Salgınların matematiği: SIR modeli ve R₀ kavramı adım adım

Bir hastalığın bir toplulukta nasıl yayılabileceğini düşünmek için her kişiyi tek tek izlemek gerekmez. Matematik, insanları birkaç gruba ayırıp gruplar arasındaki geçişleri tanımlayarak genel resmi görmemizi sağlar. Bu yaklaşımın en bilinen ve en sade örneği SIR modelidir.

Bu yazıda SIR modelinin ne söylediğini adım adım kuracağız: üç grup, iki oran ve bunlardan çıkan R₀ (temel çoğalma sayısı) kavramı. Tamamen hayali bir toplulukla sayısal bir örnek yapacak, sonra modelin hangi varsayımlara dayandığını ve neyi açıklayamadığını konuşacağız. Yazı eğitim amaçlıdır; gerçek bir hastalık ya da salgın hakkında tahmin veya öneri içermez.

Model neden gerekir?

Bir yayılma sürecinde sezgimiz çoğu zaman yanılır. Başlangıçta sayılar küçük olduğu için süreç yavaş görünür; sonra birden hızlanır, bir süre sonra da kendiliğinden yavaşlar. Bu “önce yavaş, sonra hızlı, sonra yine yavaş” davranışının nedenini sözle anlatmak zordur. Birkaç basit kuralla kurulmuş bir model, bu davranışın hangi ilişkiden doğduğunu açıkça gösterir.

Modellemenin genel mantığını, yani gerçeği bilinçli olarak sadeleştirmeyi matematiksel modelleme nedir yazımızda anlatıyoruz. SIR modeli bu mantığın iyi bir örneğidir.

Üç grup: S, I ve R

SIR modeli, toplam N kişilik bir topluluğu üç gruba ayırır:

• S (duyarlı): Henüz hastalığı geçirmemiş ve hastalanabilecek kişiler.
• I (enfekte): Şu anda hastalığı taşıyan ve başkalarına bulaştırabilen kişiler.
• R (iyileşmiş): Hastalığı geçirmiş ve modelde artık yeniden hastalanmayan kişiler.

Her an S + I + R = N olur. Kişiler yalnızca tek yönde ilerler:

S → I → R

Modelin bugünkü biçimi, 1927’de İskoç araştırmacılar William Kermack ve Anderson McKendrick’in çalışmalarına dayanır.

İki oran: β ve γ

Geçişlerin hızını iki sayı belirler.

β (bulaşma oranı): Enfekte bir kişinin, herkesin duyarlı olduğu bir toplulukta birim zamanda ortalama kaç kişiye hastalığı geçirebileceğini anlatır. Ama topluluktaki herkes duyarlı değilse temasların yalnızca S ÷ N kadarı yeni hastalığa dönüşür. Bu yüzden bir günde oluşan yeni enfekte sayısı:

yeni enfekte = β × I × (S ÷ N)

γ (iyileşme oranı): Enfekte kişilerin her gün ne kadarının iyileşme grubuna geçtiğini anlatır. Bir günde iyileşen sayısı:

yeni iyileşen = γ × I

γ’nın tersi, yani 1 ÷ γ, bir kişinin ortalama kaç gün enfekte kaldığını verir. Örneğin γ = 0,2 ise ortalama süre 1 ÷ 0,2 = 5 gündür.

Grupların günlük değişimi böylece şöyle yazılır:

• S’deki değişim = − β × I × S ÷ N
• I’daki değişim = + β × I × S ÷ N − γ × I
• R’deki değişim = + γ × I

Üç değişimin toplamı sıfırdır; toplam nüfus sabit kalır. Bu ifadeler, zaman adımı çok küçük seçildiğinde birer diferansiyel denkleme dönüşür. Anlık değişim fikrinin tarihini Newton, Leibniz ve kalkülüs yazımızda okuyabilirsiniz.

R₀: Bir kişi kaç kişiye geçirir?

Başlangıçta neredeyse herkesin duyarlı olduğunu düşünelim (S ÷ N ≈ 1). Enfekte bir kişi her gün β kişiye bulaştırır ve ortalama 1 ÷ γ gün enfekte kalır. Bu sürede bulaştırdığı toplam kişi sayısı:

R₀ = β × (1 ÷ γ) = β ÷ γ

R₀, herkesin duyarlı olduğu bir toplulukta tek bir enfekte kişinin ortalama kaç yeni enfekte kişiye yol açtığını anlatan temel çoğalma sayısıdır.

Eşik fikri

I’daki değişim formülüne bakalım: β × I × S ÷ N − γ × I. I’yı parantezine alırsak:

I × (β × S ÷ N − γ)

Parantezin içi pozitifse enfekte sayısı artar, negatifse azalır. Parantezin pozitif olması, β × S ÷ N > γ, yani R₀ × (S ÷ N) > 1 demektir.

Bu çarpıma etkin çoğalma sayısı diyelim: Rₑ = R₀ × S ÷ N. Buradan modelin en önemli sonucu çıkar:

• Rₑ > 1 ise enfekte sayısı artar.
• Rₑ < 1 ise enfekte sayısı azalır.
• Rₑ = 1 anında enfekte sayısı en yüksek değerine ulaşır.

R₀ başlangıçta 1’den küçükse süreç büyümeden söner. R₀ 1’den büyükse süreç önce büyür; ama duyarlı kişi sayısı azaldıkça Rₑ düşer ve bir noktada 1’in altına iner.

Hayali bir toplulukla sayısal örnek

Tamamen hayali bir örnek kuralım. 1000 kişilik kapalı bir topluluk olsun. Başlangıçta 1 kişi enfekte, 999 kişi duyarlı. Oranlar β = 0,4 ve γ = 0,2 olsun. Buradan R₀ = 0,4 ÷ 0,2 = 2 bulunur.

İlk günleri elle hesaplayalım:

1. Gün 0: yeni enfekte = 0,4 × 1 × (999 ÷ 1000) ≈ 0,40; iyileşen = 0,2 × 1 = 0,20. Enfekte sayısı 1 + 0,40 − 0,20 = 1,20 olur.
2. Gün 1: yeni enfekte ≈ 0,4 × 1,20 × 0,9986 ≈ 0,48; iyileşen = 0,24. Enfekte ≈ 1,44.
3. Gün 2: yeni enfekte ≈ 0,57; iyileşen ≈ 0,29. Enfekte ≈ 1,73.

Küsuratlı kişi sayıları garip görünebilir. Modeldeki sayılar ortalamalardır; tek tek kişileri değil, büyük bir topluluğun ortalama davranışını anlatır. Başlangıçta enfekte sayısı her gün yaklaşık 1,2 ile çarpılır. Bu, üstel büyümenin tanıdık biçimidir. Üstel büyümenin neden sezgimizi zorladığını üstel büyüme sezgisi yazımızda ayrıca ele alıyoruz.

Hesabı küçük zaman adımlarıyla sürdürürsek şu tabloyu elde ederiz (sayılar yuvarlatılmıştır):

Gün	Duyarlı (S)	Enfekte (I)	İyileşmiş (R)
0	999	1	0
10	986	7	6
20	906	45	49
30	628	140	232
40	350	126	524
50	246	54	700
60	216	18	766
100	203	0	797

Tablodan üç şey okunur:

• Tepe noktası: Enfekte sayısı 34. gün dolayında yaklaşık 154 ile en yüksek değerine ulaşır. O anda duyarlı sayısı yaklaşık 500’dür. Gerçekten de S ÷ N = 0,5 olduğunda Rₑ = 2 × 0,5 = 1 olur. Eşik fikri, tablodaki tepe noktasını önceden haber verir.
• Aşma: Tepe noktasından sonra da yeni enfekteler oluşmaya devam eder, çünkü hâlâ enfekte kişiler vardır. Süreç sona erdiğinde duyarlı sayısı 500’ün çok altına, yaklaşık 203’e iner.
• Herkes etkilenmez: Model, bu hayali toplulukta yaklaşık 200 kişinin hiç hastalanmadan sürecin sona erdiğini gösterir. Süreç, duyarlı kişiler tükendiği için değil, enfekte kişiler yeni bulaşma zincirleri kuramaz hâle geldiği için durur.

Bağışıklık eşiği

Aynı eşik fikrinden bir sonuç daha çıkar. Topluluğun başlangıçta bir kısmı zaten bağışıksa S ÷ N başlangıçta 1’den küçüktür. Rₑ = R₀ × S ÷ N < 1 olması için bağışık olanların oranının şundan büyük olması gerekir:

1 − 1 ÷ R₀

R₀ = 2 için bu oran 1 − 1/2 = 0,5, yani yüzde 50’dir. R₀ = 4 için 1 − 1/4 = yüzde 75 olur. R₀ büyüdükçe eşik de yükselir. Bu, modelin içinden çıkan matematiksel bir sonuçtur; gerçek bir hastalık için hangi değerin geçerli olduğu, uzmanların gerçek verilerle yaptığı ayrıntılı çalışmaların konusudur.

Modelin varsayımları ve sınırları

SIR modeli bilinçli olarak basittir. Gücü de sınırları da bu sadelikten gelir. Başlıca varsayımları şunlardır:

• Herkes herkesle eşit olasılıkla karşılaşır. Gerçekte insanlar aileler, okullar, iş yerleri ve şehirler içinde farklı sıklıkta temas eder.
• Nüfus sabittir. Doğum, ölüm ve göç hesaba katılmaz.
• İyileşenler yeniden hastalanmaz. Bazı hastalıklarda bağışıklık zamanla azalır. Bu durumu anlatmak için başka modeller kullanılır.
• Bulaşma hemen başlar. Birçok hastalıkta kişinin henüz bulaştırmadığı bir kuluçka dönemi vardır. Bunun için araya dördüncü bir grup eklenen modeller geliştirilmiştir.
• β ve γ sabittir. Gerçekte mevsimler, davranışlar ve alınan önlemler bu oranları değiştirebilir. Bu nedenle R₀ yalnızca hastalığın değil, topluluğun ve koşulların da özelliğidir.
• Sayılar büyüktür ve süreç ortalamalarla anlatılır. Küçük topluluklarda rastlantı önemli rol oynar; model bunu göstermez.

Bu varsayımlar modeli “yanlış” yapmaz, onun bir düşünme aracı olduğunu hatırlatır. SIR modeli, eşik ve tepe noktası gibi fikirleri kavramak için güçlü bir başlangıçtır. Gerçek durumlar için kullanılan modeller ise çok daha ayrıntılıdır ve sürekli güncellenen verilerle birlikte değerlendirilir.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

SIR modelinin mantığı yalnızca sağlık alanında kullanılmaz. Bir söylentinin, bir haberin, bir bilgisayar virüsünün ya da yeni bir teknolojinin toplulukta yayılması benzer “gruplar ve geçişler” modelleriyle incelenir.

Matematik açısından da zengin bir örnektir: oran ve orantı, çarpanlara ayırma, fonksiyon grafiği okuma, üstel büyüme ve değişim hızı kavramları bir araya gelir. Formülleri adım adım bir hesap tablosunda uygulamak, sezgiyi güçlendirmenin iyi bir yoludur. Bu tür deneyerek öğrenme yaklaşımımızı nasıl öğrettiğimizi anlattığımız sayfada bulabilirsiniz.

Kapanış

SIR modeli bize üç grup, iki oran ve bir eşik verir. Bu kadar az malzemeyle, bir yayılma sürecinin neden önce hızlanıp sonra yavaşladığını, tepe noktasının ne zaman geldiğini ve sürecin neden herkese ulaşmadan sona erebildiğini anlayabiliriz. Modelin değeri, kesin bir gelecek söylemesinden değil, karmaşık bir olayın arkasındaki temel ilişkiyi açıkça görünür kılmasından gelir.