Galileo, serbest düşme ve parabol: Atılan bir top hangi yolu çizer?

Elinizde bir anahtar ve bir kalem var. İkisini aynı yükseklikten aynı anda bırakırsanız hangisi yere önce düşer? Günlük sezgimiz ağır olanın daha hızlı düşeceğini söyler. Bu sezgi yaklaşık iki bin yıl boyunca doğa felsefesinin de kabul ettiği bir fikirdi. 17. yüzyılın başında Galileo Galilei bu fikri ölçümle ve matematikle sorgulayan kişilerin başında geldi.

Galileo iki önemli sonuca ulaştı. Birincisi, hava direnci ihmal edilirse düşen bir cismin aldığı yol zamanın karesiyle orantılı artar. İkincisi, yatay ya da eğik atılan bir cisim havada bir parabol çizer. Bu yazıda bu iki sonucu adım adım kuracak, ünlü Pisa Kulesi hikâyesinin neden bir rivayet olarak anlatılması gerektiğini de konuşacağız.

Pisa Kulesi: Gerçek mi, rivayet mi?

Galileo 1564’te Pisa’da doğdu, 1642’de Floransa yakınlarındaki Arcetri’de öldü. 1589-1592 yılları arasında Pisa Üniversitesi’nde matematik dersleri verdi.

Popüler anlatılarda Galileo’nun Pisa Kulesi’nden farklı ağırlıkta toplar bırakıp hepsinin yere aynı anda düştüğünü herkese gösterdiği söylenir. Bu hikâyenin bilinen tek dayanağı, Galileo’nun genç öğrencisi Vincenzo Viviani’nin ustasının ölümünden yıllar sonra yazdığı bir yaşam öyküsüdür. Galileo’nun kendi yazılarında böyle bir kule gösterisinden söz edilmez. Bu yüzden tarihçilerin çoğu olayı en azından abartılmış bir rivayet olarak görür. Galileo’nun fikrini bir düşünce deneyiyle savunduğu ise kendi kitabından bilinir.

O düşünce deneyi şöyle özetlenebilir: Ağır cisimler gerçekten daha hızlı düşseydi, ağır bir taşa hafif bir taş bağladığımızda ne olurdu? Hafif taş yavaş düşmek isteyeceği için ağır taşı frenlemeli ve ikili daha yavaş düşmeliydi. Öte yandan ikisi birlikte tek taştan daha ağır olduğu için daha hızlı düşmeliydi. Aynı varsayımdan iki çelişkili sonuç çıkıyor. Galileo buradan, hava gibi bir ortamın direnci olmasaydı ağırlığın düşme hızını belirlemeyeceği sonucuna vardı.

Eğik düzlem: Düşmeyi yavaşlatmak

Serbest düşme çok hızlıdır. Birkaç metre yüksekten bırakılan bir taş bir saniyeden kısa sürede yere ulaşır ve Galileo’nun elinde bugünkü gibi hassas saatler yoktu. Çözümü, düşmeyi yavaşlatmaktı.

Galileo, içinde düzgün bir oluk açılmış eğik bir tahta üzerinde metal bir top yuvarladı. Eğim az olduğunda top yavaş hızlanır ve süreleri ölçmek kolaylaşır. 1638’de basılan İki Yeni Bilim Üzerine Konuşmalar kitabındaki anlatıma göre süreleri, ince bir borudan akan suyun ağırlığını karşılaştırarak ölçtü.

Bu deneylerden çıkan düzen şuydu: Hareketsiz başlayan top, birinci zaman aralığında belli bir yol alıyorsa, ikinci eşit aralıkta bunun 3 katını, üçüncüsünde 5 katını, dördüncüsünde 7 katını alır. Bugün buna tek sayılar kuralı diyoruz.

Tek sayılardan kareye

Tek sayılar kuralının neden “zamanın karesi” anlamına geldiğini görmek için ardışık tek sayıları toplayalım:

• 1 = 1 = 1²
• 1 + 3 = 4 = 2²
• 1 + 3 + 5 = 9 = 3²
• 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

İlk n tek sayının toplamı n²’dir. Demek ki 2 birim sürede alınan toplam yol 1 birim süredekinin 4 katı, 3 birim sürede 9 katıdır. Toplam yol, zamanın karesiyle orantılıdır.

Bu sonucu bugünkü gösterimle yazalım. Yer yüzeyi yakınında düşen bir cismin hızı her saniye yaklaşık 9,8 m/s artar. Bu sayıya yerçekimi ivmesi denir ve g ile gösterilir. Hareketsiz bırakılan bir cismin t saniyede aldığı yol:

h = ½ × g × t²

Sayılarla bakalım:

Süre (s)	Toplam yol (m)	O saniyede alınan yol (m)
1	4,9	4,9
2	19,6	14,7
3	44,1	24,5
4	78,4	34,3

Son sütun 4,9 × 1, 4,9 × 3, 4,9 × 5 ve 4,9 × 7’dir. Galileo’nun tek sayıları, bugünkü formülün içinde saklıdır. Bu formülde cismin kütlesi hiç yer almaz; model, ağır ve hafif cisimlerin aynı biçimde düştüğünü söyler.

Kendiniz hesaplayın

Bir köprüden bırakılan bir taşın suya 2,5 saniyede ulaştığını varsayalım. Hava direncini ihmal edersek köprünün yüksekliği:

1. t² = 2,5² = 6,25
2. h = ½ × 9,8 × 6,25 = 4,9 × 6,25 ≈ 30,6 m

Süreyi yalnızca 0,5 saniye yanlış ölçseydik ne olurdu? 3 saniye için sonuç 44,1 m çıkar. Zamanın karesi, küçük ölçüm hatalarını büyütür.

Yatay atış: İki hareketin birleşimi

Galileo’nun ikinci büyük fikri, atılan bir cismin hareketini iki bağımsız parçaya ayırmaktı:

• Yatay hareket: Hava direnci yoksa yatayda cismi hızlandıran ya da yavaşlatan bir etki yoktur. Cisim yatayda eşit sürelerde eşit yollar alır.
• Düşey hareket: Düşeyde cisim, hiç atılmamış da yalnızca bırakılmış gibi düşer.

Bir masanın kenarından saniyede 3 metre hızla yatay itilen bir bilye düşünelim. t saniye sonra:

• yatay konum: x = 3t
• aşağıya düşüş: y = 4,9t²

İlk denklemden t = x ÷ 3 bulunur. Bunu ikinci denklemde yerine koyarsak:

y = 4,9 × (x ÷ 3)² = 4,9 × x² ÷ 9 ≈ 0,544 × x²

Düşüş miktarı, yatay uzaklığın karesiyle orantılıdır. Bu, bir parabol denklemidir. x = 0,5 m ilerlediğinde bilye yaklaşık 0,14 m, x = 1 m ilerlediğinde yaklaşık 0,54 m düşmüştür. Yatay yol 2 katına çıkınca düşüş 4 katına çıkar.

Parabol de elips gibi Antik Çağ’dan beri bilinen bir koni kesitidir; bu eğrilerin geçmişini Apollonius ve konikler yazımızda bulabilirsiniz. Denklemi bir koordinat sisteminde çizme fikri ise Galileo’dan biraz sonra, Descartes’ın koordinat sistemiyle yaygınlaştı. Galileo parabolü geometrik oranlarla anlatmıştı.

Eğik atış: Hangi açı en uzağa götürür?

Bir topu yerden saniyede 20 metre hızla ve yatayla 45°’lik açıyla attığımızı düşünelim. Hızı yatay ve düşey iki parçaya ayırırız:

• yatay hız: 20 × cos 45° ≈ 14,1 m/s
• düşey hız: 20 × sin 45° ≈ 14,1 m/s

Düşey hız her saniye 9,8 m/s azalır. Top yaklaşık 14,1 ÷ 9,8 ≈ 1,44 saniye sonra en yüksek noktaya ulaşır ve aynı sürede geri iner. Toplam uçuş süresi yaklaşık 2,89 saniyedir.

1. Menzil: 14,1 × 2,89 ≈ 40,8 m
2. En yüksek nokta: 14,1 × 1,44 − 4,9 × 1,44² ≈ 20,4 − 10,2 ≈ 10,2 m

Aynı hesabı genel olarak yaparsak, v hızı ve θ açısıyla yerden atılan bir cismin menzili:

R = v² × sin(2θ) ÷ g

sin(2θ) en büyük değerini 2θ = 90°, yani θ = 45° olduğunda alır. Bu yüzden hava direnci yoksa en uzun menzil 45° ile elde edilir. Formülün başka bir sonucu da güzeldir: 30° ve 60° gibi toplamı 90° olan iki açı aynı menzili verir, çünkü sin 60° = sin 120°’dir. İkisi için de R = 400 × 0,866 ÷ 9,8 ≈ 35,3 m bulunur. 60° ile atılan top daha yükseğe çıkar ve havada daha uzun kalır, ama aynı noktaya düşer.

Model neyi varsayıyor?

Buraya kadarki bütün hesaplar aynı sadeleştirmelere dayanır:

• Hava direnci yoktur. Bu varsayım, küçük hızlarda ve yoğun, yuvarlak cisimlerde iyi çalışır. Bir tüy, kâğıt parçası ya da çok hızlı bir top için sonuç belirgin biçimde değişir. Galileo da ağır ve hafif cisimler arasında gözlenen farkların ortamın direncinden kaynaklandığını savunuyordu.
• g sabittir. Yer yüzeyinden birkaç yüz metre yukarıda bile g çok az değişir; bu değişim bizim örneklerimizde önemsizdir.
• Yer düzdür. Kısa mesafelerde Dünya’nın eğriliği fark edilmez.

Hava direnci gerçekten ortadan kalksaydı ne olurdu? Bu soru 1971’de Ay’da canlı yayında sınandı. Apollo 15 astronotu David Scott, havası neredeyse olmayan Ay yüzeyinde bir çekiçle bir kuş tüyünü aynı anda bıraktı; ikisi zemine birlikte ulaştı.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Lise fiziği ve matematiği: Serbest düşme ve atış hareketleri, ikinci dereceden fonksiyonların ve parabollerin en somut örnekleridir. Tepe noktasını bulmak, bir parabolün tepe noktasını bulmakla aynı iştir.
• Spor: Basketbolda şut, futbolda uzun pas ya da gülle atmada topun izlediği yol, hava direnci ve dönmenin eklendiği bir parabol modeliyle incelenir.
• Gezegen yolları: Galileo’nun yer yüzeyi için kurduğu hareket anlayışı, Kepler’in elips yörüngeleriyle birlikte Newton’un evrensel çekim kuramına giden yolu hazırladı.

Kapanış

Galileo’nun asıl katkısı tek bir deney değil, bir yaklaşımdı: Hızlı bir olayı yavaşlatıp ölçmek, ölçümlerdeki sayı düzenini bulmak ve bu düzeni geometriyle ifade etmek. 1, 3, 5, 7 gibi sade bir dizi, düşen bir taşın ve atılan bir topun yolunu açıklamaya yetti. Bir dahaki sefere havaya bir top attığınızda, çizdiği kavisin arkasında bir parabol denklemi olduğunu düşünebilirsiniz.