Descartes ve koordinat sistemi: Geometri ile cebirin buluşması

“y = 2x + 1 doğrusunu çiziniz” dendiğinde çoğumuz hemen iki eksen çizer, birkaç nokta işaretler ve bir doğru elde ederiz. Bir denklemin bir şekle, bir şeklin bir denkleme dönüşebilmesi bugün bize çok doğal gelir. Oysa bu bağ, 17. yüzyılda kurulmuş büyük bir fikirdir.

Bu fikrin en bilinen adı René Descartes’tır. 1637’de yayımladığı La Géométrie, geometrik problemleri cebirsel denklemlere çevirerek çözmenin sistemli bir yolunu gösterdi. Aynı yıllarda Pierre de Fermat da bağımsız olarak benzer bir yola girmişti. Bu yazıda Descartes’ın gerçekte ne yaptığını, bugünkü “kartezyen” eksenlerle onunkiler arasındaki farkı ve sık anlatılan sinek hikâyesinin neden bir rivayet olduğunu anlatacağız.

Bir felsefe kitabının eki

René Descartes 1596’da doğdu, 1650’de Stockholm’de öldü. Bugün daha çok bir filozof olarak tanınır. 1637’de Yöntem Üzerine Konuşma (Discours de la méthode) adlı eserini yayımladı. Kitabın sonuna, yöntemini uygulamalı olarak göstermek için üç ek koydu: optik, meteoroloji ve geometri üzerine. Üçüncüsü La Géométrie’dir.

Descartes bu ekte, klasik Yunan geometrisinin çözmekte zorlandığı problemleri cebirle ele aldı. En ünlü örneklerinden biri, antik matematikçi Pappus’un aktardığı ve bir noktanın belirli doğrulara olan uzaklıklarıyla ilgili koşulları sağlayan noktaların hangi eğriyi oluşturduğunu soran problemdi.

Yöntem: Uzunluklara harf vermek

Descartes’ın yaklaşımı şöyle özetlenebilir: Problemin çözüldüğünü varsay, gerekli bütün doğru parçalarına ad ver, sonra bilinen ve bilinmeyen uzunluklar arasındaki ilişkileri denklem olarak yaz.

Bu işi kolaylaştırmak için bugün hâlâ kullandığımız bir alışkanlık başlattı: Bilinen uzunlukları alfabenin baş harfleriyle (a, b, c), bilinmeyenleri son harfleriyle (x, y, z) göstermek. Üsleri de bugünküne benzer biçimde, sayının sağ üstüne küçük bir sayı yazarak gösterdi.

La Géométrie’deki bir örnekte Descartes, bir cetvel ve kayan bir üçgenden oluşan bir mekanizmanın çizdiği eğriyi inceler. Yaptığı şey adım adım şudur:

1. Eğrinin bütün noktalarını ilişkilendireceği bir AB doğrusu seçer ve bu doğru üzerinde bir başlangıç noktası A belirler.
2. Eğri üzerinde herhangi bir C noktası alır.
3. C’den, sabit bir doğruya paralel bir doğru çizer; bu doğru AB’yi B noktasında keser.
4. CB uzunluğuna y, BA uzunluğuna x adını verir.
5. Mekanizmadaki sabit uzunluklara a, b, c adlarını verir.
6. Benzer üçgenlerden gelen oranlarla x ve y arasında bir denklem kurar ve eğrinin ikinci dereceden bir denklemle anlatıldığını, yani bir hiperbol olduğunu gösterir.

Bu, bugün “koordinat” dediğimiz fikrin çekirdeğidir: Eğri üzerindeki her nokta iki uzunlukla, x ve y ile belirlenir; eğrinin kendisi de bu iki uzunluk arasındaki bir denklemle anlatılır.

Eksenler bugünküne benzemiyordu

Buradaki üçüncü adıma dikkat edin. Descartes, C’den AB’ye dik bir doğru değil, problemin yapısına uygun başka bir doğrultuya paralel bir doğru çizdi. Yani x ve y’yi ölçtüğü doğrultuların birbirine dik olması gerekmiyordu. Tarihçiler, Descartes’ın eksen seçimini her probleme göre uyarladığını ve bugünkü gibi sabit, dik iki eksen ile negatif değerleri de içeren tam bir “koordinat düzlemi” çizmediğini vurgular.

Bugün okulda öğrendiğimiz, dik kesişen iki sayı doğrusundan oluşan ve dört bölgeye ayrılan düzlem, Descartes’tan sonraki matematikçilerin çalışmalarıyla zamanla standart hâle geldi. “Kartezyen koordinatlar” adı, Descartes’ın adının Latince biçiminden gelir; ama adı taşıyan sistem onun tam olarak çizdiği sistem değildir.

Fermat: Aynı fikre başka bir yoldan

Toulouse’da hukukçu olarak çalışan Pierre de Fermat, matematikle kendi başına ve çok derinlemesine uğraşıyordu. Doğruları ve konik kesitleri iki değişkenli denklemlerle inceleyen çalışması, 1636–1637 dolaylarında Parisli matematikçiler arasında elyazması olarak dolaşıyordu. Ancak basılı olarak ancak ölümünden sonra, 1679’da yayımlandı.

Fermat’nın bu fikirlere Descartes’tan bağımsız olarak ulaştığı genel kabul görür. İki matematikçi arasında yöntemler konusunda sert tartışmalar da yaşandı. Bu yüzden analitik geometriyi tek bir kişinin buluşu olarak anlatmak yerine, aynı dönemde iki farklı yoldan olgunlaşan bir fikir olarak görmek daha doğrudur.

Sinek hikâyesi: Bir rivayet

Descartes’ın yatağında uzanırken tavanda yürüyen bir sineği izlediği ve sineğin yerini tavanın iki kenarına olan uzaklıklarıyla anlatabileceğini fark ederek koordinat fikrine ulaştığı sıkça anlatılır.

Bu hikâye çok öğreticidir, çünkü bir noktanın konumunu iki sayıyla belirtme fikrini somut hâle getirir. Ancak güvenilir bir tarihsel dayanağı yoktur; kaynaklar onu “bazı anlatımlara göre” diyerek aktarır. Yukarıda gördüğümüz gibi Descartes’ın kitabındaki gerçek yöntem, bir mekanizmanın çizdiği eğriyi benzer üçgenlerle incelemek gibi çok daha geometrik bir bağlamda ortaya çıkar. Hikâyeyi bir benzetme olarak kullanmak iyidir; ama gerçek bir olay gibi anlatmamak gerekir.

Bir şekli denkleme çevirmek: Üç küçük örnek

Koordinat fikrinin gücünü görmek için bugünkü dik eksenlerle üç örneğe bakalım.

Doğru: y = 2x + 1 denklemini sağlayan noktalar:

x	0	1	2	3
y	1	3	5	7

x her 1 arttığında y 2 artar. Bu sabit artış, noktaların bir doğru üzerinde olmasının cebirsel karşılığıdır; 2 sayısı da doğrunun eğimidir.

Çember: Merkezi başlangıç noktası, yarıçapı 5 olan çember üzerindeki bir (x, y) noktası için, başlangıç noktasından noktaya olan uzaklık 5’tir. Pitagoras teoremiyle bu uzaklık √(x² + y²) olduğundan çemberin denklemi:

x² + y² = 25

(3, 4) noktası bu çemberin üzerindedir, çünkü 9 + 16 = 25.

Kesişim: Bir doğru ile çemberin kesişip kesişmediğini sormak, bir geometri sorusudur. Koordinatlarla bu soru, iki denklemin ortak çözümünü aramaya dönüşür. Örneğin y = x doğrusu için x² + x² = 25, yani x = ±5/√2 bulunur; iki çözüm vardır, doğru çemberi iki noktada keser. Şekil çizmeden, yalnızca cebirle.

İki nokta arası uzaklık: (1, 2) ile (4, 6) noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için yatay farkı ve dikey farkı dik üçgenin kenarları olarak düşünürüz. Yatay fark 4 − 1 = 3, dikey fark 6 − 2 = 4’tür. Uzaklık √(3² + 4²) = √25 = 5 olur. Aynı iki noktanın orta noktası ise koordinatların ortalamasıdır: ((1 + 4) ÷ 2, (2 + 6) ÷ 2) = (2,5; 4). Cetvel ve pergel kullanmadan, yalnızca sayılarla bir geometri sorusu çözmüş olduk. Koordinat fikrinin gündelik gücü tam da budur: Uzunluk, orta nokta, eğim ve kesişim gibi kavramların hepsi birkaç sayı işlemine dönüşür.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Analitik geometri: Doğrunun denklemi, iki nokta arası uzaklık, orta nokta, eğim ve çemberin denklemi lise matematiğinin ve YKS’nin temel konularındandır.
• Fonksiyon grafikleri: Parabol, üstel ve logaritmik fonksiyonlar gibi bütün grafikler, bir denklemi koordinat düzleminde görünür kılmanın örnekleridir.
• Harita ve konum: Enlem-boylam, GPS konumları ve oyunlardaki karakter konumları, bir noktayı sayılarla anlatma fikrinin uygulamalarıdır.
• Bilgisayar grafikleri: Ekrandaki her piksel bir koordinat çiftiyle adreslenir; üç boyutlu grafiklerde buna bir üçüncü koordinat eklenir.

YKS’de analitik geometri ve fonksiyonların yerini ne öğretiyoruz sayfamızda görebilirsiniz. Denklemleri geometriyle gerekçelendirmenin daha eski bir örneği için Hârizmî ve kareyi tamamlama yazımıza, aynı yüzyılda hesabı değiştiren başka bir fikir için Napier ve logaritma yazımıza bakabilirsiniz.

Kapanış

Descartes ile Fermat’nın katkısı, geometri ile cebiri tek bir dilde buluşturmaktı. Bir eğriyi çizmek yerine denklemini yazabildiğimizde, sezgiye dayalı pek çok geometri sorusu hesaplanabilir hâle gelir; bir denklemi grafiğe döktüğümüzde de sembollerin arkasındaki şekli görürüz. Bugünkü dik eksenler zamanla gelişti; ama iki uzunlukla bir noktayı yakalama fikri 1637’de artık kitap sayfalarındaydı.