Sıfırın yolculuğu: Brahmagupta'dan Hârizmî'ye, oradan Fibonacci'ye

Hiçbir şeyi göstermek için bir işarete neden ihtiyaç duyulsun? Bu soru ilk bakışta felsefi görünür ama çok pratik bir karşılığı vardır: 205 ile 25’i birbirinden ayıran şey, ortadaki o küçük halkadır. Sıfır olmadan bugünkü basamak değerli sayı yazımımız çalışmaz.

Sıfırın tarihi tek bir kişinin buluşu değil, yüzyıllara ve kıtalara yayılan bir yolculuktur. Önce Mezopotamya’da boş basamağı gösteren bir işaret olarak ortaya çıktı. Hindistan’da hesaplanabilen bir sayıya dönüştü; 628’de Brahmagupta onunla işlem kurallarını yazdı. Bağdat’ta çevrilip Hârizmî’nin eserleriyle yayıldı. 1202’de Pisalı Leonardo, yani Fibonacci, bu rakamları Avrupalı tüccarlara tanıttı. Bu yazıda bu yolculuğu duraklarıyla izleyeceğiz.

Boş basamak sorunu

Basamak değerli bir sistemde bir rakamın değeri, bulunduğu yere bağlıdır. 3’ün 305’teki değeri üç yüz, 35’teki değeri otuzdur. Bu çok verimli bir fikirdir: On rakamla her sayıyı yazabilirsiniz. Ama bir sorun doğurur: Bir basamakta hiçbir şey yoksa bunu nasıl gösterirsiniz?

Babilliler MÖ 2. binyılda 60 tabanlı, basamak değerli bir sistem kullanıyordu. Ancak uzun süre boş basamağı gösteren bir işaretleri yoktu; boşluk bırakmak ya da bağlama güvenmek zorundaydılar. MÖ 400 dolaylarında boş yerleri göstermek için özel bir işaret kullanmaya başladılar. Bu işaret bir “yer tutucu”ydu; ama tek başına bir sayı olarak toplanıp çıkarılmıyordu.

Sorunu bir örnekle görelim. Babil yazımında yan yana iki “1” işareti düşünün. Aralarında boş bir basamak olup olmadığı belli değilse bu yazım 1 × 60 + 1 = 61 anlamına da gelebilir, 1 × 3600 + 0 × 60 + 1 = 3601 anlamına da. Yer tutucu işaret bu belirsizliği ortadan kaldırır.

Onluk tabanda da durum aynıdır: 2025 = 2 × 1000 + 0 × 100 + 2 × 10 + 5. Yüzler basamağındaki 0 olmasaydı sayı 225’ten ayırt edilemezdi. Roma rakamlarında ise basamak değeri yoktur; aynı sayı MMXXV diye yazılır ve boş basamak sorunu hiç doğmaz. Buna karşılık Roma rakamlarıyla alt alta toplama ya da çarpma yapmak çok daha zordur.

Burada iki farklı sıfır fikrini ayırmak gerekir:

• Yer tutucu sıfır: “Bu basamak boş” demek.
• Sayı olarak sıfır: Kendisiyle işlem yapılabilen, 5 − 5’in sonucu olan bir büyüklük.

Sıfırın asıl yolculuğu, birinci anlamdan ikinciye geçiştir.

Hindistan: Sıfır bir sayı oluyor

Hint matematikçileri onluk tabanda basamak değerli bir yazım geliştirdi. Yaklaşık 500 yılında Aryabhata basamak değeri kullanan bir sistem tarif etti, ama sıfır için bir rakam kullanmadı.

628’de Brahmagupta, Brahmasphutasiddhanta adlı astronomi ve matematik eserinde sıfırı ve negatif sayıları işlemlerle birlikte ele aldı. Pozitif sayıları “servet”, negatif sayıları “borç” olarak düşündü. Kurallarından bazıları bugünkü gösterimle şöyledir:

Kural	Bugünkü gösterim
Bir sayıya sıfır eklemek sayıyı değiştirmez	a + 0 = a
Bir sayıdan sıfır çıkarmak sayıyı değiştirmez	a − 0 = a
Bir sayıyı sıfırla çarpmak sıfır verir	a × 0 = 0
Borçtan sıfır çıkarmak borç verir	(−a) − 0 = −a
Sıfırdan borç çıkarmak servet verir	0 − (−a) = a

Brahmagupta sıfıra bölmeyi de tanımlamaya çalıştı ve 0 ÷ 0’ın sıfır olduğunu söyledi. Bugün bunun doğru olmadığını biliyoruz. Bu bir başarısızlık değil, sınırda yapılmış cesur bir denemedir. Neden tanımsız olduğuna bakalım:

• 6 ÷ 0 = k olsaydı, k × 0 = 6 olmalıydı. Ama her sayının sıfırla çarpımı 0’dır. Böyle bir k yoktur.
• 0 ÷ 0 = k olsaydı, k × 0 = 0 olmalıydı. Bu her k için doğrudur. Tek bir cevap seçmenin tutarlı bir yolu yoktur.

Sıfırın rakam olarak yazıldığı en eski kesin tarihli örneklerden biri, 876 tarihli Gwalior yazıtıdır. Bu taş yazıtta 270 ve 50 sayıları, sıfırı içeren tanıdık bir yazımla görülür.

Bağdat: Çeviriler ve Hârizmî

Hint astronomisi ve hesap yöntemleri 8. yüzyılda Abbasi başkenti Bağdat’a ulaştı. Aktarılana göre 772–773 yıllarında Kanka adlı bir Hint bilgini, Halife Mansur’un sarayına bir astronomi eseri getirdi. Halife bu eserin Arapçaya çevrilmesini istedi ve çeviri el-Fezârî’nin katkısıyla yapıldı. Çevrilen eserin Brahmagupta’nın kitabı olduğu düşünülür; bu tanımlama tarihçilerin çıkarımına dayanır.

9. yüzyılda Hârizmî, Hint rakamlarıyla hesap yapmayı anlatan bir eser yazdı. Bu eserin Latince çevirisi “Algoritmi de numero Indorum” başlığıyla bilinir. Bu eser, sıfırı içeren onluk basamak sisteminin İslam dünyasından Avrupa’ya geçişinde önemli bir halka oldu. Hârizmî’nin denklem çözme yöntemini kareyi tamamlama yazımızda anlatıyoruz.

Bugün “Arap rakamları” dediğimiz sistemin daha doğru adı bu yüzden “Hint-Arap rakamları”dır: Hindistan’da gelişti, Arapça eserlerle yayıldı.

Fibonacci ve tüccarların hesabı

Pisalı Leonardo, yaklaşık 1170 ile 1250 arasında yaşadı. Babası, Pisalı tüccarları temsil etmek üzere Kuzey Afrika’daki Bugia’da (bugünkü Cezayir’de Béjaïa) görevliydi. Leonardo matematik eğitimini burada aldı, sonra Akdeniz’in çeşitli yerlerine yolculuk ederek farklı hesap yöntemlerini tanıdı.

1202’de Liber Abaci (Hesap Kitabı) adlı eserini tamamladı; 1228’de gözden geçirilmiş ikinci bir baskı hazırladı. Kitabın ilk bölümü, Hint rakamlarının dokuz işaretini ve Arapça “zefirum” denen 0 işaretini tanıtarak başlar ve bunlarla her sayının yazılabileceğini söyler.

Liber Abaci soyut bir kuram kitabı değildi. Para birimlerini dönüştürmek, kâr paylaşmak, ağırlık ve ölçü hesaplamak gibi tüccarların gündelik sorunlarını yeni rakamlarla çözüyordu. Roma rakamlarıyla alt alta toplama ve çarpma yapmanın ne kadar zahmetli olduğunu düşünürsek, basamak değerli yazımın ticarette neden cazip geldiğini anlamak kolaylaşır.

Fibonacci bugün daha çok, bu kitaptaki bir tavşan probleminden doğan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … dizisiyle tanınır. Ancak onun asıl etkisi, Avrupa’da hesap yapma biçimini değiştiren bu rakamları tanıtmasıdır.

Değişim bir anda olmadı. Hint-Arap rakamlarının ve sıfırın Avrupa’da yaygın kabul görmesi, 16. ve 17. yüzyıllara kadar süren yavaş bir süreçti.

Kısa kronoloji

• MÖ 2. binyıl: Babillilerde 60 tabanlı basamak değerli yazım; boş basamak için işaret yok.
• MÖ 400 dolayı: Babil metinlerinde boş basamak için yer tutucu işaret.
• 500 dolayı: Aryabhata’nın basamak değerli sistemi.
• 628: Brahmagupta’nın sıfır ve negatif sayılarla işlem kuralları.
• 772–773: Bağdat’ta bir Hint astronomi eserinin Arapçaya çevrilmesi.
• 9. yüzyıl: Hârizmî’nin Hint rakamlarıyla hesap üzerine eseri.
• 876: Gwalior yazıtında tarihli sıfır işareti.
• 1202: Fibonacci’nin Liber Abaci’si.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Sayı kümeleri: Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar gibi kümelerin tanımında sıfırın yeri özenle belirtilir. Sıfırın pozitif ya da negatif olmadığı, çift sayı olduğu gibi bilgiler YKS sorularında sık karşımıza çıkar.
• Tam sayılarda işlemler: Brahmagupta’nın servet ve borç kuralları, negatif sayılarla işlem yapmanın hâlâ en sezgisel yollarından biridir.
• Tanımsızlık: a ÷ 0 ifadesinin tanımsız olması, rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerlerin neden dışarıda bırakıldığını açıklar.
• Bilgisayarlar: İkilik sistemde yalnızca 0 ve 1 vardır. Bilgisayarın her hesabı basamak değeri fikrine ve sıfıra dayanır.

YKS matematiğinde sayı kümeleri ve temel kavramların yerini ne öğretiyoruz sayfamızda görebilirsiniz.

Kapanış

Sıfır, “hiçbir şey” için konmuş bir işaret olarak başladı ve matematiğin en işe yarar sayılarından biri oldu. Onu bugünkü hâline getiren tek bir dâhi değil, Babil’den Hindistan’a, Bağdat’tan Pisa’ya uzanan bir aktarım zinciriydi. Her durakta biri eski bir fikri alıp biraz daha ileri taşıdı.