Sabun köpükleri ve minimal yüzeyler: Plateau kuralları ve 120 derecelik birleşmeler

Bir sabun köpüğü üflediğinizde, pipetin ucu nasıl bir şekle sahip olursa olsun havada süzülen köpük küre biçimini alır. İki köpük birbirine yapışınca aralarında hafifçe kavisli bir duvar oluşur. Bir köpük yığınında ise zarlar her zaman üçer üçer ve eşit açılarla buluşur. Bu düzen kimse tarafından tasarlanmadı; tek bir fiziksel eğilimin sonucudur.

Kısacası: Sabun zarı alanını olabildiğince küçültmeye çalışır. Matematikte bu, minimal yüzey problemidir. Bu yazıda bu eğilimden kürenin, 120 derecelik birleşmelerin ve 109,47 derecelik köşelerin nasıl çıktığını adım adım göreceğiz. Sonunda da sabun zarının, bir mühendislik problemini nasıl “çözdüğünü” inceleyeceğiz.

Yüzey gerilimi: Alanı küçültme eğilimi

Suyun yüzeyindeki moleküller, içerideki moleküller kadar komşuyla çevrili değildir. Bu yüzden yüzeyde fazladan bir enerji birikir. Yüzeyin alanı büyüdükçe bu enerji artar. Sistem enerjisini azaltmaya yöneldiği için yüzey, gerilmiş bir zar gibi davranır ve küçülmek ister. Bu özelliğe yüzey gerilimi denir ve γ ile gösterilir.

Sabun, suyun yüzey gerilimini düşürür ve zarın hemen patlamadan uzun süre ayakta kalmasını sağlar. İnce zarın yine de tek bir eğilimi vardır: Verilen koşullar altında alanını en aza indirmek.

Neden küre?

Köpüğün içinde belirli bir miktar hava hapsolmuştur. Soru şudur: Belirli bir hacmi çevreleyen yüzeyler arasında alanı en küçük olan hangisidir? Cevap küredir. Bunu iki şekli karşılaştırarak görelim. Hacim 1 birim küp olsun.

Küp: Kenar 1, yüzey alanı 6 × 1² = 6.

Küre: (4 ÷ 3) × π × r³ = 1 ise r³ ≈ 0,2387 ve r ≈ 0,620. Yüzey alanı 4 × π × r² ≈ 4 × 3,1416 × 0,385 ≈ 4,84.

Aynı havayı küre biçiminde tutmak, küp biçiminde tutmaktan yaklaşık yüzde 19 daha az zar gerektirir. Aslında küre, aynı hacmi çevreleyen bütün kapalı yüzeyler arasında en küçük alana sahiptir. Pipetten ayrılan köpük, bu yüzden hızla küreye döner.

Küçük köpüğün basıncı daha büyüktür

Eğri bir zar içerideki havayı sıkıştırır. Bir sabun köpüğünün iç ve dış yüzeyi olmak üzere iki yüzü vardır. İç basınçla dış basınç arasındaki fark:

ΔP = 4γ ÷ R

Burada R köpüğün yarıçapıdır. γ = 0,025 N/m kabul edelim:

• R = 1 cm = 0,01 m için ΔP = 4 × 0,025 ÷ 0,01 = 10 Pa
• R = 2 cm = 0,02 m için ΔP = 5 Pa

Formül ters orantıyı gösterir: Küçük köpüğün iç basıncı daha büyüktür. Bu yüzden farklı büyüklükte iki köpük yapıştığında, aradaki duvar büyük köpüğün içine doğru kıvrılır. Duvarın eğrilik yarıçapı R₃, iki köpüğün yarıçapları R₁ (küçük) ve R₂ (büyük) ile şöyle ilişkilidir:

1 ÷ R₃ = 1 ÷ R₁ − 1 ÷ R₂

R₁ = 2 cm ve R₂ = 3 cm ise 1 ÷ R₃ = 1/2 − 1/3 = 1/6 ve R₃ = 6 cm olur. İki köpük eşit büyüklükteyse 1 ÷ R₃ = 0 çıkar; yani aradaki duvar düzdür.

Plateau kuralları

19. yüzyılda Belçikalı fizikçi Joseph Plateau, tel çerçeveler ve sabunlu çözeltilerle yıllarca deney yaptı. Sonuçlarını 1873’te yayımladığı iki ciltlik bir eserde topladı. Gözlemlerinden bugün Plateau kuralları olarak bilinen düzenlilikler çıktı:

20. Zarlar pürüzsüzdür ve her zar parçasının eğriliği her yerde aynıdır.

21. Zarlar her zaman üçer üçer buluşur. Buluşma çizgisinde komşu zarlar arasındaki açılar eşittir: 120°.

22. Bu çizgiler dörder dörder buluşur. Buluşma noktasında çizgiler arasındaki açı yaklaşık 109,47°’dir.

Dört zarın bir çizgide buluştuğu ya da altı çizginin bir noktada buluştuğu kararlı bir köpük görülmez. Böyle bir durum oluşsa bile zar hemen kayar ve kurallara uygun hâle gelir.

120° nereden geliyor?

Üç zarın buluştuğu bir çizgiyi yandan düşünelim. Her zar, bu çizgiyi kendi yönüne doğru aynı büyüklükte bir kuvvetle çeker. Çünkü üç zar da aynı sabunlu sudan yapılmıştır ve aynı yüzey gerilimine sahiptir. Çizginin yerinde durması için üç kuvvetin toplamı sıfır olmalıdır.

Eşit büyüklükteki üç vektörün toplamının sıfır olması, uç uca eklendiklerinde kapalı bir üçgen oluşturmaları demektir. Kenarları eşit olan üçgen eşkenar üçgendir ve dış açıları 120°’dir. Demek ki vektörlerin kendileri de birbiriyle 120° açı yapar. Açı daha küçük olsaydı zarlar çizgiyi o yöne sürükler, denge bozulurdu.

109,47° nereden geliyor?

Dört çizginin bir noktada simetrik biçimde buluştuğu en düzenli yapı, bir düzgün dörtyüzlünün merkezinden dört köşesine giden doğrulardır. Bu doğrulardan herhangi ikisi arasındaki açının kosinüsü −1/3’tür:

θ = arccos(−1/3) ≈ 109,47°

Aynı açı, metan molekülündeki bağ açısı olarak kimya derslerinde de karşımıza çıkar.

Plateau bu kuralları deneyle buldu. Kuralların, alanı en küçük yapan her sabun zarı yapısı için matematiksel olarak doğru olduğu ise ancak 1976’da Amerikalı matematikçi Jean Taylor tarafından ispatlandı. Deneyden kurala, kuraldan ispata geçen bu yol, bilim ile matematik arasındaki iş birliğinin güzel bir örneğidir.

Minimal yüzeyler: Eğriliği sıfır olan zarlar

Bir tel çerçeveyi sabunlu suya daldırıp çıkardığınızda, çerçeveye gerilen zar hava hapsetmez. İki tarafındaki basınç eşit olduğu için zarın ortalama eğriliği sıfırdır. Her noktada bir yönde yukarı kıvrılıyorsa, ona dik yönde aynı ölçüde aşağı kıvrılır. Böyle yüzeylere minimal yüzey denir.

En bilinen örneklerden biri katenoittir. İki dairesel teli aynı eksen üzerinde karşılıklı tutup aralarına sabun zarı gerdiğinizde ortası daralan, kum saatine benzeyen bir yüzey oluşur. Bu yüzeyi 1744’te Leonhard Euler inceledi ve alanı en küçük yapan bir yüzey olduğunu gösterdi.

Sabun zarı en kısa yolu bulur mu?

Kenarı 10 km olan kare biçimli bir bölgenin dört köşesinde dört köy olsun. Hepsini birbirine bağlayan en kısa yol ağını kurmak istiyoruz.

• Kareyi çevreleyen üç kenar: 3 × 10 = 30 km.
• İki köşegen (X şekli): 2 × 10 × √2 ≈ 28,28 km.
• En iyi ağ: Ortada iki yeni kavşak noktası eklenir ve her kavşakta yollar 120° ile buluşur. Toplam uzunluk 10 × (1 + √3) ≈ 27,32 km olur.

Bu problem için sabunlu bir deney yapılabilir: İki şeffaf plakayı birkaç santimetre aralıkla tutun, aralarına köylerin yerine dört çubuk yerleştirin ve düzeneği sabunlu suya daldırıp çıkarın. Zar, çubukları birleştiren ve 120° açılı kavşaklar içeren bir ağ biçiminde durur. Çünkü zar kendi alanını, yani plakalar arasındaki uzunluğunu en aza indirir.

Önemli bir uyarı: Sabun zarı her zaman en iyi çözümü değil, bazen yalnızca yakındaki iyi bir çözümü bulur. Çubuk sayısı arttıkça zar, daha kısa bir ağ varken daha uzun bir ağda takılı kalabilir. Matematikte buna yerel en küçük değer denir. Doğa bir hesap makinesi değildir; ama bize iyi bir tahmin verir. Bilgisayarların en kısa yolu nasıl garanti altına aldığını navigasyon ve Dijkstra algoritması yazımızda okuyabilirsiniz.

Çözülmüş ve açık problemler

Sabun köpükleri, matematikçilere uzun süre uğraştıran sorular sordu:

• Çift köpük: İki ayrı hacmi en az alanla çevreleyip birbirinden ayırmanın yolu, üç küresel parçanın 120° açılarla birleştiği bilinen çift köpük şeklidir. Bu gözlem uzun süre sanı olarak kaldı ve 2000 yılında ispatlandı.
• Düzlemde petek: Düzlemi eşit alanlara bölmenin en kısa sınırlı yolu altıgendir. Bunu bal peteği yazımızda anlatıyoruz.
• Uzayda köpük: Uzayı eşit hacimli hücrelere en az yüzey alanıyla bölme sorusu hâlâ açıktır. 19. yüzyılda önerilen bir hücre yapısı yaklaşık yüz yıl en iyi aday sayıldı; 1993’te bilgisayar yardımıyla biraz daha az alan kullanan başka bir yapı bulundu. Bunun en iyi çözüm olduğu ise bugün ispatlanmış değildir.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

Minimal yüzey düşüncesi yalnızca bir oyun değildir. Hafif ve dayanıklı germe membran çatılar tasarlanırken, en az malzemeyle gerilen yüzeyler aranır. Köpük fiziği, yangın söndürme köpüklerinden gıda ve kozmetik ürünlerine kadar birçok alanda incelenir. Hücre zarlarının şekli ve biyolojik dokulardaki hücre dizilimi de yüzey gerilimi fikriyle modellenir.

Müfredat açısından da zengin bir örnektir: küre ve küpün hacim ve alan formülleri, ters orantı, vektörlerin toplamı, eşkenar üçgen, köklü sayılarla işlem ve en küçük değer problemleri. TYT ve AYT’deki bu konuların listesini ne öğrettiğimizi anlattığımız sayfada bulabilirsiniz.

Kapanış

Bir sabun köpüğü, “alanını küçült” diyen tek bir kuralı izler. Bu kuraldan küre çıkar, üç zarın 120° ile buluşması çıkar, dört çizginin 109,47° ile birleşmesi çıkar ve hatta bir yol ağı problemine iyi bir çözüm çıkar. Bir dahaki sefere köpük üflediğinizde, havada süzülen şeyin bir optimizasyon probleminin çözümü olduğunu hatırlayın.