Fermat'nın Son Teoremi: Bir kenar notundan Wiles'ın ispatına

Bir kitabın kenarına yazılmış birkaç satır, matematiğin en uzun soluklu macerasını başlatabilir mi? 17. yüzyılda Fransız hukukçu ve matematikçi Pierre de Fermat, okuduğu bir sayılar kuramı kitabının kenarına kısa bir not düştü. Nota göre belirli bir denklemin hiçbir pozitif tam sayı çözümü yoktu ve Fermat bunun çok güzel bir kanıtını bulmuştu. Ne var ki kenar boşluğu bu kanıtı yazmaya yetmiyordu.

Kanıt hiç bulunamadı. İddia, 350 yılı aşkın bir süre boyunca en ünlü açık problemlerden biri olarak kaldı. Sonunda 1990’larda İngiliz matematikçi Andrew Wiles, Fermat’nın zamanında var olmayan araçlarla onu kanıtladı. Bu yazıda teoremin ne söylediğini, küçük durumların nasıl ele alındığını ve Wiles’ın ispatına giden yolu adım adım anlatacağız.

Teorem ne söylüyor?

Lisede Pitagoras bağıntısını öğreniriz: Bir dik üçgenin kenarları için x² + y² = z². Bu denklemin pozitif tam sayı çözümleri çoktur:

• 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
• 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²
• 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²

Bu tür üçlülerin sonsuz sayıda olduğu ve nasıl üretileceği antik çağdan beri bilinir. Bu hikâyeyi Pitagoras teoremi yazımızda anlatıyoruz.

Fermat’nın iddiası şudur: n, 2’den büyük bir tam sayı olmak üzere xⁿ + yⁿ = zⁿ denkleminin x, y ve z için pozitif tam sayı çözümü yoktur.

Kareleri küplerle değiştirince ne olduğunu kendimiz deneyelim. Küçük küpler: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.

• 6³ + 8³ = 216 + 512 = 728. 9³ = 729. Aradaki fark yalnızca 1!
• 9³ + 10³ = 729 + 1000 = 1729. 12³ = 1728. Yine fark 1.

Tam eşitliğe bu kadar yaklaşıp hiç ulaşamamak, teoremin ne kadar ince bir iddia olduğunu gösterir. Denemeyle bir çözüm bulamamak da elbette bir ispat değildir: Bir bilgisayar milyarlarca sayıyı denese bile, daha büyük bir sayının çözüm olmayacağını bu yolla kanıtlayamayız.

Kenar notu ve Fermat’nın kitabı

Fermat bu notu yaklaşık 1637 dolaylarında, İskenderiyeli Diofantos’un Aritmetika adlı eserinin Latince baskısındaki kendi nüshasının kenarına yazdı. Not, Fermat’nın ölümünden sonra oğlunun 1670’te yayımladığı, babasının kenar notlarını içeren baskı sayesinde bilindi. Diofantos’un tam sayı ve rasyonel sayı çözümleri arayan problemlerini Diofantos ve Aritmetika yazımızda bulabilirsiniz.

Fermat’nın gerçekten genel bir kanıtı olup olmadığını bilmiyoruz. Bugün matematikçilerin çoğu, onun sonradan hatalı olduğu anlaşılacak bir fikre sahip olduğunu ya da yalnızca belirli durumlar için bir kanıtı olduğunu düşünür. Bu bir tahmindir. Kesin olan, Fermat’nın n = 4 durumu için geçerli bir akıl yürütme bıraktığıdır.

Adım adım: n = 4 neden kolaylaştırır?

Fermat’nın n = 4 için kullandığı yöntemin adı sonsuz iniştir. Fikri basittir:

1. Bir çözüm olduğunu varsay.
2. Bu çözümden, daha küçük pozitif tam sayılardan oluşan başka bir çözüm üret.
3. Bu işlem sonsuza kadar tekrarlanabilir. Ama pozitif tam sayılar sonsuza kadar küçülemez; 1’in altına inemezler.
4. O hâlde baştaki varsayım yanlıştır.

Aynı fikrin çok daha basit bir örneğini lisede √2’nin irrasyonel olduğunu kanıtlarken görürüz. √2 = a/b olsaydı, a ve b’nin ikisinin de çift olduğu, yani a/2 ve b/2 ile daha küçük bir gösterim bulunabileceği çıkar. Bu da sonsuza kadar sürer.

Ayrıca şu gözlem işimizi büyük ölçüde kolaylaştırır: Eğer x⁴ + y⁴ = z⁴ imkânsızsa, 8, 12, 16 gibi 4’ün katı olan her üs için de denklem imkânsızdır. Örneğin x⁸ + y⁸ = z⁸ bir çözüm verseydi, (x²)⁴ + (y²)⁴ = (z²)⁴ olurdu ve n = 4 için bir çözüm elde ederdik. Aynı mantıkla, teoremi kanıtlamak için yalnızca n = 4 ve n’nin tek asal sayı olduğu durumları kanıtlamak yeterlidir.

Asal üsler, tek tek

Sonraki iki yüzyılda matematikçiler asal üsleri birer birer ele aldı:

• n = 3: Leonhard Euler 18. yüzyılda bir kanıt verdi. Kanıtın bir boşluğu vardı, ama sonradan tamamlandı.
• n = 5: 1825 dolaylarında Peter Gustav Lejeune Dirichlet ve Adrien-Marie Legendre kanıtladı.
• n = 7: 1839’da Gabriel Lamé kanıtladı.

Bu durumların her biri kendine özgü uzun hesaplar gerektiriyordu. Sonsuz sayıda asal olduğu için bu yolla teoremin tamamına ulaşmak mümkün değildi.

19. yüzyılın ortasında Ernst Kummer daha genel bir yaklaşım geliştirdi. Sayı kavramını genişleten yeni cebirsel yapılar kullanarak, “düzenli asal” adını verdiği geniş bir asal sayı sınıfı için teoremi bir seferde kanıtladı. Ama her asal düzenli değildir. 37, düzenli olmayan asalların en küçüğüdür. Kummer’in çalışmaları teoremi çözmedi, ama cebirsel sayılar kuramını başlattı. Fermat’nın problemi böylece çözülmeden bile matematiğe yeni alanlar kazandırdı.

20. yüzyıl: Beklenmedik bir köprü

Çözüm, teoremle ilk bakışta hiç ilgisi yokmuş gibi görünen iki alanın birleşmesinden geldi.

Eliptik eğriler: y² = x³ + ax + b gibi denklemlerle tanımlanan eğrilerdir. Adları elipsle karıştırılmasın, biçimleri elipse benzemez. Kendi örneğimiz y² = x³ − x eğrisinde (0, 0), (1, 0) ve (−1, 0) noktaları vardır. Bu eğrilerin tam sayı ve rasyonel noktaları sayılar kuramının merkezî konularındandır.

Modüler formlar: Son derece simetrik özelliklere sahip, karmaşık sayılar üzerinde tanımlı fonksiyonlardır.

1950’lerde Japon matematikçiler Yutaka Taniyama ve Goro Shimura’nın çalışmalarından doğan ve sonradan başka matematikçilerce geliştirilen bir sanı, rasyonel katsayılı her eliptik eğrinin bir modüler formla eşleştirilebileceğini öne sürüyordu. Bu sanı uzun süre kanıtlanamadı.

Bağlantı 1980’lerin ortasında kuruldu:

1. Gerhard Frey, Fermat denkleminin bir çözümü olsaydı, bu çözümden çok tuhaf özelliklere sahip bir eliptik eğri kurulabileceğini öne sürdü.
2. Kenneth Ribet 1986’da, böyle bir eğrinin modüler olamayacağını kanıtladı.
3. O hâlde, Taniyama–Shimura sanısı (en azından ilgili eğri türü için) doğruysa, Frey’in eğrisi var olamaz. Fermat denkleminin de çözümü olamaz.

Artık Fermat’nın Son Teoremi’ni kanıtlamak, modülerlik sanısının belirli bir eğri sınıfı için kanıtlanmasına indirgenmişti.

Wiles’ın ispatı: Duyuru, boşluk ve düzeltme

Andrew Wiles, Ribet’in sonucunu duyduktan sonra bu sanının gerekli bölümünü kanıtlamaya karar verdi ve yıllarca büyük ölçüde tek başına çalıştı.

• Haziran 1993: Cambridge’deki Isaac Newton Enstitüsü’nde verdiği bir dizi konuşmanın sonunda, ispatının Fermat’nın Son Teoremi’ni de sonuç olarak verdiğini açıkladı. Haber matematik dünyasının dışında da büyük ilgi gördü.
• 1993’ün ikinci yarısı: İspat hakem incelemesindeyken önemli bir argümanda ciddi bir boşluk bulundu.
• 1994: Wiles, eski öğrencisi Richard Taylor ile birlikte boşluğu kapatmaya çalıştı. Eylül 1994’te daha önce bir kenara bıraktığı bir yaklaşımı yeniden ele alarak sorunu çözdü.
• 1995: İspat, Annals of Mathematics dergisinde iki makale olarak yayımlandı: biri Wiles’ın, diğeri Taylor ile ortak.

Wiles’ın ispatı yarı kararlı eliptik eğriler denen geniş bir sınıf için modülerliği kanıtlıyordu. Bu, Fermat’nın Son Teoremi için yeterliydi. Sanının tamamı birkaç yıl sonra başka matematikçilerin çalışmalarıyla kanıtlandı. Wiles, 2016’da bu ispat için Abel Ödülü’ne layık görüldü.

Wiles’ın hikâyesi, ispatların nasıl denetlendiğini de gösterir. İlk duyuru ne kadar heyecan verici olursa olsun, bir ispat ancak başka uzmanlar her adımını kontrol ettikten sonra kabul görür. Bu sürecin neden gerekli olduğunu ispat nedir yazımızda tartışıyoruz.

Neden önemli?

Fermat denkleminin kendisinin doğrudan bir uygulaması yok denebilir. Önemi, çözmek için geliştirilen fikirlerden gelir:

• Cebirsel sayılar kuramı: Kummer’in çalışmaları, bugün şifreleme gibi alanlarda kullanılan yapıların temelini attı.
• Eliptik eğriler: İnternetteki güvenli bağlantıların önemli bir kısmında eliptik eğri şifrelemesi kullanılır. Bu kullanım Fermat teoreminden bağımsızdır, ama aynı matematiğin başka bir yüzüdür.
• Matematiğin birliği: Wiles’ın ispatı, sayılar kuramı ile karmaşık analiz ve geometri arasındaki derin bağlantıların gücünü gösterdi.
• Lise matematiği: Üslü sayılar, Pitagoras bağıntısı, olmayana ergi ve tümevarıma yakın düşünme biçimleri bu hikâyenin her aşamasında karşımıza çıkar.

Kapanış

Fermat’nın kenar notu, belki de matematik tarihinin en verimli “kanıtsız iddiası” oldu. Denklemin kendisi bir lise öğrencisinin anlayabileceği kadar sadeyken, ispatı 20. yüzyıl matematiğinin en ileri araçlarını gerektirdi. Kenar boşluğu dar geldiyse, 350 yılda doldurulan sayfalar bu boşluğu fazlasıyla telafi etti.