ve fırtınalı hayatını da romantik abartılardan ayırarak anlatacağız.

“Kök formülü” tam olarak ne demek?

Önce soruyu netleştirelim. Bir denklemin köklerle çözülebilir olması, köklerinin katsayılardan yalnızca toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma (karekök, küpkök, beşinci dereceden kök…) işlemleriyle elde edilebilmesi demektir.

İkinci dereceden denklemin formülü bunun en tanıdık örneğidir. Bu yöntemin geometrik kökenlerini Hârizmî ve kareyi tamamlama yazımızda, üçüncü dereceden denklemin çözümü etrafındaki çekişmeyi ise Cardano ve Tartaglia yazımızda bulabilirsiniz.

Bir inceliği baştan belirtelim: “Beşinci dereceden denklemler çözülemez” demek doğru değildir. Örneğin x⁵ − 2 = 0 denkleminin bir kökü, 2’nin beşinci dereceden köküdür. Söylenen şudur: Her beşinci dereceden denkleme uyan, katsayılardan kökleri veren genel bir formül yoktur ve bazı özel beşinci dereceden denklemlerin kökleri de böyle yazılamaz.

Ruffini, Abel ve bir kanıt

Bu sonucun kanıtına ilk büyük adımı İtalyan matematikçi Paolo Ruffini attı. 1799’da yayımladığı kitabında dördüncü dereceden büyük genel denklemlerin köklerle çözülemeyeceğini kanıtladığını ileri sürdü. Kanıtı büyük ölçüde doğruydu ama önemli bir boşluk içeriyordu ve dönemin matematikçilerinden beklediği ilgiyi göremedi.

1824’te Norveçli genç matematikçi Niels Henrik Abel, boşluksuz bir kanıtı birkaç sayfalık bir broşür olarak kendi imkânlarıyla bastırdı. Birkaç yıl sonra daha ayrıntılı bir sürümü yayımlandı. Abel 1829’da, 26 yaşında hastalık nedeniyle öldü. Bugün bu sonuç Abel–Ruffini teoremi olarak anılır.

Ama bir soru hâlâ açıktı: Genel formül yoksa, hangi özel denklemler köklerle çözülebilir? Bu sorunun tam cevabını Galois verdi.

Köklerin simetrisi: İkinci dereceden başlayalım

Galois’nın fikrini görmek için basit bir denklemle başlayalım:

x² − 5x + 6 = 0

Kökleri r₁ = 2 ve r₂ = 3’tür. Şimdi köklerle kurulabilecek bazı ifadelere bakalım:

• r₁ + r₂ = 5
• r₁ × r₂ = 6

Bu iki ifadenin ortak özelliği şudur: r₁ ile r₂’nin yerini değiştirsek de değerleri aynı kalır. Bunlara simetrik ifadeler denir ve değerleri doğrudan katsayılardan okunur.

Peki r₁ − r₂? Kökleri yer değiştirirsek işareti değişir: 2 − 3 = −1, ama 3 − 2 = 1. Bu ifade simetrik değildir. Ancak karesi simetriktir:

(r₁ − r₂)² = (r₁ + r₂)² − 4 × r₁ × r₂ = 25 − 24 = 1

Buradan r₁ − r₂ = ±√1 = ±1 buluruz. Karekök almak, yer değiştirme simetrisini “kırmamızı”, iki kökü birbirinden ayırmamızı sağladı. r₁ + r₂ = 5 ve r₁ − r₂ = −1 denklemlerinden r₁ = 2, r₂ = 3 çıkar. Kök formülündeki √(b² − 4ac) tam olarak bu işi yapar.

Galois’nın büyük gözlemi şuydu: Bir denklemi kök alarak çözmek, köklerin simetrisini adım adım kırmak demektir. Her kök alma işlemi, belirli türde bir simetri kırılmasına karşılık gelir.

Grup: Yer değiştirmelerin cebiri

Bir denklemin kökleri arasında yapılabilecek, köklerin sağladığı cebirsel ilişkileri bozmayan yer değiştirmeler bir araya getirildiğinde, matematikçilerin grup dediği bir yapı oluşur. Bu yapıya bugün denklemin Galois grubu diyoruz.

Grup kavramının temel özellikleri sade görünür:

1. İki yer değiştirmeyi art arda yapmak yine bir yer değiştirmedir.
2. Hiçbir şeyi değiştirmeyen “boş” yer değiştirme de gruptadır.
3. Her yer değiştirmenin, onu geri alan bir tersi vardır.

Genel bir denklemde kökler her türlü biçimde yer değiştirebilir. n kök için olası yer değiştirme sayısı n! kadardır:

Derece	Kök sayısı	Yer değiştirme sayısı
2	2	2
3	3	6
4	4	24
5	5	120

Kapak çizimindeki üçgenin köşelerindeki üç kök ve beşgenin köşelerindeki beş kök, bu yer değiştirmeleri canlandırır: Döndürmeler ve yansımalar birer yer değiştirmedir. Ancak genel bir denklemde yalnızca şeklin simetrileri değil, bütün yer değiştirmeler geçerlidir.

Neden beşte takılıyoruz?

Galois’nın ölçütü, kabaca şöyle anlatılabilir: Bir denklem, Galois grubu küçük ve düzenli adımlarla parçalanabiliyorsa köklerle çözülebilir. Buradaki “düzenli adım”, her aşamada kalan simetrinin, işlemlerin sırasının önemli olmadığı (değişmeli) basit bir parça bırakacak biçimde bölünebilmesidir. Bu özelliğe sahip gruplara bugün çözülebilir grup diyoruz.

• 2 kök: 2 elemanlı grup zaten değişmelidir. Tek bir karekök yeter.
• 3 kök: 6 elemanlı grup önce 3 elemanlı bir parçaya, o da tek elemana düzenli biçimde iner. Bu yüzden kübik formülde karekök ve küpkök art arda kullanılır.
• 4 kök: 24 elemanlı grup, 12, 4 ve 2 elemanlı ara aşamalarla düzenli biçimde parçalanabilir. Dördüncü dereceden formül de bu yüzden vardır.
• 5 kök: 120 elemanlı grup önce 60 elemanlı bir parçaya iner. Ama bu 60 elemanlı grubun, düzenli bir adımla bölünebileceği hiçbir ara parçası yoktur ve kendisi değişmeli de değildir. Zincir burada kopar.

Bu yüzden genel beşinci dereceden denklem köklerle çözülemez. Aynı durum daha büyük dereceler için de geçerlidir.

Somut bir örnek

x⁵ − 10x + 5 = 0 denklemini ele alalım.

1. Bu denklem daha küçük dereceli, rasyonel katsayılı çarpanlara ayrılamaz. (Katsayılar 5’e bölünüp sabit terim 25’e bölünmediği için bilinen bir ölçüt bunu garanti eder.)
2. Kaç gerçek kökü var? Değerlere bakalım: x = −2 için −7, x = −1 için 14, x = 1 için −4, x = 2 için 17. İşaret üç kez değişiyor, yani en az üç gerçek kök var. Fonksiyonun yalnızca iki dönüm noktası olduğu için tam olarak üç gerçek kök vardır; kalan iki kök karmaşık sayıdır.
3. Asal dereceli, çarpanlarına ayrılamayan ve tam olarak iki gerçek olmayan kökü bulunan bir denklemin Galois grubunun 120 elemanlı grubun tamamı olduğu kanıtlanmıştır.

Sonuç: Bu denklemin kökleri vardır ve sayısal olarak istenen hassasiyetle hesaplanabilir, ama katsayılardan dört işlem ve kök alma ile yazılamaz.

Galois: Gerçekler ve efsaneler

Évariste Galois 1811’de Paris yakınlarında doğdu ve 1832’de, 20 yaşında öldü. Kısa hayatı, bilim tarihinin en çok dramatize edilen hikâyelerinden biridir. Bu yüzden bilinenle abartılanı ayırmak önemlidir.

Bilinenler:

• Gençliğinde matematiğe tutkuyla bağlandı ve Paris’teki ünlü mühendislik okulu École Polytechnique’e giremedi.
• 1829’dan itibaren denklemlerin çözülebilirliği üzerine çalışmalarını Paris Bilimler Akademisi’ne sundu. Bir çalışması, değerlendirecek kişi olan Fourier’nin 1830’daki ölümünün ardından kayboldu. 1831’de sunduğu bir sürüm hakkında Poisson, anlatımın yeterince açık ve gelişmiş olmadığını, daha eksiksiz bir sunum gerektiğini bildirdi.
• Döneminin cumhuriyetçi siyasi hareketlerine katıldı, iki kez tutuklandı ve bir süre cezaevinde kaldı.
• 30 Mayıs 1832 sabahı bir düelloda yaralandı ve ertesi gün öldü. Düellonun kesin nedeni bilinmiyor; kaynaklarda bir kadınla ilgili bir anlaşmazlıktan söz edilir, siyasi bir tuzak olduğunu öne süren yorumlar da vardır.
• Düellodan önceki gece arkadaşı Auguste Chevalier’ye, çalışmalarını özetleyen ve tanınmış matematikçilere iletilmesini istediği bir mektup yazdı.

Abartılanlar:

• “Galois bütün kuramını ölümünden önceki tek gecede yazdı” anlatısı doğru değildir. Temel fikirleri yıllardır üzerinde çalıştığı ve daha önce akademiye sunduğu metinlerde vardı. O gece mevcut çalışmalarını düzeltip özetledi.
• “Akademi dehayı anlamadı ve reddetti” anlatısı da fazla sadeleştirilmiştir. Kaybolan bir metin ve “daha açık yazın” diyen bir değerlendirme vardır; kasıtlı bir düşmanlık kanıtlanmış değildir.

Galois’nın çalışmaları ölümünden sonra uzun süre bilinmedi. Fransız matematikçi Joseph Liouville, bu metinleri 1846’da yayımladı ve matematik dünyası Galois’nın fikirlerinin önemini ancak o zaman kavramaya başladı.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

Grup kavramı, beşinci dereceden denklemlerin çok ötesine geçti ve matematiğin en temel dillerinden biri oldu.

• Fizik: Simetriler ve korunum yasaları arasındaki derin bağ grup kuramıyla ifade edilir. Bu bağı Emmy Noether yazımızda anlatıyoruz.
• Kimya ve kristaller: Moleküllerin ve kristallerin simetrileri gruplarla sınıflandırılır.
• Şifreleme: Bazı modern şifreleme yöntemleri, belirli gruplarda işlem yapmanın kolay ama geri çözmenin zor olmasına dayanır.
• Bulmacalar: Bir zekâ küpünün hamleleri de bir grup oluşturur; çözüm stratejileri bu yapı üzerinden incelenebilir.
• Lise matematiği: İkinci dereceden denklemler, kökler ile katsayılar arasındaki bağıntılar ve permütasyonlar, bu yazıdaki fikirlerin başlangıç noktalarıdır.

Kapanış

Galois’nın hikâyesi, bir sorunun cevabını ararken sorunun kendisini değiştirmenin hikâyesidir. “Formül nedir?” diye başlayan arayış, “kökler arasındaki simetri nasıl bir yapıdadır?” sorusuna dönüştü. Bu yeni soru hem 250 yıllık bir problemi çözdü hem de bugün fizikten şifrelemeye kadar kullanılan grup kuramını doğurdu. Galois’yı hatırlamak için dramatik bir geceye gerek yok; fikrinin gücü yeterince etkileyicidir.