Ömer Hayyam ve kübik denklemler: Bir parabol ile bir çemberin kesiştiği yer

Ömer Hayyam adını çoğumuz dörtlüklerle birlikte duyarız. Oysa onun matematik tarihindeki yeri en az şiirleri kadar sağlamdır. 11. yüzyılda yazdığı cebir kitabında, üçüncü dereceden denklemlerin nasıl çözüleceği sorusuna o güne kadarki en kapsamlı cevabı verdi.

Hayyam’ın yöntemi bugün bildiğimiz formüllere benzemez. O, bir kübik denklemin kökünü iki eğrinin, örneğin bir parabol ile bir çemberin kesiştiği noktada aradı. Bu yazıda bu fikri bugünkü gösterimle adım adım kuracak, kendi seçtiğimiz bir denklemle kökü bir çizimden okuyacak ve yöntemin güçlü ve sınırlı yanlarını tartışacağız.

Nişabur’dan Semerkant’a bir bilgin

Ömer Hayyam 1048’de Nişabur’da doğdu ve 1131’de yine orada öldü. Hayatı Selçuklu döneminin siyasi dalgalanmaları içinde geçti. Genç yaşta Semerkant’a gitti; cebir kitabını orada, bir hamisinin desteğiyle yazdı. Kitap genellikle 1070 dolaylarına tarihlenir.

Sonraki yıllarda Sultan Melikşah’ın daveti üzerine İsfahan’da bir rasathanede çalıştı ve takvim reformu için kurulan heyette yer aldı. Bu çalışmalar sonucunda ortaya çıkan Celâlî takvimi, yılın uzunluğunu dikkat çekici bir hassasiyetle esas alıyordu.

Şairliği ise ayrı bir tartışma konusudur. Ona atfedilen dörtlüklerin önemli bir kısmının gerçekten ona ait olup olmadığı kesin değildir. Matematikçi Hayyam hakkında ise elimizde kendi yazdığı eserler var.

Sorun: Kareyi tamamlamak neden yetmez?

Hayyam’dan iki yüzyıl önce Hârizmî, ikinci dereceden denklemleri kareyi tamamlama yöntemiyle çözmüştü. Bu yöntemin geometrik gerekçesi kareler ve dikdörtgenlerdi; ayrıntılarını Hârizmî ve cebirin doğuşu yazımızda anlatıyoruz.

Kübik denklemde ise bir küp vardır. x³ bir hacmi, x² bir alanı, x bir uzunluğu temsil eder. Düzlemde kareyi tamamlamaya benzer basit bir hamle burada işe yaramaz. Antik Yunan’dan beri bilinen bazı problemler, örneğin hacmi verilen bir küpün iki katı hacimde bir küp kurmak, cetvel ve pergelle çözülemiyordu. Bu problemler de aslında kübik denklemlere karşılık gelir.

Hayyam’ın önemli bir tespiti tam burasıdır. Kitabında, bu tür denklemlerin yalnızca cetvel ve pergelle, yani doğrular ve çemberlerle çözülemeyeceğini, konik kesitlere ihtiyaç duyulduğunu belirtir. Bu iddianın kesin ispatı ancak 19. yüzyılda verilebildi.

Sınıflandırma: Negatif sayı olmadan denklem yazmak

Hayyam’ın döneminde negatif sayılar katsayı olarak kullanılmıyordu. Bu yüzden bugün tek bir genel biçimle yazdığımız x³ + ax² + bx + c = 0 denklemi, onun gözünde birbirinden farklı pek çok türe ayrılıyordu. Örneğin şu iki denklem ayrı türlerdir:

• Bir küp ve kenarlar bir sayıya eşittir: x³ + bx = c
• Bir küp bir sayı ve kenarlara eşittir: x³ = bx + c

Her iki tarafta da yalnızca pozitif terimler bulunur. Hayyam birinci, ikinci ve üçüncü dereceden denklemleri bu şekilde türlere ayırdı. Kendi ifadesinde, konik kesitler gerektiren kübik türlerinin sayısı için on dörtten söz eder. Her türe ayrı bir geometrik yapı önerdi ve hangi durumlarda pozitif bir kök bulunduğunu, hangi durumlarda bulunmadığını incelemeye çalıştı.

Hayyam yalnızca pozitif kökleri arıyordu, çünkü kök bir uzunluktu. Bir kübik denklemin birden fazla pozitif kökü olabileceğini de fark etti; ancak bütün kök durumlarını eksiksiz çözdüğü söylenemez.

Yöntem: Bir parabol, bir çember, bir kök

Şimdi Hayyam’ın en bilinen yapısını bugünkü koordinat diliyle kuralım. Denklemimiz şu türde olsun:

x³ + a²x = a²b

Burada a ve b pozitif uzunluklardır. Hayyam koordinat sistemi kullanmadı; oranlar ve geometrik önermelerle çalıştı. Aşağıdaki denklemler, onun fikrini bugünkü dilde anlatmanın bir yoludur.

1. Parabolü çizelim. Tepe noktası başlangıçta olan x² = a·y parabolünü düşünelim.
2. Çemberi çizelim. Çapı yatay eksen üzerinde, (0, 0) ile (b, 0) noktaları arasında olan çemberi çizelim. Bu çemberin denklemi y² = x(b − x) biçiminde yazılabilir.
3. Kesişim noktasını bulalım. İki eğrinin başlangıç dışındaki kesişim noktasına P(x, y) diyelim. Bu nokta iki denklemi birlikte sağlar.
4. y’yi yok edelim. Paraboldan y = x² ÷ a gelir. Bunu çember denkleminde yerine yazarsak x⁴ ÷ a² = x(b − x) olur.
5. Sadeleştirelim. x sıfır olmadığı için iki tarafı x’e bölüp a² ile çarpalım: x³ = a²(b − x), yani x³ + a²x = a²b.

Sonuç: P noktasının yatay koordinatı, yani P’den eksene inen dikmenin ayağı ile başlangıç arasındaki uzunluk, denklemin pozitif köküdür.

Sayılarla deneyelim

a = 2 ve b = 4 seçelim. Denklem şu olur:

x³ + 4x = 16

• Parabol: x² = 2y
• Çember: çapı 0 ile 4 arasında olan çember, yani merkezi (2, 0), yarıçapı 2

Kesişim noktası (2, 2)’dir. Kontrol edelim: 2² = 4 = 2 × 2, parabol sağlanır. Merkeze uzaklık √((2 − 2)² + 2²) = 2, çember de sağlanır. O hâlde kök x = 2 olmalıdır: 2³ + 4 × 2 = 8 + 8 = 16. Doğru.

Sonucun her zaman tam sayı çıkması gerekmez. x³ + 2x = 10 denklemini alalım. Burada a² = 2 ve a²b = 10, yani b = 5’tir. Parabol x² = √2·y, çember ise çapı 0 ile 5 arasında olan çemberdir. Özenle çizilmiş bir şekilde kesişim noktasının yatay koordinatı 1,85’e yakın okunur. Hesapla kontrol edersek kök yaklaşık 1,8474 çıkar.

Bu, yöntemin hem gücünü hem de sınırını gösterir. Geometri bize kökün var olduğunu ve nerede olduğunu kesin olarak söyler; ama sayısal değeri okumak çizimin hassasiyetine bağlıdır.

Diğer türler ve hiperbol

Her tür parabol ve çemberle çözülmez. Hayyam bazı türlerde bir çember ile bir hiperbolü, bazılarında iki parabolü ya da bir parabol ile bir hiperbolü kesiştirdi. Seçim, denklemdeki terimlerin hangi tarafta bulunduğuna bağlıydı.

Bu eğriler Hayyam’ın icadı değildi. Konik kesitlerin özellikleri Antik Çağ’da ayrıntılı biçimde incelenmişti; bu mirası Apollonius ve konikler yazımızda anlatıyoruz. Hayyam’dan önce de bazı bilginler belirli kübik problemleri koniklerle çözmüştü. Hayyam’ın farkı, bu dağınık çözümleri bir sistem hâline getirmesi ve her türü tek tek ele almasıydı.

Hayyam, kübik denklemler için sayılarla, yani aritmetik bir kuralla çözüm bulamadığını da açıkça yazdı ve bunun belki sonra gelenlerce başarılabileceğini umdu. Bu umut dört yüzyıl sonra İtalya’da gerçekleşti. O hikâyeyi Cardano, Tartaglia ve kübik denklem çekişmesi yazımızda bulabilirsiniz.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

Hayyam’ın fikri, bugün lisede sıkça kullandığımız bir düşüncenin erken bir örneğidir: Bir denklemin çözümü, iki grafiğin kesişim noktasıdır.

• Grafikle çözüm: x³ + 4x = 16 denklemini y = x³ + 4x eğrisi ile y = 16 doğrusunun kesişimi olarak da görebiliriz. Hayyam aynı işi bir parabol ve bir çemberle yaptı.
• Denklem sistemleri: Parabol ve çember denklemlerini birlikte çözmek, lisede ikinci dereceden denklem sistemlerinde yaptığımız yerine koyma yönteminin aynısıdır.
• Analitik geometri: Eğrileri denklemlerle, denklemleri eğrilerle ifade etmek, 17. yüzyılda Descartes’ın koordinat sistemiyle sistemli hâle geldi. Hayyam koordinat kullanmadı, ama cebir ile geometriyi aynı soruda buluşturdu.
• Sayısal yöntemler: Grafikten yaklaşık bir değer okuyup sonra hesapla iyileştirmek, bugün bilgisayarların kök bulurken izlediği yolun ruhuna yakındır.

Kapanış

Ömer Hayyam, cetvel ve pergelin yetmediği bir yerde durmadı; elindeki eğrileri değiştirdi. Bir parabolle bir çemberin kesiştiği nokta, sembollerle henüz yazılamayan bir kökü görünür kıldı. Bugün bir denklemi grafik çizerek çözdüğünüzde, dokuz yüz yıl önce Semerkant’ta kurulan bu düşüncenin izini sürüyorsunuz.