TYT · Mantık
Mantık Konu Anlatımı: Önermeler
Cümleleri lambaya çeviriyoruz: doğruysa yanar, yanlışsa söner.
Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde anahtarlara dokun ve ne olduğunu gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.
Mantık nedir?
Önerme, doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak söylenebilen ifadedir. Doğru önermeye 1, yanlış önermeye 0 değeri verilir. “Ve”, “veya”, “ya da”, “ise” gibi bağlaçlarla kurulan bileşik önermelerin doğruluk değeri doğruluk tablosuyla bulunur. Mantık konusu niceleyicileri, denk önermeleri ve ispatın dilini de öğretir.
- Sınav
- TYT Matematik · AYT’de de sorulabilir
- Sınıf ve ünite
- 9. sınıf · Mantık
- MEB konusu
- Önermeler ve Bileşik Önermeler
- Bu derste
- 8 adım adım sahne, 13 çözümlü örnek, 9 soruluk sınama
Sınavda bu konu: 2018–2026
TYT · “Mantık” satırı · toplam 7 soru, yılda ortalama 0,8
| 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 | 2025 | 2026* |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 |
AYT · “Mantık” satırı · toplam 11 soru, yılda ortalama 1,4†
| 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 | 2025 | 2026* |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 1 | † | 1 | 1 | † | 1 | 1 | 1 |
Geçici veri: eğitim sitelerinin yayımladığı konu dağılımı tablolarından derlendi; ÖSYM resmî dağılım yayımlamaz. * 2026 ön değerlendirme. † 2020 ve 2023 sınavlarında 12. sınıf ikinci dönem konuları sorulmadı; ortalamaya katılmadı. Bütün konular: TYT soru dağılımı.
1 · Önerme
Hangi cümle önermedir?
Her gün yüzlerce cümle kurarız. Mantık bunların yalnızca bir türüyle ilgilenir: doğru mu yanlış mı olduğuna kesin olarak karar verebildiğimiz cümlelerle.
Aşağıda dört cümleyi sırayla doğru kutuya yerleştiriyoruz. Her adımda İleri düğmesine bas.
İstanbul Türkiye’dedir.
5 < 2
Saat kaç?
Bu film çok güzel.
- “İstanbul Türkiye’dedir.” Bu cümle kesin olarak doğrudur. Doğru ya da yanlış denebildiği için önermedir; değeri 1.
- “5 < 2” kesin olarak yanlıştır. Yanlış olması önerme olmasına engel değildir: yine önermedir; değeri 0.
- “Saat kaç?” bir soru. Soruya doğru ya da yanlış denemez, bu yüzden önerme değildir. Emir, rica ve ünlem cümleleri de böyledir.
- “Bu film çok güzel.” Kişiden kişiye değişen bir görüş; herkes için kesin bir değeri yok. Önerme değildir.
Adım 1 / 4
Deney
Sen ayır
Her cümleyi oku, önce kafanda karar ver, sonra düğmeye bas.
Bir hafta 7 gündür.
Kapıyı kapat!
2 + 2 = 5
x + 1 = 3
Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.
Yarın hava güzel olacak mı?
2 · Harf ve doğruluk değeri
p, q ve 1, 0
Önermeleri her seferinde uzun uzun yazmak yerine onlara p, q, r gibi küçük harflerle ad veririz. Bir önermenin doğru ya da yanlış olmasına doğruluk değeri denir.
Doğru için 1 (bazı kitaplarda D), yanlış için 0 (Y) yazarız. Bu derste doğru önermeyi yanan lamba, yanlış önermeyi sönük lamba ile göstereceğiz.
Bu derste karşılaşacağın işaretler
| İşaret | Okunuşu | Anlamı |
|---|---|---|
| p′ | p değil | p’nin tersi |
| ∧ | ve | ikisi birden |
| ∨ | veya | en az biri |
| ⊻ | ya da | yalnız biri |
| ⇒ | ise | koşul ⇒ sonuç |
| ⇔ | ancak ve ancak | iki yönlü koşul |
| ≡ | denktir | doğruluk değerleri aynı |
| ∀ | her | bütün elemanlar için |
| ∃ | bazı | en az bir eleman için |
Bazı kitaplar p′ yerine ~p ya da ¬p yazar; anlamı aynıdır.
3 · Bir önermenin değili
p′: tam tersi
Bir önermenin değili, onun anlamca tersidir ve p′ diye yazılır (“p değil” diye okunur). p doğruysa p′ yanlış, p yanlışsa p′ doğrudur.
Aşağıdaki anahtar p önermesini temsil ediyor. Anahtara dokun, p’nin değerini değiştir ve lambaları gözle.
| p | p | p′ | (p′)′ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
Tablo tamam: bütün durumları denedin.
Çözümlü örnek
p: “5 bir çift sayıdır.” önermesinin değilini yazın ve iki önermenin doğruluk değerini bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
- 5 tek sayıdır, bu yüzden p yanlıştır: p = 0.
- Değil, cümlenin anlamca tersidir: p′: “5 bir çift sayı değildir.”
- Değil, değeri tersine çevirir: p′ = 1.
p = 0, p′ = 1. İki kez değil alırsak başa döneriz: (p′)′ ≡ p.
4 · Denk önermeler
Aynı değer: ≡
Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir ve p ≡ q diye yazılır. Değerleri farklıysa denk değildir: p ≢ q.
Denklikte cümlelerin anlamına değil, yalnızca doğruluk değerlerine bakılır.
5 · Bileşik önerme: ve ( ∧ )
İkisi de doğruysa lamba yanar
İki önermeyi ve, veya, ya da, ise gibi bağlaçlarla birleştirince bileşik önerme elde ederiz. Bileşik önermenin değeri, parçalarının değerine ve kullanılan bağlaca göre bulunur.
“p ve q” önermesi p ∧ q diye yazılır. Bunu seri bağlı iki anahtara benzetebiliriz. Anahtar kapalıysa (1) akım geçer, açıksa (0) geçmez. Lambanın yanması için iki anahtarın da kapalı olması gerekir.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Tablo tamam: bütün durumları denedin.
- p = 1, q = 1: iki anahtar da kapalı, akım geçer, lamba yanar. p ∧ q = 1
- p = 1, q = 0: q anahtarı açık, yol kesilir, lamba sönük. p ∧ q = 0
- p = 0, q = 1: bu kez p anahtarı açık, yine akım geçmez. p ∧ q = 0
- p = 0, q = 0: ikisi de açık. p ∧ q = 0. Tabloda yalnızca ilk satır 1. Şimdi anahtarlara kendin dokun.
Adım 1 / 4
Çözümlü örnek
p: “3 bir asal sayıdır.”, q: “4 bir tek sayıdır.” olmak üzere p ∧ q önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- 3 asal sayıdır: p = 1.
- 4 çift sayıdır, tek değildir: q = 0.
- 1 ∧ 0: ikisi birden doğru değil, sonuç 0.
p ∧ q = 0 (yanlış)
6 · Bileşik önerme: veya ( ∨ )
En az biri doğruysa lamba yanar
“p veya q” önermesi p ∨ q diye yazılır. Önermelerden en az biri doğruysa doğrudur.
Bunu paralel bağlı iki anahtara benzetebiliriz: akım iki ayrı yoldan birini kullanabilir, lambanın yanması için bir yolun kapalı olması yeter.
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Tablo tamam: bütün durumları denedin.
- p = 1, q = 1: iki yoldan da akım geçer, lamba yanar. p ∨ q = 1
- p = 1, q = 0: akım üstteki p yolundan geçer. p ∨ q = 1
- p = 0, q = 1: akım alttaki q yolundan geçer. p ∨ q = 1
- p = 0, q = 0: iki anahtar da açık, akımın geçeceği yol yok. p ∨ q = 0. Şimdi kendin dene.
Adım 1 / 4
Çözümlü örnek
p: “2 > 5”, q: “7 bir tek sayıdır.” olmak üzere p ∨ q önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- 2, 5’ten büyük değildir: p = 0.
- 7 tek sayıdır: q = 1.
- 0 ∨ 1: en az biri doğru, sonuç 1.
p ∨ q = 1 (doğru)
7 · Bileşik önerme: ya da ( ⊻ )
Yalnızca biri doğruysa yanar
“p ya da q” önermesi p ⊻ q diye yazılır. Önermelerden yalnız biri doğruysa doğrudur. İkisi aynı değerdeyse (ikisi de 1 ya da ikisi de 0) yanlıştır.
Örnek: “Bu akşam sinemaya giderim ya da evde kalırım.” İkisini aynı anda yapamazsın.
Deney: Aşağıda veya ile ya da yan yana. Dört durumu da dene: iki lamba hangi durumda birbirinden ayrılıyor?
| p | q | p ∨ q | p ⊻ q |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Tablo tamam: bütün durumları denedin.
8 · Bağlaçların özellikleri
İşi kolaylaştıran kurallar
Sayılarda 2 + 3 = 3 + 2 olduğunu biliyoruz. Ve, veya, ya da bağlaçlarının da buna benzer özellikleri vardır. Bu kurallar uzun bileşik önermeleri kısaltırken (sadeleştirme) kullanılır. Her biri doğruluk tablosuyla gösterilebilir.
Değişme
p ∧ q ≡ q ∧ p
p ∨ q ≡ q ∨ p
Önermelerin sırası sonucu değiştirmez.
Birleşme
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
Aynı bağlaç tekrarlanıyorsa parantezin yeri önemli değildir.
Dağılma
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Sayılardaki 2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4 gibi: dıştaki önerme içerideki her önermeyle ayrı ayrı birleşir.
Tek kuvvet
p ∧ p ≡ p
p ∨ p ≡ p
Bir önermeyi kendisiyle birleştirmek hiçbir şey değiştirmez.
1 ve 0 ile
p ∧ 1 ≡ p · p ∧ 0 ≡ 0
p ∨ 0 ≡ p · p ∨ 1 ≡ 1
“Ve”de bir tane 0 sonucu 0 yapar; “veya”da bir tane 1 sonucu 1 yapar.
Tümleme
p ∧ p′ ≡ 0
p ∨ p′ ≡ 1
Bir önerme aynı anda hem doğru hem yanlış olamaz; ikisinden biri mutlaka doğrudur.
Ya da için
p ⊻ q ≡ q ⊻ p
p ⊻ p ≡ 0 · p ⊻ 0 ≡ p · p ⊻ 1 ≡ p′
Ya da da değişmelidir. Aynı iki değer “ya da” ile birleşince sonuç 0 olur.
Deney: dağılma kuralı gerçekten doğru mu?
Üç anahtar olduğu için 2 × 2 × 2 = 8 durum var. Hepsini dene: iki lamba hiç ayrılıyor mu?
| p | q | r | p ∧ (q ∨ r) | (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Tablo tamam: bütün durumları denedin.
9 · De Morgan kuralları
Değil içeri girince bağlaç döner
Bir bileşik önermenin değilini almak istediğimizde De Morgan kurallarını kullanırız. İki şey birlikte olur: her önerme değillenir ve bağlaç döner (∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧ gelir).
( p ∧ q )′
p′ ∧∨ q′
“Çay ve kahve içtim” doğru değil
≡ “Çay içmedim veya kahve içmedim”
(p ∨ q)′ ≡ p′ ∧ q′
- Başlangıç: (p ∧ q)′, yani “p ve q” önermesinin değili.
- Değil işareti parantezin içine girer ve her önermeye ayrı ayrı uygulanır: p′ ve q′.
- Bu sırada bağlaç da döner: ∧ gider, ∨ gelir. Sonuç: (p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′
- Veya için de aynısı geçerli: (p ∨ q)′ ≡ p′ ∧ q′
Adım 1 / 4
Çözümlü örnek
“Ali hem çalışkan hem dikkatlidir.” önermesinin değilini yazın.
Çözümü gösterÇözümü gizle
- Önermeleri adlandır. p: “Ali çalışkandır.”, q: “Ali dikkatlidir.” “Hem … hem” bağlacı “ve” demektir: p ∧ q.
- Değilini al: (p ∧ q)′.
- De Morgan: (p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′.
- Cümleye çevir. p′: “Ali çalışkan değildir.”, q′: “Ali dikkatli değildir.”
“Ali çalışkan değildir veya dikkatli değildir.”
Deney
İki lamba hep aynı mı?
Her kutuda bütün durumları dene. Sol ve sağ lamba hiç ayrılıyor mu?
| p | q | (p ∧ q)′ | p′ ∨ q′ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
Tablo tamam: bütün durumları denedin.
| p | q | (p ∨ q)′ | p′ ∧ q′ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
Tablo tamam: bütün durumları denedin.
Hiç ayrılmıyorlar. Doğruluk tablosu kuralı böyle kanıtlar: iki önerme her durumda aynı değeri alıyorsa denktir.
10 · Koşullu önerme: ise ( ⇒ )
Söz ne zaman bozulur?
“p ise q” önermesi p ⇒ q diye yazılır ve koşullu önerme adını alır. p’ye hipotez (koşul), q’ya hüküm (sonuç) denir.
Koşullu önermeyi bir söz gibi düşün: “Sınavdan 100 alırsan sana kitap alırım.” Söz yalnızca koşul gerçekleştiği hâlde sonuç gerçekleşmezse bozulur.
“Sınavdan 100 alırsan sana kitap alırım.”
p: 100 aldın q: Kitap aldım
| p | q | p ⇒ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
- 100 aldın (p = 1), kitabını aldım (q = 1): söz tutuldu. p ⇒ q = 1
- 100 aldın (p = 1) ama kitap yok (q = 0): söz bozuldu. p ⇒ q = 0. Yanlış olan tek durum budur.
- 100 almadın (p = 0) ama yine de kitap aldım (q = 1): koşul gerçekleşmedi, söz bozulmadı. p ⇒ q = 1
- 100 almadın (p = 0), kitap da yok (q = 0): söz yine bozulmadı. p ⇒ q = 1
Adım 1 / 4
Çözümlü örnek
p: “2 + 2 = 5”, q: “3 < 1” olmak üzere p ⇒ q önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- 2 + 2 = 4 olduğundan p = 0.
- 3, 1’den küçük değildir: q = 0.
- Durum 0 ⇒ 0. Koşullu önerme yalnızca 1 ⇒ 0 iken yanlıştır; bu o durum değil.
p ⇒ q = 1 (doğru)
Deney
p ⇒ q ile p′ ∨ q aynı mı?
“İse” bağlacını sadeleştirmede kullanabilmek için onu “veya” ile yazmak işe yarar. Aşağıdaki iki lamba p ⇒ q ve p′ ∨ q önermelerini gösteriyor. Dört durumu da dene.
| p | q | p ⇒ q | p′ ∨ q |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
Tablo tamam: bütün durumları denedin.
11 · Karşıt, ters, karşıt ters
Yer değiştir, değil ekle
Bir p ⇒ q koşullu önermesinden üç yeni koşullu önerme türetilir:
- Karşıtı: q ⇒ p. Hipotez ile hüküm yer değiştirir.
- Tersi: p′ ⇒ q′. İkisinin de değili alınır.
- Karşıt tersi: q′ ⇒ p′. Hem yer değiştirilir hem değil alınır.
Sekmelere dokun; her birinin cümlesini ve doğruluk tablosundaki sütununu gör.
p ⇒ q
Yağmur yağıyorsa yer ıslaktır.
p: Yağmur yağıyor. q: Yer ıslak.
q ⇒ p
Yer ıslaksa yağmur yağıyordur.
Yerleri değiştir. Ama yer hortumla da ıslanır: her zaman aynı değerde değil.
p′ ⇒ q′
Yağmur yağmıyorsa yer ıslak değildir.
İkisine de değil ekle. Karşıtıyla hep aynı değerde.
q′ ⇒ p′
Yer ıslak değilse yağmur yağmıyordur.
Hem yer değiştir hem değil ekle. Kendisiyle hep aynı değerde.
| p | q | p ⇒ q | q ⇒ p | p′ ⇒ q′ | q′ ⇒ p′ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Aynı renkli sütunlar hep eşit: p ⇒ q ≡ q′ ⇒ p′ · q ⇒ p ≡ p′ ⇒ q′
Çözümlü örnek
“Bir sayı 4’e bölünüyorsa 2’ye bölünür.” önermesinin karşıt tersini yazın.
Çözümü gösterÇözümü gizle
- p: “Sayı 4’e bölünür.”, q: “Sayı 2’ye bölünür.” Önerme p ⇒ q.
- Karşıt tersi q′ ⇒ p′: önce yer değiştir, sonra ikisinin de değilini al.
- q′: “Sayı 2’ye bölünmez.”, p′: “Sayı 4’e bölünmez.”
“Bir sayı 2’ye bölünmüyorsa 4’e bölünmez.” Karşıt tersi asıl önermeye denk olduğu için bu da doğrudur.
12 · İki yönlü koşullu önerme ( ⇔ )
İkisi aynıysa yanar
“p ancak ve ancak q” önermesi p ⇔ q diye yazılır ve iki yönlü koşullu önerme adını alır. Anlamı: hem p ⇒ q hem de q ⇒ p doğrudur. Matematikte “p için gerek ve yeter şart q’dur” cümlesi de aynı anlama gelir.
p ile q aynı değerdeyse (ikisi de 1 ya da ikisi de 0) doğru, farklıysa yanlıştır. Deneyde ikinci lamba (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) önermesini gösteriyor.
| p | q | p ⇔ q | (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
Tablo tamam: bütün durumları denedin.
Çözümlü örnek
p: “5 > 3”, q: “5 − 3 = 3” olmak üzere p ⇔ q önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
- 5, 3’ten büyüktür: p = 1.
- 5 − 3 = 2 olduğundan q = 0.
- Değerler farklı: 1 ve 0.
p ⇔ q = 0 (yanlış)
13 · Sadeleştirme
Uzun önermeyi kısalt
Uzun bir bileşik önermeyi, değerini değiştirmeden daha kısa bir önermeye dönüştürmeye sadeleştirme denir. Bunun için gördüğün kuralları kullanırız: dağılma, tümleme, 1 ve 0 ile işlemler, p ⇒ q ≡ p′ ∨ q ve De Morgan.
Her adımda tek bir kural uygula ve kuralın adını yanına yaz. Böylece hata yapma ihtimalin azalır.
(p ∧ q) ∨ (p ∧ q′)
≡ p ∧ (q ∨ q′) dağılma
≡ p ∧ 1 tümleme
≡ p p ∧ 1 ≡ p
- Uzun önerme: (p ∧ q) ∨ (p ∧ q′). Dikkat et: iki parantezde de p var.
- Dağılma kuralını tersinden kullan: ortak olan p’yi parantezin dışına al.
- Tümleme: q ya doğrudur ya yanlış, ikisinden biri mutlaka 1’dir: q ∨ q′ ≡ 1
- p ∧ 1 ≡ p. Uzun önerme yalnızca p’ye denkmiş.
Adım 1 / 4
Çözümlü örnek
(p ⇒ q) ∧ p önermesinin en sade hâlini bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
- “İse”yi “veya”ya çevir: (p ⇒ q) ∧ p ≡ (p′ ∨ q) ∧ p
- Dağılma: ≡ (p′ ∧ p) ∨ (q ∧ p)
- Tümleme: p′ ∧ p ≡ 0, yani ≡ 0 ∨ (q ∧ p)
- 0 ile veya: 0 ∨ (q ∧ p) ≡ q ∧ p. Değişme ile q ∧ p ≡ p ∧ q
(p ⇒ q) ∧ p ≡ p ∧ q
Çözümlü örnek: üç önerme
(p ∨ q) ∧ (p ∨ q′) ∧ r önermesinin en sade hâlini bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
- İlk iki parantezde p ortak. Dağılma: (p ∨ q) ∧ (p ∨ q′) ≡ p ∨ (q ∧ q′)
- Tümleme: q ∧ q′ ≡ 0, yani p ∨ 0
- 0 ile veya: p ∨ 0 ≡ p
- Kenarda bekleyen r’yi geri koy: p ∧ r
(p ∨ q) ∧ (p ∨ q′) ∧ r ≡ p ∧ r
Deney
Kısası uzununa denk mi?
Anahtarlarla bütün durumları dene: iki lamba hiç ayrılmıyorsa sadeleştirme doğrudur.
| p | q | (p ∧ q) ∨ (p ∧ q′) | p |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Tablo tamam: bütün durumları denedin.
| p | q | r | (p ∨ q) ∧ (p ∨ q′) ∧ r | p ∧ r |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Tablo tamam: bütün durumları denedin.
14 · Açık önerme
x değişince değer değişir
“x + 1 = 3” cümlesi doğru mu yanlış mı? x’in ne olduğunu bilmeden karar veremeyiz. İçinde değişken bulunan ve değişkenin aldığı değere göre doğru ya da yanlış olan cümlelere açık önerme denir; p(x) diye yazılır.
x’e bir değer verilince açık önerme önermeye dönüşür. Kaydırıcıyı oynat ve lambaları gözle. Sayı şeridinde önermeyi doğru yapan değerler sarıyla işaretli.
p(x): x + 1 = 3
Doğru yapan değerler: { 2 }
q(x): x > 3
Doğru yapan değerler: { 4, 5, 6 }
x = 0 için p(x) yanlış, q(x) yanlış.
15 · Her ( ∀ ) ve bazı ( ∃ )
Hepsi mi, en az biri mi?
Açık önermeyi önermeye çevirmenin bir yolu da her ya da bazı sözcüklerini eklemektir. Bu sözcüklere niceleyici denir.
- ∀ (her): “bütün x’ler için” demektir. Önermenin doğru olması için hepsinin uyması gerekir; tek bir aykırı örnek onu yanlış yapar.
- ∃ (bazı): “en az bir x için” demektir. Doğru olması için bir tane uygun örnek yeter.
Aşağıda x, {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarıdır. İleri düğmesiyle sayıları tek tek kontrol edelim.
x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∀x, x > 0
∀x, x çifttir
∃x, x > 5
(∀x, x çift)′ ≡ ∃x, x çift değil
- ∀x, x > 0: “Her x sıfırdan büyüktür.” Altı sayının hepsi uyuyor, hepsi yeşil. Önerme doğru: 1
- ∀x, x çifttir: “Her x çifttir.” 1 çift değil. Tek bir aykırı örnek yeter: önerme yanlış: 0
- ∃x, x > 5: “Bazı x’ler 5’ten büyüktür.” 6 uyuyor. Bir tane bulmak yeter: önerme doğru: 1
- Değili: “Her x çifttir” doğru değil ≡ “Bazı x’ler çift değildir.” Mavi toplar (1, 3, 5) bunun örneği.
Adım 1 / 4
Çözümlü örnek: sözelden sembole
“Bazı doğal sayıların karesi 9’dur.” önermesini sembollerle yazın ve doğruluk değerini bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
- “Bazı” → ∃, “doğal sayı” → x ∈ ℕ, “karesi 9’dur” → x² = 9.
- Sembolik yazılış: ∃x ∈ ℕ, x² = 9.
- x = 3 için 3² = 9. “Bazı” için bir tane örnek bulmak yeter.
∃x ∈ ℕ, x² = 9 · Önerme doğrudur (1).
Çözümlü örnek: sembolden söze
∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 önermesini sözle ifade edin ve doğruluk değerini bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
- ∀ → “her”, x ∈ ℝ → “gerçek sayı”, x² ≥ 0 → “karesi sıfıra eşit ya da sıfırdan büyüktür”.
- Sözel: “Her gerçek sayının karesi sıfıra eşit ya da sıfırdan büyüktür.”
- Pozitif, negatif ya da sıfır; hangi gerçek sayının karesini alırsan al sonuç negatif olmaz. Aykırı örnek yok.
Önerme doğrudur (1).
16 · Tanım, aksiyom, teorem, ispat
Matematiğin binası
Matematik bir bina gibi kurulur. Temelde tanımlar ve aksiyomlar vardır. Teoremler bu temelin üstüne, ispatlarla yerleştirilir. Bir teorem ispatlanınca yeni teoremlerin ispatında kullanılabilir.
a = 2m, b = 2n ise a + b = 2(m + n): 2’nin katı, yani çift.
a ve b çift sayıysa ⇒ a + b çift sayıdır.
Çift sayı: 2 ile tam bölünen tam sayı.
İki farklı noktadan tek bir doğru geçer.
hipotez ⇒ hüküm
- Tanım bir kavramın ne olduğunu kesin olarak söyler. Örnek: “Çift sayı, 2 ile tam bölünebilen tam sayıdır.”
- Aksiyom, kanıt istemeden doğru kabul ettiğimiz temel bilgidir. Örnek: “İki farklı noktadan yalnız bir doğru geçer.”
- Teorem, doğru olduğu kanıtlanması gereken önermedir. Örnek: “İki çift sayının toplamı çifttir.”
- İspat, teoremin neden doğru olduğunu tanımlardan ve aksiyomlardan yola çıkarak adım adım gösterir.
- Teoremler çoğu zaman p ⇒ q biçimindedir: hipotez (p, verilen) ⇒ hüküm (q, gösterilecek).
Adım 1 / 5
Çözümlü örnek
“Bir üçgenin iki kenarı eşitse bu kenarların karşısındaki açılar da eşittir.” teoreminin hipotezini ve hükmünü yazın.
Çözümü gösterÇözümü gizle
- Teoremi “p ise q” biçiminde düşün: p “ise”den (burada “-se” ekinden) önceki kısım, q sonraki kısım.
- Hipotez (verilen): Üçgenin iki kenarı eşittir.
- Hüküm (gösterilecek): Bu kenarların karşısındaki açılar eşittir.
Hipotez: iki kenar eşit · Hüküm: karşılarındaki açılar eşit
İspat örneği
“İki çift sayının toplamı çifttir.” teoremini ispatlayın.
Çözümü gösterÇözümü gizle
- Hipotez: a ve b çift sayılardır. Hüküm: a + b çifttir.
- Tanımı kullan: çift sayı 2 ile tam bölünür. O hâlde bir m tam sayısı için a = 2m, bir n tam sayısı için b = 2n.
- Topla: a + b = 2m + 2n = 2(m + n).
- m + n bir tam sayıdır. Yani a + b, 2’nin tam katıdır ve tanıma göre çifttir.
Hipotezden hükme ulaştık: teorem ispatlandı.
Kısa tarih
Mantığı hesaba çevirenler
Leibniz · 1646–1716
Alman matematikçi ve filozof. Düşünmeyi sembollerle, hesap yapar gibi kurallara bağlamayı hayal etti. Yalnızca 0 ve 1 kullanan ikili sayı sistemi üzerine yazdı.
Boole · 1815–1864
İngiliz matematikçi. 1854’te yayımladığı çalışmada mantığı 1 ve 0 ile çalışan bir cebire dönüştürdü. Bu dersteki ve, veya, değil işlemleri bu cebirin temelidir.
Bugün
Bilgisayar ve telefon işlemcilerindeki milyarlarca küçük anahtar, ve, veya, değil kurallarıyla çalışır. İnternette “ve”, “veya” kullanarak arama yapmak da aynı mantıktır.
Özet
Tek bakışta
Kendini dene
9 soru
Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.
Bu konuda neler öğrendin?
- Önerme, doğruluk değeri, denk önermeler ve bir önermenin değili kavramları.
- 'Ve', 'veya', 'ya da' ile kurulan bileşik önermeler; doğruluk tablosuyla De Morgan kuralları.
- Koşullu ve iki yönlü koşullu önermeler; karşıt, ters ve karşıt ters önermeler.
- Her ve bazı niceleyicileri; niceleyicili önermeleri sözel ve sembolik biçimler arasında çevirme.
- Tanım, aksiyom, teorem ve ispat kavramları; bir teoremin hipotezi ve hükmü.
Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.
Mantık: sık sorulanlar
Mantık kaçıncı sınıf konusu?
9. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Mantık” ünitesinde, “Önermeler ve Bileşik Önermeler” adıyla yer alır.
Mantık TYT’de mi, AYT’de mi?
Konu çizgimizde TYT Temel Matematik konusudur ve AYT’de de sorulabilen konular arasındadır. MEB’in kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.
Bu ders ücretsiz mi?
Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 8 adım adım sahne, 13 çözümlü örnek ve 9 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.
Hikâyesi blogda
Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et
TYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.