AYT · Türev

Türev Konu Anlatımı

Hızölçer ortalama hızı değil, o anki hızı gösterir. Ortalamadan anlığa geçmek, kirişi teğete çevirmektir: türev, bir fonksiyonun o andaki değişim hızı ve grafiğinin o noktadaki eğimidir.

f′(a)teğetin eğimi
n · xⁿ⁻¹xⁿ’in türevi
f′g + fg′çarpımın türevi
6,48 m/sAy’da düşen taşın t = 4 s’deki hızı

Animasyonlu bölümlerde İleri → düğmesine basarak adım adım ilerle. Deneylerde h’yi sıfıra yaklaştır, teğeti eğri üzerinde kaydır, kuralları sayılarla sına ve ne olduğunu gözle. Her bölümün sonunda çözümlü örnekler var: önce kendin düşün, sonra Çözümü göster.

Derse başla ↓

Türev nedir?

Türev, bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızıdır. Ortalama değişim hızı (f(a + h) − f(a)) ÷ h ifadesinde h sıfıra yaklaşırken bulunan limit f′(a) ile gösterilir. Geometride türev, grafiğe o noktada çizilen teğetin eğimidir. Toplam, fark, çarpım, bölüm ve zincir kuralları türevi hızlıca almayı sağlar.

Sınav: AYT Matematik
Sınıf ve ünite: 12. sınıf · Türev
MEB konusu: Anlık Değişim Oranı ve Türev
Bu derste: 4 adım adım sahne, 13 çözümlü örnek, 10 soruluk sınama

1 · Anlık değişim oranı

Ay’da düşen taşın hızı

Önceki derste bir aralıktaki ortalama değişim hızını, yani kirişin eğimini hesapladık. Ama bir hızölçer ortalamayı değil, o anki hızı gösterir. Aralığı gittikçe daraltarak tek bir andaki hıza ulaşacağız.

aralık (s)	Δs (m)	Δs ÷ Δt (m/s)
[4, 6]	16,2	8,1
[4, 5]	7,29	7,29
[4; 4,1]	0,6561	6,561
[4; 4,01]	0,064881	6,4881
Δt → 0		6,48

Ay’da 81 m yüksekliğinde bir kayalıktan bir taş bırakalım (hayalî bir deney). Ay’da hava yok, çekim ivmesi 1,62 m/s²: taşın t saniyede düştüğü yol s(t) = 0,81t² metre. Soru: bırakıldıktan tam 4 saniye sonra taş ne hızla düşüyor?
Önceki derste gördüğümüz ortalama hızla başlayalım. [4, 6] aralığında: [s(6) − s(4)] ÷ (6 − 4) = (29,16 − 12,96) ÷ 2 = 8,1 m/s. Bu, P ile Q’yu birleştiren kirişin eğimi.
Aralığı daraltalım. [4, 5] aralığında: (20,25 − 12,96) ÷ 1 = 7,29 m/s. Q, P’ye yaklaştı; kiriş biraz yatıklaştı.
Daha da daraltalım: [4; 4,1] aralığında 6,561 m/s, [4; 4,01] aralığında 6,4881 m/s. Ortalama hızlar bir sayıya yaklaşıyor: 6,48.
Genel olarak [4; 4 + h] aralığında ortalama hız 0,81 · (8 + h) = 6,48 + 0,81h. h sıfıra yaklaşırken bu değer 6,48’e yaklaşır. Q, P’ye kavuşur; kiriş, eğriye P’de dokunan teğete dönüşür. Taşın t = 4 s’deki anlık hızı 6,48 m/s: teğetin eğimi.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

Aynı taş 81 m’lik kayalıktan kaç saniyede yere düşer? Yere çarptığı andaki hızı kaç m/s’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

0,81t² = 81 → t² = 100 → t = 10 s.
[10; 10 + h] aralığında ortalama hız: [0,81 · (10 + h)² − 81] ÷ h = 0,81 · (20 + h) = 16,2 + 0,81h.
h → 0 iken 16,2 m/s’ye yaklaşır. Karşılaştırma: Dünya’da, havayı yok sayarsak, aynı düşüş yaklaşık 4,1 s sürer ve taş yaklaşık 39,9 m/s hızla çarpar.

10 s ve 16,2 m/s

Çözümlü örnek

Önceki dersteki model roket h(t) = 4t² metre yükseliyordu; [1, 3] aralığındaki ortalama hızı 16 m/s idi. Roketin t = 3 s’deki anlık hızı kaç m/s’dir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Artışa k diyelim: [h(3 + k) − h(3)] ÷ k = [4 · (3 + k)² − 36] ÷ k = (24k + 4k²) ÷ k = 24 + 4k.
k → 0 iken 24 m/s. Ortalama hız (16 m/s) bundan küçük: roket hızlanıyor. Aynı yolla t = 2 s’deki anlık hız 16 m/s çıkar; bu model için ortalama hız, aralığın ortasındaki anlık hıza eşit.

24 m/s

2 · Türev ve teğet

Kirişi teğete çevir

Ay’daki taşta yaptığımızı her fonksiyonda yapabiliriz. Eğri üzerinde P(a, f(a)) noktasını sabitleyelim, Q(a + h, f(a + h)) noktasını ona yaklaştıralım. h sıfıra yaklaşırken kirişin eğimi bir sayıya yaklaşıyorsa, bu sayı f’nin a’daki türevidir.

Q, P’ye sağdan (h > 0) ya da soldan (h < 0) yaklaşabilir. Aşağıda dene: h’yi küçült, işaretini değiştir. İki yandan aynı sayıya mı gidiyor?

f(x) = x²

a: 1 h: 1 (sağdan)

Kiriş eğimi: —

h	±0,1	±0,01	±0,001	yaklaştığı
sağdan (h > 0)	—	—	—	—
soldan (h < 0)	—	—	—	—

—

Çözümlü örnek

f(x) = x² − 3x fonksiyonunun x = 2’deki türevini tanımla bulun. Grafiğin bu noktadaki teğetinin denklemini yazın.

Çözümü gösterÇözümü gizle

f(2) = 4 − 6 = −2 ve f(2 + h) = (2 + h)² − 3 · (2 + h) = h² + h − 2.
[f(2 + h) − f(2)] ÷ h = (h² + h) ÷ h = h + 1. h → 0 iken 1’e yaklaşır: f′(2) = 1.
Teğet (2, −2) noktasından geçer, eğimi 1: y − (−2) = 1 · (x − 2) → y = x − 4.

f′(2) = 1; teğet y = x − 4

Çözümlü örnek

f(x) = x² (x ≤ 1 ise), 3x − 2 (x > 1 ise) fonksiyonunun x = 1’de türevi var mıdır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

f(1) = 1. Sağdan (h > 0): [f(1 + h) − f(1)] ÷ h = [3 · (1 + h) − 2 − 1] ÷ h = 3h ÷ h = 3. Sağdan türev 3.
Soldan (h < 0): [(1 + h)² − 1] ÷ h = (2h + h²) ÷ h = 2 + h → 2.
3 ≠ 2: f′(1) yok. Grafik x = 1’de kopuk değil (iki parça da 1 veriyor) ama orada sivri bir köşe var. Deneyde “Parçalı 2”yi seçip gör.

Yok: sağdan türev 3, soldan türev 2

3 · Türevlenebilirlik

Türev nerede yok?

Türev, teğetin eğimiydi. Öyleyse tek bir teğet çizilemeyen noktada türev de yoktur. Böyle noktaları grafikte gözle bulmayı öğrenelim.

Grafik, [−4, 5] aralığında tanımlı bir f fonksiyonunun. Bir noktada türev olması için orada tek bir teğet çizilebilmeli: sağdan türev ile soldan türev var ve eşit olmalı.
x = −1’de grafik pürüzsüz. Soldan yarı teğet (mor) ile sağdan yarı teğet (turuncu) tek bir doğru oluşturuyor: soldan türev = sağdan türev = 1. f′(−1) = 1.
x = −2’de grafik kesintisiz ama sivri: soldan eğim −1, sağdan eğim 2. İki yarı teğet tek bir doğru oluşturmuyor: f, x = −2’de türevlenemez. Sürekli olmak türev için yetmez.
x = 1’de grafik kopuk: f(1) = 2,5 ama hemen sağdaki değerler 0’a yakın. Sağdan kirişler (turuncu) gittikçe dikleşiyor, bir sayıya yaklaşmıyor. Süreksiz noktada türev yoktur.
x = 3’te formül değişiyor (kesikli çizgi), ama iki parça aynı yükseklikte ve aynı eğimle birleşiyor: soldan 1, sağdan 1. f′(3) = 1. Parçalı olmak türevsiz olmak demek değil.
Özet: f, x = −2 ve x = 1 dışında (−4, 5) aralığının her noktasında türevlenebilir. Türevlenebildiği aralıklar (yeşil): (−4, −2), (−2, 1) ve (1, 5).

Adım 1 / 6

Çözümlü örnek

f(x) = ax² + 1 (x < 1 ise), 4x + b (x ≥ 1 ise) fonksiyonu x = 1’de türevlenebilir olduğuna göre a ve b kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Türevlenebilen fonksiyon süreklidir: soldan gelen değer a · 1² + 1 = a + 1, f(1) = 4 + b. Öyleyse a + 1 = 4 + b.
Soldan türev: [a · (1 + h)² + 1 − (a + 1)] ÷ h = a · (2 + h) → 2a. Sağdan türev: [4 · (1 + h) + b − (4 + b)] ÷ h = 4.
Eşit olmalı: 2a = 4 → a = 2. Sonra 2 + 1 = 4 + b → b = −1.

a = 2 ve b = −1

Çözümlü örnek

f(x) = |x² − 4| fonksiyonunun türevlenemediği noktaları bulun.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Mutlak değerin içi x = −2 ve x = 2’de sıfır olur ve işaret değiştirir: grafik orada x ekseninden yukarı “katlanır”.
x = 2’de f(2) = 0. Sağdan (h > 0): [(2 + h)² − 4] ÷ h = 4 + h → 4. Soldan (h < 0): içi negatif, f(2 + h) = −[(2 + h)² − 4]; oran −(4 + h) → −4. Farklı: türev yok.
x = −2’de de sağdan türev 4, soldan türev −4 çıkar. f, x = −2 ve x = 2’de türevlenemez; başka her yerde türevlenebilir.

x = −2 ve x = 2

4 · Türev fonksiyonu

Teğeti kaydır, türevi çiz

Her x için teğetin eğimini hesaplarsak yeni bir fonksiyon elde ederiz: türev fonksiyonu f′(x). Aşağıda noktayı eğri üzerinde gezdir; her konumdaki eğim alttaki grafiğe bir nokta olarak işlensin. x² için noktalar hangi doğruyu oluşturuyor? x³ için hangi eğriyi? |x − 1| için x = 1’de ne oluyor?

x: 1

f(x) = x²

y = f(x) ve teğeti

türev grafiği: y = f′(x)

Nokta: —
Teğetin eğimi: —
Türev fonksiyonu: ?

Noktayı kaydır: her konumda teğetin eğimi alttaki grafiğe bir nokta olarak işleniyor. Noktalar hangi grafiği oluşturuyor?

Çözümlü örnek

f(x) = 2x⁵ − 3x² + 7x − 4 ise f′(x) ve f′(1) nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Terim terim: (2x⁵)′ = 2 · 5x⁴ = 10x⁴; (−3x²)′ = −6x; (7x)′ = 7; (−4)′ = 0.
f′(x) = 10x⁴ − 6x + 7; f′(1) = 10 − 6 + 7 = 11.

f′(x) = 10x⁴ − 6x + 7; f′(1) = 11

Çözümlü örnek

f(x) = 6√x − 8 ÷ x ise f′(4) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

6√x = 6x^1/2: türevi 6 · (1/2) · x^−1/2 = 3 ÷ √x.
−8 ÷ x = −8x⁻¹: türevi −8 · (−1) · x⁻² = 8 ÷ x².
f′(4) = 3 ÷ 2 + 8 ÷ 16 = 1,5 + 0,5 = 2.

5 · Çarpım ve bölüm

İki şerit, iki terim

Toplamın türevi terim terim alınıyordu. Çarpımda da öyle mi? Bir dikdörtgenin büyümesine bakalım.

İki fonksiyonun çarpımını bir dikdörtgenin alanı gibi düşünelim: kenarları f(x) ve g(x), alanı A = f · g. x değişince kenarlar da alan da değişir. Alan ne hızla değişir?
x biraz (Δx kadar) artınca kenarlar Δf ve Δg kadar uzar. Dikdörtgene sağdan bir şerit, üstten bir şerit ve köşede küçük bir dikdörtgen eklenir.
Alandaki artış üç parçanın toplamı: ΔA = g · Δf + f · Δg + Δf · Δg.
Δx’e bölelim: ΔA ÷ Δx = g · (Δf ÷ Δx) + f · (Δg ÷ Δx) + Δf · (Δg ÷ Δx). Δx → 0 iken Δf ÷ Δx → f′, Δg ÷ Δx → g′ ve Δf → 0: köşedeki parça kaybolur. (f · g)′ = f′ · g + f · g′.
Türev iki şeritten gelir: biri f’nin, öbürü g’nin değişiminden. (f · g)′, f′ · g′ değildir: örneğin x · x = x²’nin türevi 2x, oysa 1 · 1 = 1.

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

f(x) = (x² + 1) · (2x − 3) ise f′(1) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Çarpım kuralı: f′(x) = 2x · (2x − 3) + (x² + 1) · 2.
f′(1) = 2 · (−1) + 2 · 2 = −2 + 4 = 2.
Denetim: çarpımı açınca f(x) = 2x³ − 3x² + 2x − 3 ve f′(x) = 6x² − 6x + 2; f′(1) = 2. Aynı sonuç.

Çözümlü örnek

f(x) = (3x − 1) ÷ (x + 2) ise f′(x) ve f′(0) nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Pay 3x − 1, türevi 3. Payda x + 2, türevi 1.
f′(x) = [3 · (x + 2) − (3x − 1) · 1] ÷ (x + 2)² = 7 ÷ (x + 2)².
f′(0) = 7 ÷ 4 = 1,75.

f′(x) = 7 ÷ (x + 2)²; f′(0) = 1,75

Deney

Kuralı sına

Bir kural ve iki fonksiyon seç. Kurala göre bulduğun türev, çok küçük bir kirişin eğimiyle tutuyor mu? Kırmızı satırdaki kısa yol neden tutmuyor?

f(x)

g(x)

a: 1

F(x) = x² · (2x + 1)

Değerler: —
Kural: —
Kurala göre: —
Ölçüm (kiriş): —
Yanlış kural: —

6 · Zincir kuralı

İki makine art arda

Bileşke fonksiyon, iki fonksiyonun art arda uygulanmasıdır: (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Türevini bulmak için iki fonksiyonun “büyütmelerini” çarparız.

y = (x² + 1)³ fonksiyonunu iki makine gibi düşünelim: önce u = x² + 1, sonra y = u³. Yani y = f(g(x)); içteki g(x) = x² + 1, dıştaki f(u) = u³. x = 1 için u = 2 ve y = 8.
x’i 0,01 artıralım: u = 1,01² + 1 = 2,0201. u’daki değişim x’tekinin 2,01 katı, yaklaşık g′(1) = 2 katı (g′(x) = 2x).
u, 2’den 2,0201’e çıkınca y ≈ 8,2436 olur. y’deki değişim u’dakinin yaklaşık 12 katı, yani f′(2) = 12 katı (f′(u) = 3u²).
İki büyütme art arda: y’deki değişim x’tekinin yaklaşık 2 · 12 = 24 katı. Gerçekten (8,2436 − 8) ÷ 0,01 ≈ 24,36; Δx → 0 iken tam 24.
Genel kural: (f ∘ g)′(x) = f′(g(x)) · g′(x). Dıştakinin türevi, içteki olduğu gibi bırakılarak alınır; sonra içtekinin türeviyle çarpılır. Leibniz yazımıyla dy/dx = (dy/du) · (du/dx).

Adım 1 / 5

Çözümlü örnek

f(x) = (2x + 1)⁴ ise f′(x) ve f′(0) nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Dış: u⁴, türevi 4u³. İç: 2x + 1, türevi 2.
f′(x) = 4 · (2x + 1)³ · 2 = 8 · (2x + 1)³.
f′(0) = 8 · 1³ = 8.

f′(x) = 8 · (2x + 1)³; f′(0) = 8

Çözümlü örnek

f(x) = √(x² + 9) ise f′(4) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Dış: √u, türevi 1 ÷ (2√u). İç: x² + 9, türevi 2x.
f′(x) = 2x ÷ (2√(x² + 9)) = x ÷ √(x² + 9).
f′(4) = 4 ÷ √25 = 4 ÷ 5 = 0,8.

0,8

Çözümlü örnek

f ve g türevlenebilir fonksiyonlar; g(1) = 3, g′(1) = −2 ve f′(3) = 5. (f ∘ g)′(1) kaçtır?

Çözümü gösterÇözümü gizle

(f ∘ g)′(1) = f′(g(1)) · g′(1) = f′(3) · (−2).
= 5 · (−2) = −10.

−10

Kısa tarih

Düşen taştan limite

Galileo · 1638

İki Yeni Bilim adlı kitabında, serbest düşen bir cismin aldığı yolun geçen zamanın karesiyle orantılı olduğunu gösterdi.

Newton · 1665–1666

Veba yüzünden üniversitenin kapandığı yıllarda, anlık değişim hızını hesaplamak için “akışlar” adını verdiği yöntemi geliştirdi.

Lagrange · 1797

Analitik Fonksiyonlar Kuramı adlı kitabında f′(x) gösterimini kullandı ve bu fonksiyona “türev fonksiyon” adını verdi.

Cauchy · 1823

Türevi, [f(x + h) − f(x)] ÷ h oranının h sıfıra yaklaşırken limiti olarak tanımladı: bugün kullandığımız tanım.

Galileo ve serbest düşme · Newton, Leibniz ve kalkülüs · Zenon paradoksları

Özet

Tek bakışta

anlık değişim oranıOrtalama değişim hızının, aralık sıfıra daralırken yaklaştığı sayı.

f′(a)lim_h→0 [f(a + h) − f(a)] ÷ h

teğet eğimif′(a), grafiğin (a, f(a)) noktasındaki teğetinin eğimidir.

teğet doğrusuy − f(a) = f′(a) · (x − a)

sağdan, soldanf′(a) vardır ⇔ sağdan ve soldan türev var ve eşit.

türev yokKopuk, sivri ya da teğeti dikey olan noktada.

türevli ⇒ sürekliTersi doğru değil: |x|, x = 0’da sürekli ama türevsiz.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹Sabitin türevi 0; (c · f)′ = c · f′.

(f ± g)′f′ ± g′: terim terim.

(f · g)′f′ · g + f · g′ (f′ · g′ değil).

(f ÷ g)′(f′ · g − f · g′) ÷ g²

(f ∘ g)′f′(g(x)) · g′(x): dıştakinin türevi çarpı içtekinin türevi.

Kendini dene

10 soru

Puan kaydedilmez. Her sorudan sonra açıklamayı oku.

1. f(x) = x² + 2x için lim_h→0 [f(1 + h) − f(1)] ÷ h kaçtır?

2. Mars’ta çekim ivmesi yaklaşık 3,72 m/s². Havayı yok sayarsak bırakılan bir taşın t saniyede düştüğü yol s(t) = 1,86t² metre. Taşın t = 3 s’deki anlık hızı kaç m/s’dir?

3. f(x) = x³ − 2x² + 5 ise f′(2) kaçtır?

4. f(x) = x² + 1 fonksiyonunun grafiğine x = 1’de çizilen teğetin denklemi nedir?

5. f(x) = x² (x < 2 ise), 4x − 4 (x ≥ 2 ise) için f′(2) kaçtır?

6. Aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

7. f(x) = x² · (x + 3) ise f′(1) kaçtır?

8. f(x) = (2x + 1) ÷ (x − 1) ise f′(2) kaçtır?

9. f(x) = (x² − 3)⁴ ise f′(2) kaçtır?

10. g(2) = 1, g′(2) = 3 ve f′(1) = −2 ise (f ∘ g)′(2) kaçtır?

Bu konuda neler öğrendin?

Türev ve teğetin eğimi; sağdan ve soldan türev.
Bir noktada ve bir aralıkta türevlenebilirlik.
Toplam, fark, çarpım ve bölümün türev kurallarıyla işlemler.
Bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı).

Öğretim programındaki kazanımların kısa özetleri.

Türev: sık sorulanlar

Türev kaçıncı sınıf konusu?

12. sınıf konusudur. MEB öğretim programında “Türev” ünitesinde, “Anlık Değişim Oranı ve Türev” adıyla yer alır.

Türev TYT’de mi, AYT’de mi?

Konu çizgimizde AYT Matematik konusudur (12. sınıf). MEB’in 2026 YKS’ye esas kazanım belgesi konuları TYT ve AYT diye ayırmaz; bu ayrım bizim önerimizdir.

Bu ders ücretsiz mi?

Evet. Ders herkese açık, kayıt gerekmez: 4 adım adım sahne, 13 çözümlü örnek ve 10 soruluk bir sınama bu sayfada. Ücretsiz üye olursan portalda hangi konulara baktığın kaydedilir.

Hikâyesi blogda

Ücretsiz üyelikle kaldığın yerden devam et

AYT Matematik konularının hepsi konu çizgisinde sırayla. Üye olunca hangi konulara baktığın kaydedilir; TYT konularının tam anlatımları da portalda açılır. Toplam 58 konu anlatımı var: TYT’de 30, AYT’de 28.

Ücretsiz üye ol AYT Matematik konuları