Ana içeriğe atla

AYT · İntegral

İntegral Konu Anlatımı: Belirsiz İntegral

Türevi bilinen fonksiyonu geri bulmak: tersine türev. Bir ailenin bütün üyelerini toplayan + C, kuvvetler için tek bir kural ve zincir kuralını tersine işleten değişken değiştirme.

  • F′ = ftersine türev
  • + Cintegral sabiti
  • xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1)üs kuralı, n ≠ −1
  • du = g′(x) dxdeğişken değiştirme

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde kaydırıcıları oynat, noktayı sürükle, adayları dene; sonucu türev alarak denetle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

İntegral nedir?

Belirsiz integral, türev almanın tersidir: türevi f(x) olan fonksiyonlara f’nin ilkel fonksiyonları denir ve ∫f(x) dx = F(x) + C yazılır. Türevi aynı olan fonksiyonlar bir sabitle ayrıldığı için sona integral sabiti C eklenir. Temel kural, n ≠ −1 için ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1) + C’dir.

Sınıf ve ünite
12. sınıf · İntegral
MEB konusu
Belirsiz İntegral
Bu derste
4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Tersine türev

Türevi 2x olan fonksiyon hangisi?

Türev, bir fonksiyondan onun değişim hızını üretir. İntegral bunun tersini yapar: değişim hızı bilinen fonksiyonun kendisini arar.

−3−2−1123−4−2246810xy
  • y = x² + 5
  • y = x² + 2
  • y = x²
  • y = x² − 3

Eğrilerin tepe noktaları y ekseninde 5, 2, 0, −3 noktalarındadır; C, eğrinin y eksenini kestiği yerdir.

  1. Türev almayı biliyoruz: F(x) = x² ise F′(x) = 2x. Grafikte bu, her noktadaki teğetin eğimidir; x = 1’de teğetin eğimi 2.
  2. Soruyu ters çevirelim: türevi 2x olan fonksiyon hangisi? x² bir yanıt. Ama x² + 5, x² + 2 ve x² − 3’ün türevi de 2x’tir, çünkü sabitin türevi 0. Bu eğriler y = x²’nin yukarı ya da aşağı kaydırılmışıdır.
  3. x = 1’de her eğrinin teğetini çizelim: hepsinin eğimi 2, yani teğetler paralel. Dikey kaydırma eğimi değiştirmez. Türevi aynı olan fonksiyonlar birbirinden yalnız bir sabitle ayrılır.
  4. Bu eğrilerin hepsini tek yazışta toplarız: ∫2x dx = x² + C. “2x’in x’e göre integrali” diye okunur. C, integral sabitidir: her C değeri aileden bir eğri seçer (eğrinin y eksenini kestiği yer).

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

∫3x² dx integralini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Türevi 3x² olan bir fonksiyon arıyoruz: (x³)′ = 3x².
  2. Her sabit eklenebilir: ∫3x² dx = x³ + C. Denetim: (x³ + C)′ = 3x².

x³ + C

Çözümlü örnek

∫f(x) dx = x⁴ − 3x² + 5x + C ise f(2) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. İntegralin türevi integrandı verir: f(x) = (x⁴ − 3x² + 5x + C)′ = 4x³ − 6x + 5.
  2. f(2) = 4 · 8 − 6 · 2 + 5 = 32 − 12 + 5 = 25.

25

2 · Üs kuralı

Üs bir artar, yeni üsse bölünür

Kuvvetlerin integralini tek tek ezberlemeye gerek yok: türev tablosunu tersinden okumak yeter.

F(x) ∫ f(x) dx F′(x) f(x)
x² + C 2x
x³ + C 3x²
x⁴ + C 4x³
x⁵ + C 5x⁴
x² ÷ 2 + C x
x³ ÷ 3 + C x²
x⁴ ÷ 4 + C x³
x⁵ ÷ 5 + C x⁴
xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1) + C xⁿ
x⁻¹ ÷ (−1) x⁻²
x3/2 ÷ (3/2) x1/2
x⁰ ÷ 0 ? x⁻¹
  1. Bildiğimiz türevlerden bir tablo yapalım: x²’nin türevi 2x, x³’ün türevi 3x², x⁴’ün türevi 4x³, x⁵’in türevi 5x⁴. Türevde üs öne iner ve 1 azalır.
  2. Aynı tabloyu ters yönde okuyalım: ∫2x dx = x² + C, ∫3x² dx = x³ + C, ∫4x³ dx = x⁴ + C, ∫5x⁴ dx = x⁵ + C.
  3. Önde katsayı yoksa? x²’nin türevi 2x; x’in 2 katı. Yarısını alalım: (x² ÷ 2)′ = x. Aynı biçimde ∫x² dx = x³ ÷ 3 + C, ∫x³ dx = x⁴ ÷ 4 + C. Üs 1 artar, sonuç yeni üsse bölünür.
  4. Genel kural: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1) + C. Negatif ve kesirli üslerde de çalışır: ∫x⁻² dx = x⁻¹ ÷ (−1) + C = −1 ÷ x + C ve ∫√x dx = x3/2 ÷ (3/2) + C.
  5. Tek istisna n = −1: payda n + 1 = 0 olur, bölme yapılamaz. ∫(1 ÷ x) dx bu kuralla bulunamaz; bu derste yalnız n ≠ −1 olan kuvvetlerle çalışıyoruz.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

∫(6x² − 4x + 5) dx integralini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Terim terim: ∫6x² dx = 6 · x³ ÷ 3 = 2x³; ∫4x dx = 4 · x² ÷ 2 = 2x²; ∫5 dx = 5x.
  2. Sonuç: 2x³ − 2x² + 5x + C. Denetim: türevi 6x² − 4x + 5.

2x³ − 2x² + 5x + C

Çözümlü örnek

x > 0 için ∫(√x + 1 ÷ x²) dx integralini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Üslü yazalım: √x = x1/2 ve 1 ÷ x² = x⁻².
  2. ∫x1/2 dx = x3/2 ÷ (3/2) = 2x3/2 ÷ 3 = 2x√x ÷ 3.
  3. ∫x⁻² dx = x⁻¹ ÷ (−1) = −1 ÷ x.
  4. Sonuç: 2x√x ÷ 3 − 1 ÷ x + C.

2x√x ÷ 3 − 1 ÷ x + C

Çözümlü örnek

∫(x + 2)² dx integralini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Önce aç: (x + 2)² = x² + 4x + 4.
  2. ∫x² dx = x³ ÷ 3; ∫4x dx = 2x²; ∫4 dx = 4x.
  3. Sonuç: x³ ÷ 3 + 2x² + 4x + C.

x³ ÷ 3 + 2x² + 4x + C

Çözümlü örnek

f(x) = ∫(x³ − 2x) dx ise f′(2) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. İntegralin türevi integrandın kendisidir: f′(x) = x³ − 2x.
  2. f′(2) = 8 − 4 = 4. İntegrali hesaplamaya gerek bile yok.

4

Deney

Tersine türev oyunu

Bir türev seç. Katsayıyı ve üssü değiştirerek türevi o olan fonksiyonu kur; deney tahmininin türevini alıp denetlesin. Mavi ve turuncu eğriler üst üste gelince buldun.

Türevi 2x olan fonksiyon hangisi?

Tahminin: F(x) = x

hedef f(x) tahminin türevi F′(x)

Türevini al
—
Hedef
—
Sonuç
—

Bulunan: 0 / 8

3 · Başlangıç koşulu

Aileden tek eğriyi seçmek

∫f(x) dx bir eğri ailesi verir. Eğrinin geçtiği bir nokta biliniyorsa (örneğin F(1) = 2) C bulunur ve aileden yalnız bir eğri kalır. Bu bilgiye başlangıç koşulu denir.

Aşağıdaki düzlemde her kısa çizgi, eğimi F′(x) olan küçük bir parça: ailenin bütün eğrileri bu çizgilere teğet ilerler.

−4−3−2−11234−4−3−2−11234xy

F′(x) = 2x

Aile
—
Koşul
—
C
—
P’den geçen eğri
—

Her kısa çizgi, o noktadan geçen eğrinin eğimini gösterir. Eğim yalnız x’e bağlı olduğu için aynı dikey sıradaki çizgiler paraleldir. P’yi sürükle ya da düzlemde bir noktaya dokun: o noktadan ailenin yalnız bir eğrisi geçer.

Çözümlü örnek

Bir eğrinin her (x, y) noktasındaki teğetinin eğimi 3x² − 4x + 1’dir. Eğri A(2, 5) noktasından geçtiğine göre denklemi nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. y = ∫(3x² − 4x + 1) dx = x³ − 2x² + x + C.
  2. A(2, 5) eğri üzerinde: 8 − 8 + 2 + C = 5 → C = 3.
  3. Eğri: y = x³ − 2x² + x + 3.

y = x³ − 2x² + x + 3

Çözümlü örnek

f″(x) = 6x − 2, f′(1) = 3 ve f(0) = 4 ise f(1) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. f′(x) = ∫(6x − 2) dx = 3x² − 2x + C₁. f′(1) = 3 − 2 + C₁ = 3 → C₁ = 2.
  2. f(x) = ∫(3x² − 2x + 2) dx = x³ − x² + 2x + C₂. f(0) = C₂ = 4.
  3. f(x) = x³ − x² + 2x + 4 → f(1) = 1 − 1 + 2 + 4 = 6.

6

4 · Değişken değiştirme

Zincir kuralını tersine işletmek

Bazı integrallerde integrand bir zincir kuralı sonucuna benzer: içte bir fonksiyon, yanında onun türevi. O zaman içteki fonksiyona yeni bir değişken adı verir, integrali sadeleştiririz.

türev [(x² + 1)⁴]′ = 4(x² + 1)³ · 2x
integral ∫ 2x (x² + 1)³ dx
değiştir u = x² + 1 ve du = 2x dx
u ile ∫ u³ du = u⁴ ÷ 4 + C
geri koy (x² + 1)⁴ ÷ 4 + C ✓
  1. Zincir kuralını hatırlayalım: (x² + 1)⁴’ün türevi 4(x² + 1)³ · 2x. Dış fonksiyonun (kuvvetin) türevi, iç fonksiyonun türeviyle (2x) çarpılır.
  2. Şimdi tersini isteyelim: ∫2x(x² + 1)³ dx. Açmadan alabilir miyiz? İntegrandda bir iç fonksiyon (x² + 1) ve onun türevi (2x) birlikte duruyor: zincir kuralının izi.
  3. İç fonksiyona yeni bir ad verelim: u = x² + 1. Türevini alalım: du ÷ dx = 2x, yani du = 2x dx. Mavi parça u’ya, turuncu parçalar birlikte du’ya dönüşür.
  4. İntegral artık yalnız u ile yazılı: ∫u³ du. Üs kuralıyla u⁴ ÷ 4 + C.
  5. Sonucu x ile yazmak için u yerine x² + 1 koyalım: (x² + 1)⁴ ÷ 4 + C. Türevini alarak denetleyelim: 4(x² + 1)³ · 2x ÷ 4 = 2x(x² + 1)³. Başladığımız integrand geri geldi.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

∫4x³(x⁴ + 3)² dx integralini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. u = x⁴ + 3 → du = 4x³ dx.
  2. ∫u² du = u³ ÷ 3 + C.
  3. Sonuç: (x⁴ + 3)³ ÷ 3 + C.

(x⁴ + 3)³ ÷ 3 + C

Çözümlü örnek

∫x²(x³ − 1)⁴ dx integralini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. u = x³ − 1 → du = 3x² dx, yani x² dx = du ÷ 3.
  2. ∫u⁴ du ÷ 3 = u⁵ ÷ 15 + C.
  3. Sonuç: (x³ − 1)⁵ ÷ 15 + C.

(x³ − 1)⁵ ÷ 15 + C

Çözümlü örnek

∫(2x − 5)³ dx integralini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. u = 2x − 5 → du = 2 dx, yani dx = du ÷ 2.
  2. ∫u³ du ÷ 2 = u⁴ ÷ 8 + C.
  3. Sonuç: (2x − 5)⁴ ÷ 8 + C.

(2x − 5)⁴ ÷ 8 + C

Çözümlü örnek

∫(x² + 1)(x³ + 3x)² dx integralini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. u = x³ + 3x → du = (3x² + 3) dx = 3(x² + 1) dx, yani (x² + 1) dx = du ÷ 3.
  2. ∫u² du ÷ 3 = u³ ÷ 9 + C.
  3. Sonuç: (x³ + 3x)³ ÷ 9 + C.

(x³ + 3x)³ ÷ 9 + C

Çözümlü örnek

F(x) = ∫2x(x² + 1)³ dx ve F(0) = 1 ise F(1) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Sahnedeki sonuç: F(x) = (x² + 1)⁴ ÷ 4 + C.
  2. F(0) = 1 ÷ 4 + C = 1 → C = 3 ÷ 4.
  3. F(1) = 2⁴ ÷ 4 + 3 ÷ 4 = 4 + 3 ÷ 4 = 19 ÷ 4 (4,75).

19 ÷ 4

Deney

u’yu seç

Bir integral seç ve u için bir aday dene. İyi seçimde du, integraldeki parçaları tam karşılar ve yalnız u kalır; kötü seçimde x ile u karışık kalır.

∫2x(x² + 1)³ dx

u’yu ne seçelim?

u ve du
—
Yerine koy
—
Sonuç
—

Adaylardan birine dokun. İyi seçimde integralde yalnız u kalır.

5 · Uzayda integral

Ay’da çekiç ve tüy

2 Ağustos 1971’de Apollo 15 komutanı David Scott, Ay yüzeyinde kameraya dönüp bir elindeki jeoloji çekicini ve öbür elindeki şahin tüyünü aynı anda bıraktı. Havası olmayan Ay’da ikisi yere birlikte düştü: Galileo’nun, hava direnci olmasa bütün cisimlerin aynı biçimde düşeceği savı gözle görüldü.

Hareketi ivmeden başlayıp iki kez integral alarak kuralım. Ay’da çekim ivmesi yaklaşık 1,62 m/s²; bırakma yüksekliğini 1,6 m varsayıyoruz.

1,6 m Ay Dünya ≈ 1,41 s ≈ 0,57 s
ivme: a(t) = −1,62 m/s²
0,511,5−2−1t (s)
hız: v(t) = ∫a dt = −1,62t + C₁ ve v(0) = 0 → C₁ = 0
0,511,5−3−2−11t (s)
yükseklik: h(t) = ∫v dt = −0,81t² + C₂ ve h(0) = 1,6 → C₂ = 1,6
0,511,512t (s)
  1. Yukarı yönü pozitif alalım. Ay’da hava direnci yok; çekiç de tüy de aynı ivmeyle düşer: a(t) = −1,62 m/s². İvme sabit olduğu için grafiği yatay bir doğru.
  2. Hız, türevi ivme olan fonksiyondur: v(t) = ∫−1,62 dt = −1,62t + C₁. Hangi C₁? Cisimler elden durgun bırakılıyor: v(0) = 0 → C₁ = 0. Soluk doğrular başka C₁ değerleri: cisim atılarak bırakılsaydı.
  3. Yükseklik, türevi hız olan fonksiyondur: h(t) = ∫−1,62t dt = −0,81t² + C₂. Başlangıç yüksekliği h(0) = 1,6 → C₂ = 1,6. Soluk eğriler başka yüksekliklerden bırakılış.
  4. Yere değme: 1,6 − 0,81t² = 0 → t² = 1,6 ÷ 0,81 → t ≈ 1,41 s. O anda hız v ≈ −1,62 · 1,41 ≈ −2,28 m/s. Dünya’da (g ≈ 9,81 m/s²) aynı çekiç ≈ 0,57 s’de düşerdi. Soldaki şeritte düşüş gerçek sürede oynuyor.

Adım 1 / 4

Çözümlü örnek

Bir roketin kalkıştan sonraki ilk saniyelerdeki ivmesini a(t) = 12 + 0,6t m/s² modeliyle anlatalım (yakıt yandıkça roket hafifler, ivmesi artar; sayılar hayalîdir). Roket durgun hâlden kalkıyor. 10. saniyede hızı kaç m/s, o ana kadar aldığı yol kaç m’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. v(t) = ∫(12 + 0,6t) dt = 12t + 0,3t² + C₁; v(0) = 0 → C₁ = 0.
  2. v(10) = 120 + 30 = 150 m/s.
  3. s(t) = ∫(12t + 0,3t²) dt = 6t² + 0,1t³ + C₂; s(0) = 0 → C₂ = 0.
  4. s(10) = 600 + 100 = 700 m.

150 m/s ve 700 m

Kısa tarih

Akıştan integrale

Newton · 1665–1666

Veba yüzünden kapanan Cambridge’den köyüne dönen Newton, değişen niceliklerin hızlarıyla hesap yapmanın yolunu buldu; hızlardan niceliklerin kendisine dönmeyi, yani türevin tersini de inceledi. Bu hızlara sonradan “akış” (fluxion) adını verdi.

Leibniz · 1675

Paris’teki notlarında Latince summa (toplam) sözcüğünün uzatılmış S’sini ∫ işareti olarak kullanmaya başladı; dx gösterimi de ondan gelir.

Jakob Bernoulli · 1690

“İntegral” sözcüğü ilk kez onun Acta Eruditorum dergisindeki bir yazısında basıldı.

Euler · 1768–1770

Üç ciltlik Institutiones Calculi Integralis, integral alma yöntemlerini tek bir ders kitabında topladı.

Newton, Leibniz ve kalkülüs · Galileo ve serbest düşme

Özet

Tek bakışta

ilkel fonksiyonF′(x) = f(x) ise F, f’nin bir ilkel fonksiyonudur (ters türevi).
∫f(x) dx = F(x) + CBelirsiz integral: f’nin bütün ilkel fonksiyonlarının ailesi.
+ CTürevi aynı fonksiyonlar bir sabitle ayrılır: grafikler dikey kayar, aynı x’te teğetler paraleldir.
xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1)∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1) + C; yalnız n ≠ −1 için.
∫a dx = ax + CSabitin integrali; özel olarak ∫dx = x + C.
sabit çarpan∫a · f(x) dx = a · ∫f(x) dx.
toplam ve fark∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx. Çarpım varsa önce aç.
(∫f(x) dx)′ = f(x)Türev integrali götürür; ∫f′(x) dx = f(x) + C.
önce üslü yaz√x = x1/2, 1 ÷ x² = x⁻²; sonra üs kuralı.
başlangıç koşuluF(x₀) = y₀ bilgisi C’yi bulur: aileden tek eğri kalır.
u = g(x)du = g′(x) dx: ∫f(g(x)) · g′(x) dx = ∫f(u) du. Sonunda u yerine g(x) yaz.
a → v → hv = ∫a dt, h = ∫v dt; sabitler başlangıç hızı ve yüksekliği. Ay’da 1,6 m’den düşüş ≈ 1,41 s.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. ∫(3x² − 4x + 1) dx aşağıdakilerden hangisidir?
2. ∫(x + 1)² dx aşağıdakilerden hangisidir?
3. ∫f(x) dx = x³ + 2x² − x + C ise f(1) kaçtır?
4. x ≠ 0 için ∫(1 ÷ x²) dx aşağıdakilerden hangisidir?
5. ∫3√x dx aşağıdakilerden hangisidir?
6. F′(x) = 4x − 3 ve F(1) = 2 ise F(2) kaçtır?
7. ∫2x(x² − 3)⁴ dx aşağıdakilerden hangisidir?
8. ∫x²(x³ + 1)² dx aşağıdakilerden hangisidir?
9. f(x) = ∫(x³ − 5x) dx ise f′(2) kaçtır?
10. Ay’da yerden yukarı atılan bir taşın hızı v(t) = 3,24 − 1,62t m/s’dir. Taş en çok kaç metre yükselir?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Belirsiz integral ve integral alma kuralları.
  • Değişken değiştirme yöntemiyle integral alma.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

İntegral: sık sorulanlar

İntegral kaçıncı sınıf konusu?

12. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “İntegral” ünitesinde, “Belirsiz İntegral” adıyla yer alır.

İntegral TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (12. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları