Diofantos ve Aritmetika: Cebirde sözcüklerden sembollere ilk adım

“Toplamları 30, kareleri farkı 120 olan iki sayıyı bulun.” Bu soruyu bugün çözerken hemen x ve y yazar, iki denklem kurarız. Ama harflerle ve işaretlerle yazılan cebir aslında oldukça yeni bir buluştur. Yüzyıllar boyunca denklemler uzun cümlelerle anlatıldı. Bu yolculuğun ilk önemli duraklarından biri, yaklaşık 1700 yıl önce İskenderiye’de yazılan Aritmetika adlı eserdir. Yazarı Diofantos, bilinmeyen sayı ve onun kuvvetleri için kısaltmalar kullanarak cebiri sözcüklerden sembollere doğru ilerleten ilk kişilerden biridir.

Bu yazıda Diofantos hakkında bildiklerimizi ve bilmediklerimizi, Aritmetika’nın yüzyıllar içindeki serüvenini ve gösteriminin nasıl çalıştığını ele alacağız. Sonra bir problemi onun tarzında, tek bir bilinmeyenle adım adım çözeceğiz.

İskenderiyeli bir bilinmeyen

Diofantos’un hayatı hakkında neredeyse hiçbir şey bilmiyoruz. İskenderiye’de yaşadığı kabul edilir. Ne zaman yaşadığı bile kesin değildir: Önerilen tarihler MÖ 2. yüzyıl ile MS 4. yüzyıl arasına yayılır. Çoğu tarihçi MS 250 dolaylarını en olası dönem olarak görür.

Hayatı hakkında sık anlatılan bir bilgi, çok sonraki bir derlemede yer alan bir bilmeceden gelir. Bilmece, Diofantos’un ömrünün evreleri üzerine kurulmuş bir denklem problemidir. Ancak bunun gerçek hayatını yansıttığına dair bir kanıt yoktur; tamamen kurgusal olabilir. Bu yüzden bilmeceyi bir biyografi değil, eğlenceli bir alıştırma olarak görmek gerekir.

Aritmetika’nın serüveni

Aritmetika aslında 13 kitaptan oluşuyordu. Bunların yalnızca 6’sı Grekçe olarak günümüze ulaştı. Uzun süre geri kalanların tamamen kaybolduğu düşünüldü. 1968’de İran’ın Meşhed kentindeki bir kütüphanede, dört kitabın Arapça çevirisini içeren bir yazma fark edildi. Çevirinin 9. yüzyılda yaşamış Kusta bin Luka’ya ait olduğu düşünülür. Bu dört kitabın asıl eserdeki yeri üzerine yapılan incelemeler, Grekçe kitapların numaralandırılmasının da yeniden düşünülmesine yol açtı. Kalan üç kitap hâlâ kayıptır.

Eser, belirli koşulları sağlayan sayıları bulmaya yönelik problemlerden oluşur. Diofantos genellikle genel bir kural yazmaz; bunun yerine belirli sayılarla bir problem kurar ve çözüm yolunu öyle bir anlatır ki okuyucu yöntemi başka sayılara uygulayabilir.

Onun için bir çözüm, pozitif rasyonel bir sayıydı. Negatif bir sonuç veren denklemleri anlamsız sayardı. Örneğin 3x + 15 = 6 gibi bir denklem bugün x = −3 çözümünü verir; ama Diofantos’un bakışıyla böyle bir denklem anlamsız sayılırdı. Negatif sayıların başka bir gelenekte nasıl kabul gördüğünü Dokuz Bölüm yazımızda anlatıyoruz.

Sözel, kısaltmalı, sembolik

Cebirin gösterim tarihinde sık kullanılan bir ayrım vardır:

1. Sözel cebir: Her şey cümlelerle yazılır. “Bir sayı ve onun üç katı yirmi eder” gibi.
2. Kısaltmalı cebir: Sık geçen kavramlar için kısaltmalar kullanılır, ama işlemler hâlâ büyük ölçüde sözcüklerle ya da bitişik yazımla gösterilir.
3. Sembolik cebir: Bugün kullandığımız, bilinmeyenlerin, işlemlerin ve eşitliğin tamamen işaretlerle yazıldığı gösterim.

Diofantos’un gösterimi ikinci aşamanın bilinen en eski örneklerinden biridir. Kullandığı başlıca kısaltmalar şöyleydi:

• Bilinmeyen sayı için, Grek harflerinden türetilmiş kısa bir işaret.
• Bilinmeyenin karesi için, “güç” anlamına gelen dynamis sözcüğünün ilk iki harfi: ΔΥ.
• Küpü için, “küp” anlamındaki kubos sözcüğünün ilk iki harfi: ΚΥ.
• Daha yüksek kuvvetler için bu kısaltmaların birleşimleri; örneğin dördüncü kuvvet için “karenin karesi” anlamında bir birleşim.
• Sabit sayılar için ayrı bir işaret ve çıkarma için özel bir işaret.

Toplama için ayrı bir işaret yoktu; terimler yan yana yazılarak toplanırdı. Çıkarılacak terimlerin hepsi çıkarma işaretinden sonra bir araya toplanırdı. Katsayılar da Grek alfabesindeki harflerin sayı değerleriyle yazılırdı. Yani bugün 2x³ + 5x² − 3x yazdığımız bir ifade, onun gösteriminde kabaca “küp 2, kare 5, eksi bilinmeyen 3” düzeninde, harflerle yazılırdı.

Bu gösterimin bir sınırı vardı: Tek bir bilinmeyen için işaret bulunuyordu. İkinci bir bilinmeyen gerektiğinde Diofantos onu sözcüklerle anlatmak ya da problemi tek bilinmeyene indirmek zorundaydı. Bu kısıt, ustaca hilelere yol açtı.

Bir problemi Diofantos gibi çözmek

Girişteki soruya dönelim: Toplamları 30, kareleri farkı 120 olan iki sayıyı bulalım. Bugün x + y = 30 ve x² − y² = 120 diye iki bilinmeyenle yazardık. Diofantos’un tarzında ise tek bir bilinmeyenle ilerleyelim.

1. İki sayının toplamı 30 olduğuna göre, ortalamaları 15’tir. Sayılardan biri 15’ten ne kadar büyükse, diğeri o kadar küçüktür. Bu farka “bilinmeyen” diyelim ve x ile gösterelim. Sayılar 15 + x ve 15 − x olur. Toplam koşulu kendiliğinden sağlandı.
2. Kareleri farkını yazalım: (15 + x)² − (15 − x)².
3. Açalım: (225 + 30x + x²) − (225 − 30x + x²) = 60x.
4. Koşul: 60x = 120, buradan x = 2.
5. Sayılar: 15 + 2 = 17 ve 15 − 2 = 13.

Kontrol: 17 + 13 = 30 ve 289 − 169 = 120.

Tek bilinmeyen seçimi, problemin bir koşulunu baştan otomatik olarak sağladı ve kareli terimler birbirini götürdü. Bu tür akıllıca bilinmeyen seçimleri, Aritmetika’nın en öğretici yanlarından biridir.

Sonsuz çözümlü denklemler

Aritmetika’daki problemlerin önemli bir kısmının birden fazla, hatta sonsuz sayıda çözümü vardır. Böyle denklemlere belirsiz denklemler denir. Örneğin x² + y² = 1 denklemini sağlayan rasyonel (x, y) çiftlerini düşünelim. Bunları bulmanın modern bir yolu şudur: Daire üzerindeki (−1, 0) noktasından eğimi t olan bir doğru çizelim. Doğru daireyi ikinci bir noktada keser ve t rasyonelse bu nokta da rasyonel koordinatlı olur:

x = (1 − t²) ÷ (1 + t²), y = 2t ÷ (1 + t²)

• t = 1/2 için: x = (3/4) ÷ (5/4) = 3/5, y = 1 ÷ (5/4) = 4/5. Paydaları temizlersek 3² + 4² = 5².
• t = 2/3 için: x = 5/13, y = 12/13. Yani 5² + 12² = 13².
• t = 1/4 için: x = 15/17, y = 8/17. Yani 8² + 15² = 17².

Bu yöntem, bir bilinen çözümden yola çıkarak yenilerini üretme fikrine dayanır. Bu fikir, Diofantos’un yaklaşımlarıyla akrabadır. Paydaları temizleyerek her adımda tam sayı kenarlı yeni bir dik üçgen de elde ederiz.

Fermat’nın kenar notu

Aritmetika’nın 1621’de yayımlanan Grekçe-Latince baskısı, 17. yüzyılda Pierre de Fermat’nın elinden düşmedi. Fermat, bir kareyi iki karenin toplamı olarak yazmayı soran problemin yanına bir not düştü: Bir küpü iki küpün, ya da genel olarak ikiden büyük bir kuvveti aynı kuvvetten iki sayının toplamına ayırmanın imkânsız olduğunu, bunun için harika bir ispat bulduğunu ama kenar boşluğunun buna yetmediğini yazdı.

Bugün Fermat’nın son teoremi olarak bilinen bu iddia, 350 yılı aşkın bir süre ispatlanamadı ve ancak 1990’larda Andrew Wiles tarafından ispatlandı. Bu uzun hikâye Fermat’nın son teoremi yazımızda.

Neden önemli?

• Diofant denklemleri: Bugün tam sayı ya da rasyonel çözümleri aranan polinom denklemlere Diofantos’un adıyla Diofant denklemleri denir. 3x + 5y = 22 gibi bir denklemin tam sayı çözümlerini aramak bunun basit bir örneğidir: x = 4, y = 2 bir çözümdür.
• Hesaplanabilirlik: 1900’de Hilbert, herhangi bir Diofant denkleminin tam sayı çözümü olup olmadığına karar verecek genel bir yöntem bulunmasını istedi. 1970’te böyle genel bir yöntemin var olamayacağı gösterildi. Bu sorunun yer aldığı listeyi Hilbert’in 23 problemi yazımızda anlatıyoruz.
• Gösterimin gücü: İyi bir gösterim düşünmeyi hızlandırır. Diofantos’un kısaltmaları, cebirin bugünkü sembolik diline uzanan uzun yolun erken bir adımıydı. Aynı dönüşümün başka bir yüzünü, cebiri geometrik gerekçelerle kuran Hârizmî yazımızda görebilirsiniz.
• Lise matematiği: Problemi denkleme dönüştürmek, bilinmeyeni akıllıca seçmek ve çözümü koşullarla kontrol etmek, sınavlardaki denklem kurma sorularının özüdür.

Kapanış

Diofantos’un hayatını neredeyse hiç bilmiyoruz; ama düşünme biçimini Aritmetika’nın sayfalarında izleyebiliyoruz. Bir bilinmeyene kısa bir ad vermek küçük bir adım gibi görünebilir. Oysa bu adım, uzun cümlelerle boğuşmak yerine ilişkinin kendisine odaklanmayı mümkün kıldı. Bugün x yazıp bir denklem kurduğumuzda, o eski kısaltmaların uzak mirasını kullanıyoruz.