Ana içeriğe atla

TYT · Denklemler ve Eşitsizlikler

Üslü ve Köklü Sayılar Konu Anlatımı

Kâğıdı 42 kez katla, Ay’a ulaş. Üsler, çok büyüğü de çok küçüğü de kısa yazmanın yoludur.

  • 10⁻¹⁰ matom
  • 10⁰ minsan
  • 10¹¹ mGüneş’e
  • 10²⁶ mevren

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde düğmelere dokun ve ne olduğunu gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Üslü ve Köklü Sayılar nedir?

Üs, bir sayının kendisiyle kaç kez çarpıldığını gösterir: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Tabanları aynı üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır, bölünürken çıkarılır. Sıfır olmayan bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir; negatif üs, çarpmaya göre tersi verir. Kök de bir üs gibi çalışır: √x, x’in 1/2’nci kuvvetidir.

Sınav
TYT Matematik · AYT’de de sorulabilir
MEB konusu
Üslü İfadeler ve Denklemler
Bu derste
5 adım adım sahne, 17 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Üs

Katla, ikiye katlansın

Aynı sayıyı art arda çarpmayı kısaca yazmak için üs kullanırız. Her katlamada kat sayısı iki katına çıkan bir kâğıtla başlayalım.

  1. Kalınlığı 0,1 mm olan bir kâğıt: 1 kat.
  2. İkiye katla: boyu yarıya iner, kat sayısı 2 olur. Kalınlık 0,2 mm.
  3. Bir daha katla: 2 · 2 = 4 kat. Bunu kısaca 2² yazarız.
  4. Bir daha: 2 · 2 · 2 = 2³ = 8 kat.
  5. n kez katlayınca 2 · 2 · … · 2 = 2ⁿ kat olur. 2 taban, n üstür. Kalınlık 0,1 mm · 2ⁿ.

Adım 1 / 5

Deney

Kâğıdı katla, nereye ulaşırsın?

Katlama sayısını artır. Kalınlık Everest’i, uzay istasyonunu, Ay’ı ve Güneş’i ne zaman geçiyor?

Kalınlık: 105 m = 0,1 mm · 220 ≈ 1,05 · 10² m

Cetvelde her çentik bir öncekinin 10 katı. Birimler: metre.

  • Everest (8,8 km): 27. katlamada geçilir
  • Uzay İstasyonu (400 km, yaklaşık yörünge yüksekliği): 32. katlamada geçilir
  • Ay (384.400 km): 42. katlamada geçilir
  • Güneş (149.600.000 km): 51. katlamada geçilir

Üstel büyüme ve büyük sayılar üzerine

2 · Üslü ifadelerin özellikleri

Üs, çarpan sayısıdır

Üslü ifadelerle işlem yaparken her “2”yi bir kutucuk olarak düşün. Kuralların hepsi, kutucukları saymaktan çıkar.

2³ · 2² =

22222

= 2⁵

2⁵ ÷ 2² =

22222
22

= 2³

(2³)² =

222222

= 2⁶

(2 · 3)² =

2323

= 2² · 3² = 36

  1. Çarpma: 2³ · 2² = (2 · 2 · 2) · (2 · 2): beş tane 2 → 2⁵. Tabanlar aynıysa üsler toplanır.
  2. Bölme: 2⁵ ÷ 2²: paydaki iki 2, paydadaki iki 2 ile sadeleşir; üç tane kalır → 2³. Üsler çıkarılır.
  3. Üssün üssü: (2³)² = 2³ · 2³: iki grup, her birinde üç 2 → 2⁶. Üsler çarpılır.
  4. Çarpımın üssü: (2 · 3)² = (2 · 3) · (2 · 3) = 2² · 3² = 36. Üs her çarpana dağılır.
  5. Kural ezberlemek yerine üssü “kaç tane çarpan” diye oku; kurallar kendiliğinden çıkar.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

(2⁴ · 2⁶) ÷ (2³)² kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Pay: 2⁴ · 2⁶ = 2¹⁰.
  2. Payda: (2³)² = 2⁶.
  3. 2¹⁰ ÷ 2⁶ = 2⁴ = 16.

16

Çözümlü örnek

(4³ · 8) ÷ 2⁹ kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Hepsini 2’nin kuvveti yap: 4³ = (2²)³ = 2⁶, 8 = 2³.
  2. 2⁶ · 2³ = 2⁹.
  3. 2⁹ ÷ 2⁹ = 1.

1

3 · Sıfır ve negatif üs

Bölmeye devam et

“2’nin sıfırıncı kuvveti” ne demek? Sıfır tane 2’yi çarpamayız. Ama merdivende aşağı inmeye devam edersek cevap kendiliğinden çıkar.

  1. 2³ 8
  2. 2² 4
  3. 2¹ 2
  4. 2⁰ 1
  5. 2⁻¹ 1/2
  6. 2⁻² 1/4
  7. 2⁻³ 1/8
  1. 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Üs 1 azalınca değer 2’ye bölünüyor.
  2. Aynı kuralla bir basamak daha: 2 ÷ 2 = 1. O hâlde 2⁰ = 1.
  3. Bir basamak daha: 1 ÷ 2 = 1/2. O hâlde 2⁻¹ = 1/2.
  4. 2⁻² = 1/4, 2⁻³ = 1/8. Negatif üs “o kadar kez böl” demektir.
  5. Genel kural: a ≠ 0 için a⁰ = 1 ve a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

3⁻² + 3⁰ kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 3⁻² = 1/3² = 1/9.
  2. 3⁰ = 1.
  3. 1/9 + 1 = 10/9.

10/9

Çözümlü örnek

(2/3)⁻² kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Negatif üs kesri ters çevirir: (3/2)².
  2. 9/4.

9/4

4 · Bilimsel gösterim

Atomdan evrene

Çok büyük ya da çok küçük sayıları k · 10ⁿ biçiminde yazarız; burada 1 ≤ k < 10 ve n bir tam sayıdır. Dünya ile Güneş arası 150.000.000.000 m yerine 1,5 · 10¹¹ m; bir hidrojen atomunun çapı 0,000000000106 m yerine 1,06 · 10⁻¹⁰ m.

Kaydırıcıyla atomdan gözlenebilir evrene gez. Her uzunluğun bilimsel gösterimine, bir öncekinden kaç kat büyük olduğuna ve ışığın o yolu ne kadar sürede aldığına bak.

Dünya ile Güneş arası

1,5 · 10¹¹ metre

ortalama, 1 AU

Bir öncekinden
yaklaşık 10² kat büyük
Işık bu yolu
8,3 dakikada alır

Çözümlü örnek

Güneş ışığı Dünya’ya kaç saniyede ulaşır? (Uzaklık yaklaşık 1,5 · 10¹¹ m, ışık hızı yaklaşık 3 · 10⁸ m/s.)

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Süre = yol ÷ hız = (1,5 · 10¹¹) ÷ (3 · 10⁸).
  2. Sayıları ve 10’un kuvvetlerini ayrı böl: (1,5 ÷ 3) · 10¹¹⁻⁸ = 0,5 · 10³.
  3. 0,5 · 10³ = 500 saniye, yani yaklaşık 8,3 dakika.

Yaklaşık 500 saniye. Gördüğün Güneş, 8 dakika önceki Güneş’tir.

Çözümlü örnek

Dünya’nın kütlesi yaklaşık 5,97 · 10²⁴ kg, Ay’ınki yaklaşık 7,34 · 10²² kg. Dünya, Ay’dan yaklaşık kaç kat ağırdır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. (5,97 · 10²⁴) ÷ (7,34 · 10²²) = (5,97 ÷ 7,34) · 10²⁴⁻²².
  2. ≈ 0,81 · 10² = 81.

Yaklaşık 81 kat

Değerler yaklaşıktır: NASA gezegen bilgi tablosu, IAU tanımları; Samanyolu ve gözlenebilir evren için genel kabul gören tahminler.

5 · Üslü denklemler

Tabanları eşitle

Bilinmeyenin üste olduğu denklemlere üslü denklem denir. En sık kullanılan yol, iki tarafı aynı tabanın kuvvetleri olarak yazmak ve üsleri eşitlemektir.

1 2⁰ 2 2¹ 4 2² 8 2³ 16 2⁴ 32 2⁵ 64 2⁶ 40414243 43/2 4 = 2² 8 = 2³
  1. 4ˣ = 8. Tabanlar farklı, ama ikisi de 2’nin kuvveti: 4 = 2², 8 = 2³. Merdivende 4 ikinci, 8 üçüncü basamakta.
  2. 4ˣ = (2²)ˣ = 2²ˣ: x 1 arttıkça merdivende 2 basamak çıkılır. Alttaki mavi satır: 4¹ = 2², 4² = 2⁴, 4³ = 2⁶.
  3. 8’e ulaşmak için 3 basamak gerekir: bir tam adım (2 basamak) ve yarım adım (1 basamak).
  4. Cebirle: 2²ˣ = 2³ ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 3/2.
  5. Kontrol: 43/2 = (√4)³ = 2³ = 8 ✓.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

9ˣ⁺¹ = 27 ise x kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 9 = 3², 27 = 3³: 3²⁽ˣ⁺¹⁾ = 3³.
  2. 2x + 2 = 3 → x = 1/2.

x = 1/2

Çözümlü örnek

(1/4)ˣ = 8 ise x kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 1/4 = 2⁻², 8 = 2³: 2⁻²ˣ = 2³.
  2. −2x = 3 → x = −3/2.

x = −3/2

Çözümlü örnek

2ˣ⁺² − 2ˣ = 48 ise x kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 2ˣ⁺² = 2ˣ · 2² = 4 · 2ˣ.
  2. Ortak çarpan: 2ˣ · (4 − 1) = 3 · 2ˣ = 48.
  3. 2ˣ = 16 = 2⁴ → x = 4.

x = 4

Çözümlü örnek

x² = 49 ve y³ = −27 ise x ve y nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Çift üs: x = 7 ya da x = −7.
  2. Tek üs: y = −3 (tek sayı).

x ∈ {−7, 7}, y = −3

6 · Köklü ifadeler

Kök, karenin kenarıdır

Karesi a olan negatif olmayan sayıya a’nın karekökü denir ve √a diye yazılır. Geometrik anlamı basit: √a, alanı a olan karenin kenarıdır. Genel olarak ⁿ√a = a1/n: üslü ifadelerin bir biçimidir.

2 √2√2√2 alan 18 √18
  1. Alanı 18 olan bir kare. Kenarı, karesi 18 olan sayı: √18 (yaklaşık 4,24).
  2. 18 = 9 · 2. Kareyi 3 × 3 = 9 eş küçük kareye böl.
  3. Her küçük karenin alanı 2, yani kenarı √2.
  4. Büyük karenin kenarı 3 tane küçük kenardan oluşur: √18 = 3√2.
  5. Cebirle: √18 = √(9 · 2) = √9 · √2 = 3√2. Kökün içindeki en büyük tam kare çarpan dışarı çıkar.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

√12 + √27 − √48 kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. √12 = 2√3, √27 = 3√3, √48 = 4√3.
  2. 2√3 + 3√3 − 4√3 = √3.

√3

Çözümlü örnek

6 ÷ (√5 − √2) ifadesinin paydasını kökten kurtarın.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Pay ve paydayı eşlenikle, (√5 + √2) ile çarp.
  2. Payda: (√5 − √2)(√5 + √2) = 5 − 2 = 3.
  3. 6(√5 + √2) ÷ 3 = 2(√5 + √2).

2√5 + 2√2

Çözümlü örnek

√2 ile ∛3 sayılarından hangisi büyüktür?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. Kök dereceleri farklı: ikisinin de 6. kuvvetini al (2 ile 3’ün ortak katı).
  2. (√2)⁶ = 2³ = 8, (∛3)⁶ = 3² = 9.
  3. 9 > 8, yani ∛3 daha büyük.

∛3 > √2

Deney

Kökü sadeleştir

n’yi değiştir. Kare kaç parçaya bölünüyor, her parçanın alanı ne?

2√2√2√2√2√2√2√72
Ayrıştır
72 = 6² · 2 = 36 · 2
Sadeleştir
√72 = 6√2
Yaklaşık
√72 ≈ 8,49

7 · Köklü denklemler

Karesini al, sonra kontrol et

Bilinmeyenin kök içinde olduğu denklemlerde kökü yalnız bırakır, iki tarafın uygun kuvvetini alırız: karekök için kare, küpkök için küp. Karesini alırken yeni (yanlış) kökler çıkabildiği için bulunan değeri mutlaka ilk denklemde kontrol ederiz.

Çözümlü örnek

√(x + 3) = 5 denklemini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. İki tarafın karesi: x + 3 = 25.
  2. x = 22.
  3. Kontrol: √25 = 5 ✓

Ç = {22}

Çözümlü örnek

∛(2x − 1) = 3 denklemini çözün.

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. İki tarafın küpü: 2x − 1 = 27.
  2. 2x = 28 → x = 14.
  3. Kontrol: ∛27 = 3 ✓

Ç = {14}

8 · Gündelik durumlar

Yarılanma

Radyoaktif çekirdekler bozunur; her yarılanma süresinde kalanın yarısı gider.

Geçen süre
0 yarılanma süresi
Kalan çekirdek
256 · (1/2)⁰ = 256

Soru: Kaç yarılanma süresi sonra 8 çekirdek kalır? Önce tahmin et, sonra düğmeye bas.

Çözümlü örnek

Bir bakteri kolonisi her 20 dakikada ikiye katlanıyor. 100 bakteriyle başlayan koloni 2 saat sonra kaç bakteri olur?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. 2 saat = 120 dakika = 6 dönem.
  2. 100 · 2⁶ = 100 · 64 = 6400.

6400 bakteri (besin ve yer sınırsız kabul edildi)

Çözümlü örnek

Karbon-14’ün yarı ömrü yaklaşık 5730 yıldır. Bir örnekte başlangıçtaki karbon-14’ün 1/8’i kalmışsa yaklaşık kaç yıl geçmiştir?

Çözümü gösterÇözümü gizle
  1. (1/2)ⁿ = 1/8 = (1/2)³ → n = 3 yarılanma.
  2. 3 · 5730 = 17.190 yıl.

Yaklaşık 17.190 yıl

Karbon-14 ile yaş tayini

Kısa tarih

Büyük sayıların dili

Arşimet · MÖ 3. yüzyıl

“Kum Sayacı” adlı çalışmasında evreni doldurmaya yetecek kum tanelerini saymak için büyük sayılara ad veren bir sistem kurdu; vardığı sayı bugünkü gösterimle yaklaşık 10⁶³ mertebesindeydi.

Descartes · 1637

a³ gibi üssü küçük ve yukarıda yazan gösterimi yaygınlaştırdı. Önceden aaa ya da uzun sözcüklerle yazılıyordu.

Bugün

Hesap makineleri bilimsel gösterimi “E” ile yazar: 1,5E11, yani 1,5 · 10¹¹. Gökbilim, fizik ve kimya bu dille konuşur.

√2’nin hikâyesi

Özet

Tek bakışta

aⁿn tane a’nın çarpımı. a taban, n üs.
(−2)² = 4 · −2² = −4Parantez tabanı belirler.
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿÇarpanları yan yana koy: üsler toplanır.
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿGrubu tekrarla: üsler çarpılır.
a⁰ = 1a ≠ 0. Her basamakta a’ya bölmenin devamı.
a⁻ⁿ = 1/aⁿNegatif üs: o kadar kez böl.
k · 10ⁿBilimsel gösterim: 1 ≤ k < 10.
aˣ = aʸ ⇒ x = yTabanları eşitle (a ≠ 0, ±1).
√(k² · m) = k√mEn büyük tam kare çarpan dışarı çıkar.
√(a²) = |a|Karekök hiçbir zaman negatif değildir.
(√a − √b)(√a + √b)= a − b. Eşlenikle paydayı kökten kurtar.
N₀ · (1/2)ⁿn yarılanma süresi sonra kalan.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. 2³ · 2⁴ ifadesi hangisine eşittir?
2. (3²)³ ifadesi hangisine eşittir?
3. 5⁻² kaçtır?
4. −3² + (−3)² kaçtır?
5. 0,00042 sayısının bilimsel gösterimi hangisidir?
6. 8ˣ = 32 ise x kaçtır?
7. 3ˣ⁺¹ + 3ˣ = 36 ise x kaçtır?
8. √50 ifadesinin sade biçimi hangisidir?
9. √12 + √75 kaçtır?
10. √(x − 2) = 3 ise x kaçtır?

Bu konuda neler öğrendin?

  • Üslü ifadelerin özellikleri ve üslü ifade içeren denklemler.
  • Köklü ifadeler, paydayı eşlenikle kökten kurtarma ve köklü denklemler.
  • Üs ve kök içeren denklemleri çözmek ve bunları gündelik durumlara uygulamak.

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Üslü ve Köklü Sayılar: sık sorulanlar

Üslü ve Köklü Sayılar kaçıncı sınıf konusu?

9. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Denklemler ve Eşitsizlikler” ünitesinde, “Üslü İfadeler ve Denklemler” adıyla yer alır.

Üslü ve Köklü Sayılar TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde TYT Temel Matematik konusudur ve AYT’de de sorulabilen konular arasındadır. MEB’in kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 5 adım adım sahne, 17 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Hikâyesi blogda

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

TYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol TYT Matematik konuları