Ana içeriğe atla

TYT · Fonksiyonlar

Fonksiyonlar Konu Anlatımı

Bir kural, her girdiye tam bir çıktı verir: gezegene sırası, uzaklığa hız, zamana konum. Fonksiyon budur.

  • f: A → Btanım, değer
  • ax + bdoğrusal
  • parçalıaralıklara göre
  • dikey doğrufonksiyon mu?

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde eğimi değiştir, dikey doğruyu kaydır ve ne olduğunu gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Fonksiyonlar nedir?

Fonksiyon, bir kümenin her elemanını başka bir kümenin tam olarak bir elemanıyla eşleyen kuraldır. Tanım kümesindeki her girdinin tek bir çıktısı vardır; iki farklı girdi aynı çıktıya gidebilir. Fonksiyonlar liste, şema, formül ya da grafikle gösterilir; bir grafiğin fonksiyon olup olmadığı dikey doğru testiyle anlaşılır.

Sınav
TYT Matematik · AYT’de de sorulabilir
MEB konusu
Fonksiyon Kavramı ve Gösterimi
Bu derste
4 adım adım sahne, 12 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Fonksiyon nedir?

Her girdiye tam bir çıktı

Fonksiyon bir makine gibidir: bir girdi verirsin, tam bir çıktı alırsın. Aynı girdiye bazen şu, bazen bu çıktıyı veren bir kural fonksiyon değildir.

A B Merkür Venüs Dünya Mars 1 2 3 4 1 2 3 4 Ay Phobos Deimos ok çıkmıyor 0 1 2 kayalık gaz devi
  1. Bir fonksiyon, A kümesinin her elemanını B kümesinin tam olarak bir elemanına eşleyen kuraldır. Burada f her gezegeni Güneş’ten sırasına eşliyor: f(Dünya) = 3.
  2. A’ya tanım kümesi, B’ye değer kümesi, eşlenen değerlerin kümesine görüntü kümesi denir. Burada görüntü kümesi {1, 2, 3, 4} = B.
  3. “Gezegen → uydusu” bir fonksiyon değil: Merkür ile Venüs’ün uydusu yok (eşlenmemiş elemanlar) ve Mars’ın iki uydusu var (bir elemandan iki ok).
  4. g: gezegen → uydu sayısı bir fonksiyondur. Merkür ile Venüs aynı değere gidiyor: bire bir değil. Değer kümesindeki her eleman kullanıldığı için örten.
  5. h: her gezegeni “kayalık” değerine eşler: sabit fonksiyon. Değer kümesinin tamamı kullanılmadığı için örten değil; böyle fonksiyonlara içine denir.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

A = {1, 2, 3}, B = {a, b} olsun. f = {(1, a), (2, b), (3, a)} bir fonksiyon mudur? Görüntü kümesi nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 1, 2 ve 3’ün her biri tam bir değere eşlenmiş: fonksiyondur.
  2. Kullanılan değerler: a ve b. Görüntü kümesi {a, b} = B, yani örten.

Fonksiyondur; görüntü kümesi {a, b}

Çözümlü örnek

g = {(1, a), (1, b), (2, a)} eşlemesi A = {1, 2, 3} için fonksiyon mudur?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 1 hem a hem b ile eşlenmiş: bir elemandan iki ok.
  2. 3 hiçbir değere eşlenmemiş.
  3. İki nedenle de fonksiyon değildir.

Fonksiyon değil

2 · Fonksiyon türleri ve dört işlem

Şemaya bak, türünü söyle

Fonksiyonları oklarına bakarak sınıflandırırız: farklı girdiler farklı çıktılara mı gidiyor, değer kümesinin tamamı kullanılıyor mu?

bire bir ve örten bire bir, içine örten, bire bir değil sabit: ne bire bir ne örten
  1. Farklı elemanlar farklı değerlere gidiyor ve değer kümesinin her elemanı kullanılıyor: bire bir ve örten.
  2. Farklı elemanlar farklı değerlere gidiyor, ama değer kümesinde boşta kalan eleman var: bire bir ve içine.
  3. Değer kümesinin her elemanı kullanılıyor, ama iki eleman aynı değere gidiyor: örten, bire bir değil.
  4. Hepsi tek bir değere gidiyor: sabit fonksiyon. Ne bire bir ne örten. Birim fonksiyon ise her elemanı kendisine eşler: I(x) = x.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x − 3 olsun. (f + g)(2), (f · g)(x) ve f ÷ g’nin tanımsız olduğu x nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. (f + g)(x) = (2x + 1) + (x − 3) = 3x − 2; (f + g)(2) = 4.
  2. (f · g)(x) = (2x + 1)(x − 3) = 2x² − 5x − 3.
  3. g(x) = 0 → x = 3: f ÷ g, x = 3 için tanımsız.

4 · 2x² − 5x − 3 · x = 3

Çözümlü örnek

f: A → B bire bir ve örten, s(A) = 5 ise s(B) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Bire bir: farklı elemanlar farklı değerlere gider, B’de en az 5 eleman kullanılır.
  2. Örten: B’de kullanılmayan eleman yok.
  3. s(B) = 5.

5

Çözümlü örnek

f(x) = x², g(x) = x³ ve h(x) = x² + x fonksiyonlarından hangileri tek, hangileri çifttir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. f(−x) = (−x)² = x² = f(x): çift.
  2. g(−x) = (−x)³ = −x³ = −g(x): tek.
  3. h(−x) = x² − x; ne h(x) ne −h(x): ikisi de değil.

f çift, g tek, h ikisi de değil

3 · Doğrusal fonksiyonlar

Sabit oran, düz çizgi

Bir büyüklük öbürüne sabit oranla bağlıysa grafik bir doğru olur. Evrenin genişlemesinden sıcaklık dönüşümüne kadar birçok kural böyledir.

12370140210280d (Mpc)v (km/s)12370140210280d (Mpc)v (km/s)−4−3−2−11234−5−4−3−2−11234567xyb = 1−4−3−2−11234−5−4−3−2−11234567xy−100−5050100−125125250CF(0; 32)(100; 212)Mars
  1. Gökadalar bizden uzaklaşıyor ve uzaklaştıkça daha hızlı gidiyorlar. Hubble yasası: her megaparsek (Mpc) uzaklık için yaklaşık 70 km/s. Tabloyu noktalarla çizelim.
  2. Noktalar bir doğru üzerinde: v(d) = 70 · d. Girdi bir birim artınca çıktı hep aynı miktarda artıyorsa fonksiyon doğrusaldır.
  3. Genel biçim f(x) = ax + b. b, grafiğin y eksenini kestiği değer (başlangıç); a eğim: x 1 artınca y a kadar değişir. Burada a = 2, b = 1.
  4. a işaretini belirler: a > 0 artan, a < 0 azalan. b doğruyu yukarı aşağı kaydırır; eğimleri aynı olan doğrular paraleldir.
  5. Gerçek hayat: sıcaklık dönüşümü F = 1,8 · C + 32 de doğrusaldır. Mars’ın ortalama yüzey sıcaklığı −63 °C, yani ≈ −81,4 °F.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Hubble yasasına göre (v = 70 · d) 3,2 Mpc uzaklıktaki bir gökada ne hızla uzaklaşır? 700 km/s hızla uzaklaşan bir gökada kaç Mpc uzaktadır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. v = 70 · 3,2 = 224 km/s.
  2. d = 700 ÷ 70 = 10 Mpc.

224 km/s ve 10 Mpc

Çözümlü örnek

Bir ısıtıcı, 14 °C olan odanın sıcaklığını her dakika 1,5 °C artırıyor. Sıcaklığı zamanın fonksiyonu olarak yazın; 10 dakika sonra kaç derece olur ve 26 °C’ye kaç dakikada ulaşır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. T(t) = 14 + 1,5t (t dakika).
  2. T(10) = 14 + 15 = 29 °C.
  3. 26 = 14 + 1,5t → t = 12 ÷ 1,5 = 8 dakika.

T(t) = 14 + 1,5t · 29 °C · 8 dakika

Çözümlü örnek

Grafiği (0, 5) ve (4, 13) noktalarından geçen doğrusal fonksiyonu bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Eğim: a = (13 − 5) ÷ (4 − 0) = 2.
  2. (0, 5) noktası: b = 5.
  3. f(x) = 2x + 5.

f(x) = 2x + 5

Deney

Eğimi ve başlangıcı değiştir

a ve b’yi oynat. Doğru nasıl dönüyor, nasıl kayıyor? x bir artınca y ne kadar değişiyor?

f(x) = 2x + 1

x bir artınca
—
y eksenini
—
Kök: f(x) = 0
—

Descartes ve koordinat sistemi

4 · Parçalı tanımlı fonksiyonlar

Gezginin yolculuğu

Bazı durumlar tek bir formülle anlatılamaz: kural aralıktan aralığa değişir. Böyle fonksiyonları parça parça tanımlarız.

51015202520406080100120t (dk)d (m)51015202520406080100120t (dk)d (m)51015202520406080100120t (dk)d (m)51015202520406080100120t (dk)d (m)51015202520406080100120t (dk)d (m)
  1. Mars’taki bir gezgin üsten çıkıp dakikada 10 m hızla ilerliyor. İlk 10 dakikada uzaklık d = 10t: bir doğru parçası.
  2. 10. dakikada 100 m’de duruyor ve 15. dakikaya kadar fotoğraf çekiyor: bu aralıkta d = 100, yatay bir parça.
  3. 15. dakikada aynı hızla geri dönüyor ve 25. dakikada üsse varıyor: d = 100 − 10(t − 15).
  4. Üç kuralı tek bir fonksiyonda toplarız; her kuralın kendi aralığı vardır. Buna parçalı tanımlı fonksiyon denir.
  5. Grafikten okunur: tanım kümesi [0, 25] (zaman), görüntü kümesi [0, 100] (uzaklık). Gezgin en çok 100 m uzaklaşmış.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

f(x) = 2x + 1 (x < 1) ve f(x) = 4 − x (x ≥ 1) olsun. f(0), f(1) ve f(3) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 0 < 1: birinci kural, f(0) = 1.
  2. 1 ≥ 1: ikinci kural, f(1) = 3.
  3. 3 ≥ 1: f(3) = 1.

1, 3 ve 1

Çözümlü örnek

Gezginin grafiğine göre 7., 12. ve 20. dakikalarda üsten uzaklığı kaç metredir? Hangi dakikalarda 50 m uzaklıktadır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. d(7) = 10 · 7 = 70 m; d(12) = 100 m (bekleme); d(20) = 100 − 10 · 5 = 50 m.
  2. 50 m: gidişte 10t = 50 → t = 5; dönüşte t = 20.

70, 100, 50 m · t = 5 ve t = 20

Deney

Dikey doğru testi

Bir eğri seç, dikey doğruyu kaydır. Kaç noktada kesiyor? Hangi eğriler bir fonksiyonun grafiğidir?

Kesişim
—
Grafik
—

Çözümlü örnek

Merkezi orijinde, yarıçapı 4 birim olan çemberin grafiği neden bir fonksiyonun grafiği değildir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. x = 0 için y = 4 ve y = −4 noktalarının ikisi de çember üzerinde.
  2. x = 0 dikey doğrusu çemberi iki noktada kesiyor: bir girdiye iki çıktı.
  3. Bu yüzden fonksiyon değildir. Üst yarısı (y = √(16 − x²)) ise fonksiyondur.

Dikey doğru iki noktada kesiyor

Çözümlü örnek

Gezginin uzaklık–zaman grafiğinden tanım ve görüntü kümesini yazın.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Grafik t = 0’dan t = 25’e kadar çizilmiş: tanım kümesi [0, 25].
  2. Uzaklık 0 ile 100 arasındaki bütün değerleri alıyor: görüntü kümesi [0, 100].

[0, 25] ve [0, 100]

Kısa tarih

Değişimi çizmek

Oresme · 1350 dolayı

Fransız düşünür Nicole Oresme değişen nicelikleri dikdörtgen bir çizimle gösterdi: yatayda zaman, dikeyde hız. Grafikle düşünmenin ilk örneklerindendir.

Descartes · 1637

Geometri ile cebiri birleştirdi: düzlemdeki noktalar sayı ikilileriyle, eğriler denklemlerle anlatılabildi. Bugün kullandığımız koordinat düzlemi buradan gelir.

Euler · 1748

Leonhard Euler f(x) gösterimini yaygınlaştırdı ve fonksiyon kavramını matematiğin merkezine taşıdı.

Dirichlet · 1837

Bugünkü tanım: fonksiyon, her girdiye tam bir çıktı eşleyen kuraldır; tek bir formülle yazılabilmesi gerekmez. Parçalı tanımlı fonksiyonlar da böylece fonksiyon sayıldı.

Özet

Tek bakışta

f: A → BA’nın her elemanı B’de tam bir değere gider.
tanım · değer · görüntüA, B ve gerçekten kullanılan değerler kümesi.
fonksiyon değilEşlenmemiş eleman ya da bir elemandan iki ok.
bire bir · örtenFarklı elemanlar farklı değerlere; görüntü = değer kümesi.
sabit · birimHepsi aynı değere; I(x) = x.
(f + g)(x) = f(x) + g(x)Dört işlem ortak tanım kümesinde; f/g’de g(x) ≠ 0.
f(x) = ax + ba eğim, b başlangıç değeri; a > 0 artan, a < 0 azalan.
eğimx 1 artınca y a kadar değişir; a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
kök: x = −b ÷ aGrafiğin x eksenini kestiği yer.
parçalı tanımlıHer aralıkta ayrı kural; aralıklar çakışmaz.
dikey doğru testiHer dikey doğru grafiği en çok bir noktada kesmeli.
grafikten okumaTanım kümesi x ekseninde, görüntü kümesi y ekseninde.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. A = {1, 2, 3} kümesinden B = {a, b} kümesine aşağıdaki eşlemelerden hangisi fonksiyondur?
2. f(x) = 3x − 4 ise f(2) kaçtır?
3. f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x − 3 ise (f + g)(4) kaçtır?
4. f: A → B bire bir ve örten bir fonksiyon, s(A) = 6 ise s(B) kaçtır?
5. f(x) = ax + b, f(0) = 3 ve f(2) = 9 ise a kaçtır?
6. Grafiği (0, 5) ve (4, 13) noktalarından geçen doğrusal fonksiyon için f(10) kaçtır?
7. f(x) = x² (x < 0) ve f(x) = 2x + 1 (x ≥ 0) parçalı fonksiyonunda f(−2) + f(3) kaçtır?
8. Bir çemberin grafiği neden bir fonksiyonun grafiği değildir?
9. Gezginin uzaklık–zaman grafiğinde tanım kümesi [0, 25] ve görüntü kümesi [0, 100] ise gezgin üsten en çok kaç metre uzaklaşmıştır?
10. Hubble yasasına göre v = 70 · d (d megaparsek, v km/s). 5 Mpc uzaklıktaki bir gökada ne hızla uzaklaşır?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Fonksiyon türleri ve fonksiyonlarla dört işlem.
  • Doğrusal ve parçalı tanımlı fonksiyonların grafiğini çizme.
  • Grafikten tanım ve görüntü kümesini okuma; dikey doğru testi.
  • Doğrusal fonksiyonla ifade edilen gerçek hayat durumlarını grafikle gösterme.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Fonksiyonlar: sık sorulanlar

Fonksiyonlar kaçıncı sınıf konusu?

10. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Fonksiyonlar” ünitesinde, “Fonksiyon Kavramı ve Gösterimi” adıyla yer alır.

Fonksiyonlar TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde TYT Temel Matematik konusudur ve AYT’de de sorulabilen konular arasındadır. MEB’in kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 12 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

TYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol TYT Matematik konuları