Hârizmî ve cebirin doğuşu: Kareyi tamamlamak

Lisede ikinci dereceden denklemleri çözerken “kareyi tamamlama” adında bir yöntem öğrenirsiniz. Adı biraz tuhaftır: Bir denklemde tamamlanacak kare nerededir? Bu sorunun cevabı, yaklaşık 1200 yıl önce Bağdat’ta yazılmış bir kitapta, gerçekten çizilmiş karelerde yatıyor.

Muhammed bin Musa el-Hârizmî, denklemleri sembollerle değil sözcüklerle yazdı ve çözüm kurallarını geometrik şekillerle gerekçelendirdi. Ünlü örneği “bir kare ve on kök otuz dokuza eşittir”, yani bugünkü gösterimle x² + 10x = 39 idi. Bu yazıda bu denklemi Hârizmî’nin yaptığı gibi bir kare ve dikdörtgenlerle çözecek, yöntemin bugünkü formüle nasıl dönüştüğünü göreceğiz.

Bağdat, Beytü’l-Hikme ve bir ders kitabı

Hârizmî’nin yaklaşık 780 ile 850 arasında yaşadığı kabul edilir. Abbasi halifesi Me’mûn döneminde Bağdat’ta, Beytü’l-Hikme (Bilgelik Evi) olarak bilinen bilim ve çeviri merkezinde çalıştı. Astronomi, coğrafya ve aritmetik üzerine de eserler yazdı.

Cebir kitabının adı genellikle el-Kitâbü’l-muhtasar fî hisâbi’l-cebr ve’l-mukâbele olarak verilir ve yaklaşık 825 dolaylarında yazıldığı düşünülür. Kitap, miras paylaşımı, ölçme ve ticaret gibi günlük hesap sorunlarını çözmek için yazılmış pratik bir eserdir. “Cebir” kelimesi bu kitabın adındaki “el-cebr”den gelir.

Adındaki iki işlem şunlardır:

• el-cebr (tamamlama, yerine koyma): Bir taraftaki çıkarılan terimi öbür tarafa ekleyerek denklemi eksi terimlerden kurtarmak. Örneğin x² = 40x − 4x² ifadesini 5x² = 40x hâline getirmek.
• el-mukâbele (dengeleme, karşılaştırma): İki taraftaki benzer terimleri sadeleştirmek. Örneğin 50 + x² = 29 + 10x ifadesini 21 + x² = 10x hâline getirmek.

Hârizmî’nin kitabında x, ², + ya da = gibi semboller yoktur. Bütün matematik sözcüklerle anlatılır: Bilinmeyene “şey” ya da “kök”, onun karesine “mal” denir. Aşağıda kullandığımız semboller bugünkü okurun işini kolaylaştırmak içindir.

Altı denklem türü

O dönemde negatif sayılar ve sıfır katsayı olarak kullanılmıyordu. Bu yüzden bugün tek bir ax² + bx + c = 0 biçiminde yazdığımız denklemleri Hârizmî, bütün katsayılar pozitif kalacak şekilde altı türe ayırdı:

1. Kareler köklere eşit: ax² = bx
2. Kareler sayıya eşit: ax² = c
3. Kökler sayıya eşit: bx = c
4. Kareler ve kökler sayıya eşit: ax² + bx = c
5. Kareler ve sayı köklere eşit: ax² + c = bx
6. Kökler ve sayı karelere eşit: bx + c = ax²

Her tür için bir çözüm kuralı verdi, sonra bu kuralların neden doğru olduğunu şekillerle gösterdi. Yalnızca pozitif çözümlerle ilgilendi. Beşinci türde iki pozitif çözüm olabileceğini, bazen hiç olmayabileceğini de not etti.

Kural: Yarıla, karesini al, ekle

Dördüncü türden örneği ele alalım: x² + 10x = 39. Hârizmî’nin sözle verdiği kural, bugünkü dille şöyledir:

1. Köklerin sayısını yarıla: 10 ÷ 2 = 5
2. Bunu kendisiyle çarp: 5 × 5 = 25
3. Bunu 39’a ekle: 39 + 25 = 64
4. Karekökünü al: √64 = 8
5. Köklerin yarısını çıkar: 8 − 5 = 3

Cevap: x = 3. Kontrol edelim: 3² + 10 × 3 = 9 + 30 = 39. Doğru.

Ama bu adımlar neden işe yarıyor? Hârizmî’yi bir hesap kuralcısından daha fazlası yapan şey, bu soruya verdiği cevaptır.

Şekil: Kareyi gerçekten tamamlamak

Hârizmî bu denklem için iki ayrı geometrik gerekçe verir. Birincisini adım adım kuralım.

1. Kenarı x olan bir kare çiz. Alanı x²’dir.
2. 10x terimini dört eşit parçaya böl. Her biri (10 ÷ 4) × x = 2,5x olur.
3. Karenin dört kenarının her birine, bir kenarı x, diğer kenarı 2,5 olan bir dikdörtgen yapıştır. Her dikdörtgenin alanı 2,5x’tir; dördü birlikte 10x eder.
4. Şimdi elinde artı işaretine benzeyen bir şekil var. Bu şeklin alanı x² + 10x, yani denkleme göre 39’dur.
5. Şeklin dört köşesinde boşluk kalmıştır. Her boşluk kenarı 2,5 olan bir karedir. Bu dört küçük karenin toplam alanı 4 × 2,5 × 2,5 = 25’tir.
6. Bu köşeleri doldurunca büyük bir kare elde edersin. Alanı 39 + 25 = 64’tür.
7. Alanı 64 olan karenin kenarı 8’dir.
8. Büyük karenin kenarı, x’in iki yanına eklenen 2,5’lerden oluşur: x + 2,5 + 2,5 = 8. Buradan x = 3.

İkinci gerekçede aynı fikir daha sade bir şekille kurulur: Karenin yalnızca iki komşu kenarına, kenarları x ve 5 olan birer dikdörtgen eklenir. Eksik kalan tek köşe 5 × 5 = 25 alanlı bir karedir. Onu ekleyince kenarı x + 5 olan ve alanı 64 olan kare oluşur; x + 5 = 8, yani x = 3.

“Kareyi tamamlama” adının büyük olasılıkla bu şekillerden geldiği düşünülür: Eksik köşe gerçekten eklenir ve bir kare tamamlanır.

Burada modelin bir sınırını da görmek gerekir. Geometrik çizimde kenar uzunluğu negatif olamaz. Bu yüzden x² + 10x = 39 denkleminin diğer çözümü olan x = −13, Hârizmî’nin yönteminde görünmez. Negatif çözümler ancak sayı kavramı genişledikçe kabul gördü.

Kendiniz deneyin

Aynı yöntemi x² + 6x = 16 denklemine uygulayalım.

• Kural: Köklerin sayısının yarısı 3’tür. Karesi 9’dur. 16 + 9 = 25. Karekökü 5’tir. 5 − 3 = 2. Demek ki x = 2.
• Şekil: Kenarı x olan karenin iki komşu kenarına, kenarları x ve 3 olan birer dikdörtgen ekleyin. Şeklin alanı x² + 6x = 16’dır. Eksik köşe 3 × 3 = 9 alanlı bir karedir. Onu da ekleyince alanı 25 olan, kenarı x + 3 olan bir kare elde edersiniz. x + 3 = 5, yani x = 2.
• Kontrol: 2² + 6 × 2 = 4 + 12 = 16.

Bugünkü formüle giden yol

İkinci şeklin cebirsel karşılığı, okulda öğrendiğimiz işlemdir:

x² + 10x = 39 x² + 10x + 25 = 39 + 25 (x + 5)² = 64 x + 5 = ±8 x = 3 ya da x = −13

Aynı adımları genel denklem x² + bx = c için yaparsak (b ÷ 2)² eklenir ve x = −b/2 ± √((b/2)² + c) elde edilir. İkinci dereceden denklemin çözüm formülü, Hârizmî’nin şeklinin sembollerle yazılmış hâlidir.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• İkinci dereceden denklemler: Kareyi tamamlama, diskriminant formülünün neden öyle olduğunu anlamanın en doğal yoludur. Parabolün tepe noktasını bulurken de aynı işlemi yaparız.
• Özdeşlikler: (a + b)² = a² + 2ab + b² özdeşliği, ikinci şekilde bir kare, iki dikdörtgen ve bir küçük kare olarak doğrudan görülür.
• Algoritma kavramı: Hârizmî’nin Hint rakamlarıyla hesap üzerine yazdığı eser Latinceye “Algoritmi de numero Indorum” başlığıyla aktarıldı. “Algoritma” kelimesi onun adının bu Latince biçiminden türedi. Adım adım verilen çözüm kuralı, bugünkü algoritma fikrinin güzel bir örneğidir.

Hârizmî’nin Hint rakamlarını ve sıfırı Batı’ya taşıyan zincirdeki yerini sıfırın yolculuğu yazımızda anlatıyoruz. YKS’de denklemler ve fonksiyonlar konularının yerini görmek için ne öğretiyoruz sayfamıza bakabilirsiniz.

Kapanış

Hârizmî’nin kitabı, cebiri gizemli bir sembol oyunu olarak değil, gerekçelendirilebilen bir hesap yöntemi olarak sundu. Bir denklemin arkasında alanları olan kareler ve dikdörtgenler görmek, formülü ezberlemekten çok daha kalıcı bir anlayış sağlar. Bir dahaki sefere kareyi tamamlarken, köşesi eksik kalmış o küçük kareyi gözünüzün önüne getirin.