Aryabhata ve sinüsün yolculuğu: Bir yarım kirişten koy anlamına gelen bir kelimeye

Trigonometri dersinde ilk öğrendiğimiz kelimelerden biri sinüstür. Peki bu kelime nereden gelir? Latincede sinus “koy, kıvrım, göğüs kısmındaki kumaş katı” gibi anlamlar taşır. Bir dik üçgendeki kenar oranının bir koyla ne ilgisi olabilir?

Cevap, 1500 yılı aşkın bir yolculukta saklı. Fikir Hindistan’da bir yarım kiriş olarak doğdu, Sanskritçe bir kelimeyle anıldı, Bağdat’ta Arapçaya geçti, orada okunuşu değişti ve 12. yüzyılda Latinceye “koy” anlamına gelen bir kelimeyle çevrildi. Bu yazıda hem kelimenin hikâyesini hem de arkasındaki geometriyi adım adım göreceğiz.

Kirişten yarım kirişe

Antik Yunan astronomları açılarla uzunlukları ilişkilendirmek için kiriş kullanıyordu. Bir çemberde merkez açısı belli olan bir yayın iki ucunu birleştiren doğru parçasına kiriş denir. Açıya karşılık gelen kiriş uzunluklarını listeleyen tablolar, gökyüzündeki konum hesaplarının temel aracıydı.

Hint astronomları ise daha kullanışlı bir büyüklüğe geçti: kirişin yarısına. Nedenini bir çizimle görelim.

1. Yarıçapı r olan bir çember çizelim ve merkezden çıkan iki yarıçap arasında 2θ açısı olsun.
2. Bu iki yarıçapın uçlarını birleştiren kirişi çizelim.
3. Merkezden kirişe bir dikme indirelim. Dikme hem kirişi hem de 2θ açısını tam ortadan böler.
4. Ortaya, hipotenüsü r, bir açısı θ olan bir dik üçgen çıkar. Bu üçgende θ açısının karşısındaki kenar, kirişin tam yarısıdır.

Bugünkü gösterimle bu kenarın uzunluğu r × sin θ’dır. Yani:

kiriş(2θ) = 2 × r × sin θ

Kiriş kullanan biri, her hesapta açıyı ikiye katlayıp sonucu ikiye bölmek zorunda kalır. Yarım kiriş ise dik üçgenle doğrudan konuşur. İşte sinüs fikrinin kalbi budur.

Kendiniz deneyin

Yarıçapı 10 cm olan bir çemberde 80°’lik merkez açıyı gören kirişi düşünelim.

• Kiriş uzunluğu: 2 × 10 × sin 40° ≈ 2 × 10 × 0,6428 ≈ 12,86 cm
• Yarım kiriş: yaklaşık 6,43 cm
• Yarım kirişi yarıçapa bölersek: 6,43 ÷ 10 ≈ 0,643. Bu da sin 40°’nin değeridir.

Yarıçapı 1 birim alırsak yarım kirişin uzunluğu doğrudan sinüs değerine eşit olur. Birim çemberin trigonometri derslerinde bu kadar sık çizilmesinin nedeni de budur.

Aryabhata ve 24 sayılık tablo

Aryabhata 476’da doğdu ve Gupta İmparatorluğu döneminde, bugünkü Patna yakınlarındaki Kusumapura’da çalıştı. Kendi anlatımına göre 23 yaşındayken, 499’da, Aryabhatiya adlı eserini tamamladı. Kısa dizelerden oluşan bu eser, aritmetik, cebir, geometri ve astronomi konularını bir arada işler.

Aryabhata yarım kiriş için ardha-jya ifadesini kullandı. Jya, okun kirişi, yani okçunun gerdiği ip anlamına gelir. Bir çember yayı ve onu geren kiriş, gerçekten de bir okla kirişine benzer. Ardha ise “yarım” demektir. Zamanla ifadenin başı düştü; yarım kirişe kısaca jya ya da jiva denmeye başlandı.

Aryabhatiya’da çeyrek çember 24 eşit parçaya bölünür. 90° ÷ 24 = 3° 45′ olduğundan tablo her 3° 45′’lik adımda bir değer verir. İlginç olan, Aryabhata’nın yarım kirişlerin kendisini değil, ardışık farklarını vermesidir. İlk fark 225’tir; sonrakiler 224, 222, 219, 215 diye azalarak devam eder.

Bu sayılar hangi çembere göre? Yarıçap, açı birimiyle aynı birimle ölçülmüştür. Tam çember 360 × 60 = 21 600 açı dakikasıdır. Bu uzunluktaki bir çemberin yarıçapı:

r = 21 600 ÷ (2π) ≈ 3438

Aryabhata’nın tablosu yarıçapı 3438 birim olan bir çembere göre hazırlanmıştır. Farkları toplayarak yarım kirişlere ulaşabiliriz. Örneğin beş adım, yani 5 × 3° 45′ = 18° 45′ için:

225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105

Bugünkü hesapla 3438 × sin 18,75° ≈ 1105,1 çıkar. Aynı şekilde 30° için yarım kiriş 3438 ÷ 2 = 1719 olmalıdır; çünkü sin 30° = 1/2’dir.

Neden fark vermiş olabilir? Farklar küçük sayılardır; ezberlenmesi ve dizeye sığdırılması kolaydır. Ayrıca farkların nasıl azaldığına bakmak, ara değerleri tahmin etmek için de yol gösterir. Tablonun nasıl hesaplandığı konusunda tarihçiler farklı yeniden kurgular önerir; eser, yöntemi ayrıntılı bir ispatla vermez.

Sanskritçeden Arapçaya: jiva, ciba, ceyb

8. yüzyılın ikinci yarısında Abbasi halifesi Mansûr döneminde, Bağdat’ta Hint astronomisine ait eserler Arapçaya aktarıldı. Brahmagupta’nın bir eseri temel alınarak hazırlanan Zîcü’s-Sindhind adlı tablolar, sinüs değerlerini de içeriyordu. İslam dünyasının astronomları, Yunan kiriş geleneği yerine Hint yarım kirişini benimsedi.

Kelime Arapçaya ses olarak aktarıldı ve ciba biçiminde yazıldı. Bu kelimenin Arapçada ayrıca bir anlamı yoktu. Arap yazısında kısa ünlüler çoğu zaman yazılmadığından kelime yalnızca iki ünsüzle, c ve b ile görünüyordu. Aynı harfler, Arapçada gerçekten var olan ceyb kelimesi olarak da okunabiliyordu. Ceyb, giysinin yakasındaki açıklık, cep ya da kıvrım anlamına gelir.

Yaygın anlatıma göre terim zamanla ceyb diye okunmaya başlandı. Bu okumanın Arapça yazan bilginlerin kendi tercihi mi, yoksa sonraki okurların ve çevirmenlerin bir yanlış anlaması mı olduğu tartışmalıdır. Kesin olan, kelimenin yeni biçimiyle yerleşmesi ve Arapça astronomi metinlerinde yüzyıllarca bu adla kullanılmasıdır.

Arapçadan Latinceye: sinus

12. yüzyılda İspanya ve İtalya’da Arapça bilim kitapları yoğun biçimde Latinceye çevrildi. Çevirmenler ceyb kelimesini, anlamı en yakın gördükleri Latince kelimeyle karşıladılar: sinus. Latincede bu kelime kıvrım, kucak, toganın göğüste oluşturduğu kat ve deniz kıyısındaki koy anlamlarını taşır.

Bu çeviriyi ilk kimin yaptığı konusunda kaynaklar farklı isimler verir. Bazıları 1145 dolaylarında çeviri yapan Chesterlı Robert’i, bazıları ise biraz sonra çalışan Cremonalı Gerard’ı öne çıkarır. İkisi de aynı yüzyılda Arapça eserleri Latinceye kazandıran çevirmenlerdi. Hangisinin önce davrandığı kesin değildir.

Sonrası daha kolay izlenir. Kelime İngilizceye 16. yüzyılın sonunda sine olarak girdi. “Kosinüs” ise çok daha genç bir terimdir: “tümler açının sinüsü” anlamındaki Latince ifadenin kısaltmasıdır ve 17. yüzyılın başında yaygınlaştı.

Yolculuğu tek satırda özetleyelim:

ardha-jya (yarım kiriş) → jya / jiva → ciba → ceyb (cep, kıvrım) → sinus (kıvrım, koy) → sinüs

Kelimenin anlamı her durakta değişti; ama çizimdeki doğru parça, yani yarım kiriş, hiç değişmedi.

Neden önemli?

Sinüsün kökenini bilmek yalnızca bir kelime merakı değildir. Bu hikâye, trigonometrinin temel fikrini de açık eder.

• Sinüs önce bir uzunluktu. Aryabhata için sinüs, belli bir çemberdeki bir doğru parçasıydı. Bugün sinüsü oran olarak tanımlarız; yarıçapı 1 alınca iki bakış birleşir.
• Birim çemberin anlamı. Lisede birim çemberde bir noktanın dikey koordinatını sin θ olarak okuruz. Bu dikey doğru parça, tam olarak Aryabhata’nın yarım kirişidir.
• Dik üçgen oranları. sin θ = karşı kenar ÷ hipotenüs tanımı, yarım kiriş çiziminden doğrudan çıkar: karşı kenar yarım kiriş, hipotenüs yarıçaptır.
• Tablolar ve yaklaşık değerler. Farklarla çalışmak, bir fonksiyonun nasıl değiştiğine bakmanın erken bir biçimidir. Bu fikir, daha sonra sonsuz serilere ve analize uzanan yolun parçasıdır.

Bu konular TYT ve AYT matematiğinde trigonometri başlığı altında yer alır. Hangi konuları nasıl ele aldığımızı ne öğrettiğimizi anlattığımız sayfada bulabilirsiniz.

Hint ve İslam dünyası arasındaki bilgi aktarımının bir başka örneği için sıfırın Brahmagupta’dan Fibonacci’ye yolculuğunu okuyabilirsiniz. Sinüsün kısa sürede astronomiden bağımsız bir matematik dalına nasıl dönüştüğünü ise Nasîrüddin Tûsî ve trigonometri yazımızda anlatıyoruz.

Kapanış

Bir okun kirişi, bir giysinin kıvrımı ve bir deniz koyu. Aynı matematiksel nesne, dört dilde bu kadar farklı görüntülere bürünerek bize ulaştı. Kelimenin yolculuğu yanlış okumalarla dolu olabilir; ama çemberin içine çizilen o dikey doğru parçası, her kültürde aynı ilişkiyi taşıdı. Sinüs yazdığınız bir sonraki soruda, çemberin içindeki yarım kirişi hayal etmeyi deneyin.