Ana içeriğe atla

AYT · Türev

Türevin Uygulamaları Konu Anlatımı

Teğetin eğimi bir fonksiyonun nerede yükselip nerede alçaldığını, tepelerini, çukurlarını ve en büyük değerini söyler. Grafiği çizmeden önce türevine bak.

  • f′ > 0fonksiyon artan
  • f′⁠(c) = 0kritik nokta
  • + → −yerel maksimum
  • x = a ÷ 6en büyük kutu

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde aralığın uçlarını, katsayıları ve kutunun ölçüsünü değiştir; türevin işaretinin ne söylediğini gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Türevin Uygulamaları nedir?

Türevin işareti fonksiyonun davranışını söyler: f′(x) > 0 olan aralıkta fonksiyon artan, f′(x) < 0 olan aralıkta azalandır. Türevin işaret değiştirdiği noktalarda yerel maksimum ya da yerel minimum bulunur. Bu bilgilerle polinom fonksiyonların grafikleri çizilir ve en büyük hacim ya da en küçük maliyet gibi problemler çözülür.

Sınıf ve ünite
12. sınıf · Türev
MEB konusu
Türevin Uygulamaları
Bu derste
4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Artan ve azalan

Teğetin eğimi ne söylüyor?

Önceki derste teğeti eğri üzerinde kaydırıp türev fonksiyonunu çizdik. Artan ve azalan fonksiyonu da biliyoruz: soldan sağa giderken grafik yükseliyorsa artan, alçalıyorsa azalan. Şimdi ikisini birleştirelim: teğet yukarı bakıyorsa grafik o noktada yükseliyor olmalı.

−2−112−22xy −2−112−5510xy f(x) = x³ − 3x f′(x) = 3x² − 3
x−∞−11+∞
f′(x)+0−0+
f(x)↗2maks.↘−2min.↗
  1. Üstte f(x) = x³ − 3x, altta türevi f′⁠(x) = 3x² − 3. x = −2’deki teğetin eğimi f′⁠(−2) = 9: pozitif. Teğet yukarı bakıyor; grafik bu noktada yükseliyor.
  2. Noktayı sağa kaydıralım. x = −1’de teğet yatay: f′⁠(−1) = 0. Grafik yükselmeyi bırakıyor; alttaki türev grafiği x eksenini kesiyor.
  3. x = 0’da eğim f′⁠(0) = −3: negatif. Teğet aşağı bakıyor, grafik alçalıyor. Türevin grafiği x ekseninin altında.
  4. x = 1’de teğet yine yatay: f′⁠(1) = 0. Alçalma bitiyor, yükselme başlıyor.
  5. x = 2’de eğim yine pozitif: f′⁠(2) = 9. Türevin grafiği eksenin üstündeyken (yeşil) f artıyor, altındayken (kırmızı) f azalıyor.
  6. Bunu bir işaret tablosunda toplarız. Türevin kökleri −1 ve 1. f, (−∞, −1) ve (1, ∞) aralıklarında artan, (−1, 1) aralığında azalan.

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. f′⁠(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3). Kökler 1 ve 3.
  2. x = 0 için f′ = 9 > 0; x = 2 için f′ = −3 < 0; x = 4 için f′ = 9 > 0. Tablo: + − +.
  3. f, (−∞, 1) ve (3, ∞) aralıklarında artan; (1, 3) aralığında azalan.

Artan: (−∞, 1) ve (3, ∞); azalan: (1, 3)

Çözümlü örnek

f(x) = x³ + 3x² + 3x − 2 fonksiyonu ℝ’de artan mıdır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. f′⁠(x) = 3x² + 6x + 3 = 3(x² + 2x + 1) = 3(x + 1)².
  2. Kare negatif olamaz: f′⁠(x) ≥ 0. Türev yalnız x = −1’de sıfır, −1’in iki yanında da pozitif (çift katlı kök).
  3. Yani f, ℝ’de artandır. x = −1’de yatay teğet var ama tepe ya da çukur yok.

Evet, ℝ’de artan

Çözümlü örnek

f(x) = x³ + mx² + 3x + 1 fonksiyonu ℝ’de artan olduğuna göre m’nin alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Her x için f′⁠(x) = 3x² + 2mx + 3 ≥ 0 olmalı. Baş katsayısı 3 > 0 olan bu ikinci dereceden ifade, diskriminantı sıfır ya da negatifse hiç negatif olmaz.
  2. Δ = (2m)² − 4 · 3 · 3 = 4m² − 36 ≤ 0 → m² ≤ 9 → −3 ≤ m ≤ 3. (Δ = 0’da türev çift katlı köklü: f yine artan.)
  3. Tam sayılar −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3: 7 tane.

7

2 · Yerel ve mutlak ekstremum

Tepeler, çukurlar ve uçlar

Dağ yolunda yürürken her tepe, bulunduğun yerin çevresinde en yüksek noktadır; ama dağın en yüksek noktası olmayabilir. Fonksiyonlarda da iki tür en büyük değer var: yakın çevredeki (yerel) ve bütün aralıktaki (mutlak).

−3−2−1123−18−12−6612xy (0, 0) (−2, −16) (2, −16) [−3, 1] 9−160−7
x−∞−202+∞
f′(x)−0+0−0+
f(x)↘−16min.↗0maks.↘−16min.↗
  1. f(x) = x⁴ − 8x² grafiği. x = 0’ın çevresindeki (mavi şerit) bütün değerler f(0) = 0’dan küçük: (0, 0) bir yerel maksimum noktası. Grafikte daha yüksek yerler var; ama bu çevrede en yükseği bu.
  2. x = −2 ve x = 2’de çukurlar var: f(−2) = f(2) = −16. (−2, −16) ve (2, −16) yerel minimum noktaları.
  3. Üç noktada da teğet yatay: f′⁠(x) = 4x³ − 16x = 4x(x − 2)(x + 2) = 0 → x = −2, 0, 2. Bunlar kritik noktalar. Türev artıdan eksiye geçtiği yerde yerel maksimum, eksiden artıya geçtiği yerde yerel minimum var.
  4. Şimdi yalnız [−3, 1] kapalı aralığına bakalım (kalın çizgi). En büyük ve en küçük değer için adaylar: iki uç (−3 ve 1) ve aralığın içindeki kritik noktalar (−2 ve 0).
  5. Değerleri karşılaştır: f(−3) = 9, f(−2) = −16, f(0) = 0, f(1) = −7. Mutlak maksimum 9 (x = −3’te, bir uçta), mutlak minimum −16 (x = −2’de). (0, 0) yerel maksimum, ama bu aralıkta mutlak değil.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 4 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. f′⁠(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x² − x − 2) = 6(x − 2)(x + 1). Kritik noktalar −1 ve 2.
  2. İşaret: x < −1’de +, −1 ile 2 arasında −, x > 2’de +.
  3. x = −1’de + → −: yerel maksimum, f(−1) = −2 − 3 + 12 + 4 = 11. x = 2’de − → +: yerel minimum, f(2) = 16 − 12 − 24 + 4 = −16.

Yerel maksimum (−1, 11); yerel minimum (2, −16)

Çözümlü örnek

f′⁠(x) = (x + 2)(x − 1)²(x − 4) olduğuna göre f’nin yerel ekstremumları hangi x değerlerindedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Kritik noktalar −2, 1 ve 4. (x − 1)² hiç negatif olmaz; işareti x + 2 ile x − 4 belirler.
  2. x < −2: (−)(−) = +; −2 ile 4 arası: (+)(−) = −; x > 4: +. x = 1’de (çift katlı kök) işaret değişmiyor: − ve −.
  3. x = −2’de + → −: yerel maksimum. x = 4’te − → +: yerel minimum. x = 1’de ekstremum yok.

x = −2’de yerel maksimum, x = 4’te yerel minimum; x = 1’de yok

Çözümlü örnek

f(x) = x³ − 12x fonksiyonunun [−3, 5] aralığındaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. f′⁠(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2). Kritik noktalar −2 ve 2; ikisi de aralığın içinde.
  2. Adaylar: f(−3) = 9; f(−2) = 16; f(2) = −16; f(5) = 65.
  3. Mutlak maksimum 65 (x = 5’te, uçta; yerel maksimum 16 onu geçemiyor). Mutlak minimum −16 (x = 2’de).

Mutlak maksimum 65; mutlak minimum −16

Deney

Aralığı seç

Bir fonksiyon seç, aralığın uçlarını kaydır. Mutlak en büyük değer ne zaman bir tepede, ne zaman bir uçta? Kritik noktası olmayan fonksiyonda ne oluyor?

f(x) = x³ − 12x ve [−3, 3]

Mutlak maksimum
—
Mutlak minimum
—

3 · Türevle grafik çizimi

Beş adımda grafik

Bir polinomun grafiğini rastgele birkaç noktayı birleştirerek çizersek tepeleri kaçırabiliriz. Türev, grafiğin nerede döndüğünü tam olarak söyler. f(x) = x³ − 6x² + 9x’in grafiğini adım adım çizelim.

−112345−2246xy (0, 0) (3, 0) (1, 4)
x−∞13+∞
f′(x)+0−0+
f(x)↗4maks.↘0min.↗
  1. Eksenleri kestiği noktalar. f(0) = 0. f(x) = x(x − 3)² = 0 → x = 0 ve x = 3. Grafik (0, 0) ve (3, 0) noktalarından geçer.
  2. Kritik noktalar. f′⁠(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 ve x = 3. f(1) = 4, f(3) = 0: bu noktalarda teğet yatay.
  3. İşaret tablosu. Türev (−∞, 1)’de +, (1, 3)’te −, (3, ∞)’da +. f yeşil şeritlerde artan, kırmızı şeritte azalan. (1, 4) yerel maksimum, (3, 0) yerel minimum.
  4. Uçlardaki davranış. Baş terim x³: x çok büyüdükçe f(x) de büyür (sağda yukarı), x negatif yönde büyüdükçe f(x) çok küçülür (solda aşağı).
  5. Birleştir. Soldan aşağıdan gel, (1, 4)’e çık, (3, 0)’a in, sonra yukarı git. x = 3 hem kök hem yerel minimum: grafik eksene değip geri döner (çift katlı kök).

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

f(x) = −x³ + 3x² fonksiyonunun grafiğini türev yardımıyla çizmek için gereken bilgileri bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Kesişimler: f(x) = x²(3 − x) = 0 → x = 0 (çift katlı: grafik eksene değer) ve x = 3.
  2. f′⁠(x) = −3x² + 6x = −3x(x − 2): kritik noktalar 0 ve 2; f(0) = 0, f(2) = −8 + 12 = 4.
  3. İşaret: (−∞, 0)’da −, (0, 2)’de +, (2, ∞)’da −. (0, 0) yerel minimum, (2, 4) yerel maksimum.
  4. Baş terim −x³ (tek derece, negatif katsayı): solda yukarı, sağda aşağı. Grafik yukarıdan iner, (0, 0)’da eksene değip döner, (2, 4)’e çıkar, (3, 0)’dan geçip aşağı iner.

Yerel min. (0, 0), yerel maks. (2, 4); solda yukarı, sağda aşağı

Çözümlü örnek

f(x) = x⁴ − 4x³ fonksiyonunun kritik noktalarını ve yerel ekstremumlarını bulun. Grafik x = 0’da nasıl davranır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. f′⁠(x) = 4x³ − 12x² = 4x²(x − 3). Kritik noktalar 0 (çift katlı) ve 3.
  2. x < 0’da −, 0 ile 3 arasında −, x > 3’te +. x = 0’da işaret değişmiyor: yatay teğet var, ekstremum yok.
  3. x = 3’te − → +: yerel minimum f(3) = 81 − 108 = −27. Kökler: x³(x − 4) = 0 → 0 ve 4. Derece çift, baş katsayı pozitif: iki uç da yukarı.

Yerel minimum (3, −27); x = 0’da yatay teğet ama ekstremum yok

Çözümlü örnek

f(x) = x³ + ax² + bx fonksiyonunun x = −1 ve x = 3’te yerel ekstremumları vardır. a ve b’yi ve yerel maksimum değerini bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. f′⁠(x) = 3x² + 2ax + b’nin kökleri −1 ve 3 olmalı: f′⁠(x) = 3(x + 1)(x − 3) = 3x² − 6x − 9.
  2. Katsayıları eşitle: 2a = −6 → a = −3; b = −9. f(x) = x³ − 3x² − 9x.
  3. Baş katsayı pozitif: türev −1’in solunda +, sağında −. x = −1’de yerel maksimum: f(−1) = −1 − 3 + 9 = 5. (x = 3’te yerel minimum f(3) = −27.)

a = −3, b = −9; yerel maksimum değeri 5

Deney

Tepeler nereden doğar?

b ve c’yi değiştir. Mor türev grafiği x eksenini kaç yerde kesiyor? Tepe ile çukur ne zaman birleşip kayboluyor?

f(x) = x³ − 2x² − 4x

Türev (mor)
—
Diskriminant
—
Ekstremumlar
—

4 · Maksimum ve minimum problemleri

En iyi tasarım

Önceki bir derste kenarı 30 cm olan kare kartonun köşelerinden kareler kesip üstü açık kutu yapmış, en büyük hacmi tabloyla x = 5 cm’de bulmuştuk. Tablo bir tahmin verir; türev kesin cevabı verir.

Kenarı a olan kartondan kenarı x olan kareler kesilirse V(x) = x(a − 2x)² = 4x³ − 4ax² + a²x ve V′⁠(x) = 12x² − 8ax + a² = (2x − a)(6x − a). Kaydırıcıyla en büyük hacmi ara, sonra türevin sıfır olduğu yere git. Kartonu değiştirince en iyi x ne oluyor?

Hacim
—
Türev
—
Türevle en iyi
—

Çözümlü örnek

Kenarı 18 cm olan kare kartonun köşelerinden eşit kareler kesilip üstü açık kutu yapılacak. Hacmi en büyük yapmak için kaç cm’lik kareler kesilmeli, en büyük hacim kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. V(x) = x(18 − 2x)², tanım aralığı 0 < x < 9.
  2. V′⁠(x) = 12x² − 144x + 324 = 12(x² − 12x + 27) = 12(x − 3)(x − 9). x = 9 aralığın dışında; x = 3.
  3. (0, 3)’te V′ > 0, (3, 9)’da V′ < 0: x = 3’te en büyük. V(3) = 3 · 12² = 432 cm³.

x = 3 cm; 432 cm³

Çözümlü örnek

x + y = 12 olan x ve y pozitif sayıları için x²y çarpımının en büyük değeri kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. y = 12 − x: P(x) = x²(12 − x) = 12x² − x³, 0 < x < 12.
  2. P′⁠(x) = 24x − 3x² = 3x(8 − x) = 0 → x = 8 (x = 0 aralıkta değil).
  3. (0, 8)’de +, (8, 12)’de −: en büyük x = 8’de. y = 4 ve P = 64 · 4 = 256.

256 (x = 8, y = 4)

Çözümlü örnek

Bir dikdörtgenin iki köşesi x ekseninde, öbür iki köşesi y = 12 − x² parabolünün üzerindedir. Bu dikdörtgenin alanı en çok kaç birimkaredir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Parabol y eksenine göre simetrik: köşeler (−x, 0), (x, 0), (x, 12 − x²), (−x, 12 − x²); taban 2x, yükseklik 12 − x². 0 < x < 2√3.
  2. A(x) = 2x(12 − x²) = 24x − 2x³; A′⁠(x) = 24 − 6x² = 0 → x² = 4 → x = 2.
  3. x = 2’nin solunda A′ > 0, sağında A′ < 0: en büyük. A(2) = 4 · 8 = 32.

32 birimkare

5 · Uzayda türev

Mars’ta en yüksek nokta

Mars’ın havası çok seyrek; bu hesapta sürtünmeyi yok sayabiliriz. Mars’ta yerçekimi ivmesi yaklaşık 3,72 m/s². Yüzeyden 20 m/s hızla dikey yukarı atılan bir taşın t saniye sonraki yüksekliği h(t) = 20t − 1,86t² metredir (3,72 ÷ 2 = 1,86). Yüksekliğin türevi taşın hızıdır: h′⁠(t) = 20 − 3,72t.

123456789101112102030405060t (s)h (m) 20,39 m Dünya Mars 53,76 m
  1. t = 1 s’de hız h′⁠(1) = 20 − 3,72 = 16,28 m/s. Türev pozitif: taş yükseliyor. Grafikteki teğetin eğimi, taşın o andaki hızıdır.
  2. t = 3 s’de h′⁠(3) = 20 − 11,16 = 8,84 m/s. Hâlâ pozitif ama küçüldü: taş yavaşlayarak yükseliyor, teğet yatıyor.
  3. Taş h′⁠(t) = 0 olduğu anda durur: 20 − 3,72t = 0 → t = 20 ÷ 3,72 ≈ 5,38 s. Teğet yatay; en yüksek nokta h ≈ 53,76 m.
  4. t = 8 s’de h′⁠(8) = 20 − 29,76 = −9,76 m/s. Türev negatif: taş düşüyor. İşaret tepede + → − geçti: yerel ve (uçuş boyunca) mutlak maksimum.
  5. Aynı atış Dünya’da (g ≈ 9,81 m/s²): h′⁠(t) = 20 − 9,81t = 0 → t ≈ 2,04 s, en yüksek nokta ≈ 20,39 m. Mars’ta taş 9,81 ÷ 3,72 ≈ 2,64 kat daha yükseğe çıkar.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Aynı taş Ay’da (g ≈ 1,62 m/s²) yüzeyden 20 m/s hızla dikey atılırsa kaç saniyede en yüksek noktaya çıkar ve kaç metre yükselir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. h(t) = 20t − 0,81t², h′⁠(t) = 20 − 1,62t = 0 → t = 20 ÷ 1,62 ≈ 12,35 s.
  2. En büyük yükseklik v₀² ÷ 2g = 400 ÷ 3,24 ≈ 123,46 m. Ay’da çekim daha zayıf: taş hem daha uzun süre hem daha yükseğe çıkar.

≈ 12,35 s; ≈ 123,46 m

Çözümlü örnek

Bir uydu için kapalı, dik dairesel silindir biçimli bir yakıt tankı tasarlanacak. Tankın yüzeyi için 24π m² levha var (sayılar örnek). Tankın hacmi en çok kaç m³ olabilir; tankın yüksekliği ile yarıçapı arasında nasıl bir ilişki olur?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Yarıçap r, yükseklik h: yüzey 2πr² + 2πrh = 24π → h = (12 − r²) ÷ r.
  2. V(r) = πr²h = πr(12 − r²) = 12πr − πr³, 0 < r < 2√3.
  3. V′⁠(r) = 12π − 3πr² = 0 → r = 2. r = 2’nin solunda V′ > 0, sağında V′ < 0: en büyük.
  4. h = (12 − 4) ÷ 2 = 4 = 2r. V = 24π − 8π = 16π ≈ 50,27 m³. Yalnız malzemeyi düşünürsek en iyi silindirin yüksekliği çapına eşittir. (Gerçek tanklarda biçimi basınç, ağırlık ve araca yerleşim de belirler; aynı hacmi en az yüzeyle çevreleyen cisim küredir.)

r = 2 m, h = 4 m; V = 16π ≈ 50,27 m³

Kısa tarih

Aynadan uzay yoluna

İskenderiyeli Heron · 1. yüzyıl

Aynalar üzerine yazdığı kitapta, aynadan yansıyan ışığın iki nokta arasındaki olası yolların en kısasını izlediğini gösterdi: bilinen ilk en küçük değer problemlerinden biri.

Kepler · 1615

Şarap fıçılarının hacmini hesapladığı kitabında, en büyük hacmin çevresinde ölçülerdeki küçük değişikliklerin hacmi neredeyse hiç değiştirmediğini fark etti: bugün bunu “tepede türev sıfır” diye söylüyoruz.

L’Hôpital · 1696

Diferansiyel hesabın ilk ders kitabı sayılan “Analyse des infiniment petits” yayımlandı. Kitap teğetlerin yanında en büyük ve en küçük değerlerin nasıl bulunacağını da anlatır.

Hohmann · 1925

Alman mühendis Walter Hohmann, iki dairesel yörünge arasında en az yakıtla geçmenin yolunu hesapladı. Bu “Hohmann transfer yörüngesi” bugün de uzay görevlerinin planlanmasında kullanılır.

Newton, Leibniz ve kalkülüs · Sabun köpükleri ve en küçük yüzeyler · Matematiksel modelleme nedir?

Özet

Tek bakışta

f′ > 0Bir aralıkta türev pozitifse f orada artan.
f′ < 0Bir aralıkta türev negatifse f orada azalan.
kritik noktaf′⁠(c) = 0: teğet yatay. Polinomun tepe ve çukurları yalnız bu noktalarda olabilir.
+ → −Türev c’de artıdan eksiye geçiyorsa c’de yerel maksimum.
− → +Türev eksiden artıya geçiyorsa yerel minimum.
işaret değişmezseEkstremum yok. x³’te f′⁠(0) = 0, ama x = 0 ne tepe ne çukur.
çift katlı kökTürevin (x − c)² çarpanında işaret değişmez; f’nin çift katlı kökünde grafik eksene teğettir.
mutlak ekstremum[a, b]’de adaylar iki uç ve içteki kritik noktalar; en büyüğü ve en küçüğü seç.
Δ ≤ 0Kübiğin türevinin diskriminantı sıfır ya da negatifse tepe ve çukur yok: f tekdüze.
grafik çizimiEksen kesişimleri, kritik noktalar, işaret tablosu, uçlardaki davranış; sonra birleştir.
x = a ÷ 6Kenarı a olan kartondan en büyük üstü açık kutu; hacmi 2a³ ÷ 27.
h′⁠(t) = 0Dikey atışta tepe, hızın sıfır olduğu an: t = v₀ ÷ g. Mars’ta 20 m/s ile ≈ 53,76 m.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. f(x) = 2x³ − 3x² − 36x + 1 fonksiyonu hangi aralıkta azalandır?
2. f(x) = x³ − 3x² + 5 fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?
3. f′⁠(x) = (x − 3)²(x + 1) olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
4. f(x) = x³ + mx² + 12x + 1 fonksiyonu ℝ’de artan olduğuna göre m’nin alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
5. f(x) = x³ − 3x fonksiyonunun [0, 3] aralığındaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinin toplamı kaçtır?
6. f(x) = x³ için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
7. f(x) = −x³ + 3x fonksiyonunun yerel maksimum noktası hangisidir?
8. Kenarı 12 cm olan kare kartonun köşelerinden eşit kareler kesilip üstü açık kutu yapılıyor. Kutunun hacmi en çok kaç cm³ olur?
9. Toplamları 30 olan x ve y pozitif sayıları için x²y çarpımı en büyük olduğunda x kaçtır?
10. Mars’ta yüzeyden 18,6 m/s hızla dikey atılan bir taşın yüksekliği h(t) = 18,6t − 1,86t² metredir. Taş en fazla kaç metre yükselir?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Türevle fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları bulma.
  • Mutlak ve yerel maksimum-minimum noktalarını belirleme.
  • Türevle polinom fonksiyonların grafiğini çizme.
  • Türevle maksimum ve minimum problemleri.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Türevin Uygulamaları: sık sorulanlar

Türevin Uygulamaları kaçıncı sınıf konusu?

12. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Türev” ünitesinde, “Türevin Uygulamaları” adıyla yer alır.

Türevin Uygulamaları TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (12. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 14 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları