Zenon paradoksları: Akhilleus kaplumbağayı neden yakalar?

Destanların en hızlı koşucusu Akhilleus, bir kaplumbağayla yarışıyor. Kaplumbağaya biraz önden başlama hakkı veriliyor. Akhilleus, kaplumbağanın başladığı yere vardığında kaplumbağa biraz ilerlemiş oluyor. Akhilleus o yeni noktaya vardığında kaplumbağa yine biraz ilerlemiş oluyor. Bu böyle sonsuza kadar sürüyor. Öyleyse Akhilleus kaplumbağayı hiç yakalayamaz mı?

Hepimiz gerçek bir yarışta hızlı koşucunun yavaş olanı geçtiğini biliriz. Asıl soru, yukarıdaki akıl yürütmenin nerede yanlış olduğudur. Bu soruyu yaklaşık 2500 yıl önce Eleali Zenon sordu. Bu yazıda Zenon’un paradokslarını tanıyacak, sonsuz sayıda terimin nasıl sonlu bir toplam verebildiğini adım adım hesaplayacak ve bu cevabın felsefeciler için neden hâlâ tam bir son nokta olmadığını konuşacağız.

Zenon kimdi?

Zenon, güney İtalya’daki Elea kentinde yaşadı. Yaklaşık MÖ 490 ile MÖ 430 arasında yaşadığı kabul edilir. Hocası Parmenides, gerçekliğin tek, değişmez ve bölünmez olduğunu, gördüğümüz hareket ve çokluğun bir yanılsama olduğunu savunuyordu. Zenon, bu görüşe karşı çıkanlara şunu göstermeye çalıştı: Hareketin ve çokluğun gerçek olduğunu kabul ederseniz, en az Parmenides’in görüşü kadar tuhaf sonuçlara varırsınız.

Zenon’un yaklaşık kırk paradoks içeren bir kitap yazdığı anlatılır, ama kitap günümüze ulaşmadı. Paradokslarından yalnızca birkaçını, onları eleştiren ya da yorumlayan sonraki düşünürlerin aktarımlarından biliyoruz. Bu yüzden Zenon’un tam olarak ne dediğini değil, ona atfedilen akıl yürütmeleri tartışıyoruz.

Dört hareket paradoksu

Zenon’a atfedilen hareket paradokslarından en ünlü dördü şunlardır:

• İkiye bölme: Bir yere varmak için önce yolun yarısını, sonra kalanın yarısını, sonra onun da yarısını gitmek gerekir. Sonsuz sayıda aşamayı tamamlamak imkânsız görünür.
• Akhilleus ve kaplumbağa: Hızlı koşucu, yavaş olanın az önce bulunduğu yere her vardığında, yavaş olan biraz daha ileride olur.
• Ok: Uçan bir ok, her an tam olarak kendi boyu kadar bir yeri kaplar. Her an duruyorsa, ne zaman hareket eder?
• Stadyum: Karşılıklı hareket eden sıraların birbirine göre konumlarından, bir sürenin kendi yarısına eşit olduğu gibi tuhaf bir sonuç çıkarılır.

İlk ikisi aynı sorunun iki yüzüdür: Sonsuz sayıda adım, sonlu bir sürede tamamlanabilir mi?

Akhilleus ile kaplumbağa: sayılarla

Kendi sayılarımızı seçelim. Akhilleus saniyede 10 metre, kaplumbağa saniyede 1 metre koşsun. Kaplumbağa 90 metre önden başlasın.

1. Akhilleus 90 metreyi 9 saniyede koşar. Bu sürede kaplumbağa 9 metre ilerler.
2. Akhilleus bu 9 metreyi 0,9 saniyede koşar. Kaplumbağa 0,9 metre ilerler.
3. Akhilleus 0,9 metreyi 0,09 saniyede koşar. Kaplumbağa 0,09 metre ilerler.
4. Bu böyle sürer. Her aşama bir öncekinin onda biri kadardır.

Zenon’un dikkat çektiği gibi aşamaların sayısı sonsuzdur. Ama sürelerin toplamına bakalım:

9 + 0,9 + 0,09 + 0,009 + … = 9,999…

Bu toplam 10 saniyeyi aşmaz ve 10’a istediğimiz kadar yaklaşır. Aynı sonucu denklemle de bulabiliriz. t saniye sonra Akhilleus 10t metrede, kaplumbağa 90 + t metrede olur. Eşitleyelim:

10t = 90 + t, buradan 9t = 90 ve t = 10 saniye.

Akhilleus kaplumbağayı 10. saniyede, başlangıçtan 100 metre ötede yakalar. Sonsuz aşamanın hepsi bu 10 saniyenin içine sığar.

Sonsuz bir toplam nasıl sonlu olur?

Daha sade bir toplama bakalım:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …

İlk birkaç terimi toplayarak kısmi toplamları yazalım:

• 1 terim: 0,5
• 2 terim: 0,75
• 3 terim: 0,875
• 4 terim: 0,9375
• 10 terim: yaklaşık 0,999

Her adımda 1’e kalan boşluk, son eklediğimiz terime eşittir. n terim topladığımızda eksik kalan tam olarak 1/2ⁿ kadardır. Bu boşluk istediğimiz kadar küçültülebilir ama kısmi toplam 1’i hiç geçmez. Matematikte bu duruma “toplam 1’e yakınsar” denir ve sonsuz toplamın değeri 1 olarak tanımlanır.

Bunu bir kareyle de görebiliriz: Kenarı 1 olan bir karenin yarısını boyayın, kalanın yarısını boyayın, sonra kalanın yarısını… Boyanan parçalar hiçbir zaman kareden taşmaz ve kareyi giderek doldurur.

Genel kural: geometrik seri

Her terimin bir öncekinin r katı olduğu bir toplam düşünelim: S = a + ar + ar² + ar³ + …

1. İki tarafı r ile çarpalım: rS = ar + ar² + ar³ + …
2. İlk eşitlikten ikincisini çıkaralım. Sağ tarafta a dışındaki bütün terimler birbirini götürür: S − rS = a.
3. Buradan S = a ÷ (1 − r) bulunur.

Akhilleus örneğinde a = 9 ve r = 0,1 idi: S = 9 ÷ 0,9 = 10. İkiye bölme örneğinde a = 1/2 ve r = 1/2: S = (1/2) ÷ (1/2) = 1.

Bir uyarı: Bu kural yalnızca r’nin mutlak değeri 1’den küçükken geçerlidir. r = 2 alırsak 1 + 2 + 4 + 8 + … toplamı sınırsız büyür; ama formüle körü körüne koyarsak 1 ÷ (1 − 2) = −1 gibi anlamsız bir sonuç çıkar. Terimlerin küçülmesi de tek başına yetmez. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … toplamında terimler sıfıra yaklaştığı hâlde toplam sınırsız büyür. Bu şaşırtıcı sonucun ilk ispatlarından birini Nicole Oresme yazımızda anlatıyoruz.

Matematik paradoksu çözdü mü?

Antik Çağ’da sonsuz süreçlerle dikkatli çalışmanın yolları geliştirildi. Arşimet, bir alanı giderek küçülen parçalarla tüketme yöntemini ustalıkla kullandı; bunu Arşimet ve π yazımızda görebilirsiniz. Ama “sonsuz bir toplamın değeri” kavramının bugünkü sağlam tanımı, ancak 19. yüzyılda limit kavramının kesin biçimde tanımlanmasıyla yapıldı.

Bugün matematikçilerin ve fizikçilerin büyük çoğunluğu, Akhilleus ve ikiye bölme paradokslarına verilen bu cevabı yeterli bulur: Sonsuz sayıda aralığın uzunlukları toplamı sonlu olabilir, dolayısıyla sonlu sürede katedilebilir. Ok paradoksu ise anlık hız kavramına dokunur. Bir andaki hızın, giderek küçülen zaman aralıklarındaki ortalama hızların limiti olarak tanımlanması bu soruya matematiksel bir cevap verir. Bu fikir türevin temelidir.

Yine de bazı felsefeciler, matematiksel cevabın her şeyi çözmediğini düşünür. “Sonsuz sayıda işi gerçekten tamamlamak ne demektir?” ya da “Fiziksel uzay ve zaman, matematikteki gerçek sayı doğrusu gibi sonsuz bölünebilir mi?” gibi sorular tartışılmaya devam ediyor. Kısacası hesap sorusu çözüldü; kavramsal sorular ise hâlâ düşündürüyor.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Devirli ondalık sayılar: 0,999… sayısı 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … toplamıdır. a = 0,9 ve r = 0,1 için toplam 0,9 ÷ 0,9 = 1 çıkar. Yani 0,999… ile 1 aynı sayıdır. Aynı yolla 0,333… = 0,3 ÷ 0,9 = 1/3 bulunur.
• Zıplayan top: 2 metreden bırakılan ideal bir topun her sıçramada bir önceki yüksekliğin yarısına çıktığını varsayalım. Top önce 2 metre düşer; sonra 1 metre çıkıp 1 metre iner, 0,5 metre çıkıp 0,5 metre iner ve böyle sürer. Toplam yol 2 + 2 × (1 + 0,5 + 0,25 + …) = 2 + 2 × 2 = 6 metredir. Gerçek bir top sürtünme ve deformasyon yüzünden bu modelden sapar; model yalnızca yaklaşık bir resim verir.
• Lise matematiği: Diziler, geometrik dizinin toplamı ve limit kavramı bu yazıdaki fikirlerin doğrudan karşılığıdır. Müfredattaki bu konuların yerini ne öğrettiğimizi anlattığımız sayfada görebilirsiniz.
• Kalkülüs: Anlık hız ve alan hesapları, sonsuz küçük adımları sonlu sonuçlara bağlama fikrine dayanır. Bu fikrin nasıl bir yönteme dönüştüğünü Newton ve Leibniz yazımızda anlatıyoruz.

Kapanış

Zenon hareketi inkâr etmek için sonsuzluğu kullandı. Paradoksun kilidi ise yine sonsuzlukla açıldı: Sonsuz sayıda parça, sonlu bir bütün oluşturabilir. Akhilleus kaplumbağayı yakalar, çünkü giderek kısalan adımların toplamı bir sınıra ulaşır. Zenon’un değeri, cevabı bilmemizde değil, bu cevabı dikkatle kurmaya bizi zorlamasındadır.