Modern Matematik · 19. yüzyıl
Fourier serileri: Isı probleminden her dalgayı sinüslerle yazmaya
Joseph Fourier, bir metal çubukta ısının nasıl yayıldığını incelerken cesur bir iddiada bulundu: Köşeli bir dalga bile sinüslerin toplamıyla yazılabilir. Fikrin doğuşu, kare dalga örneği ve bugünkü kullanımları.
Yazan: matematikce editörlüğü 5 dk okuma
Bir gitar telinin sesi, bir kalp atışı kaydı, bir radyo sinyali ya da okyanustaki dalgalar. Bunların hepsi karmaşık, kıvrımlı eğrilerle gösterilir. Peki bu karmaşık eğrileri daha basit parçalara ayırmanın bir yolu var mı?
- yüzyılın başında Fransız matematikçi Joseph Fourier şaşırtıcı bir cevap verdi: Çok geniş bir fonksiyon ailesi, farklı frekanslardaki sinüs ve kosinüs dalgalarının toplamı olarak yazılabilir. Hatta keskin köşeleri olan, düz çizgilerden oluşan bir “kare dalga” bile. Bu yazıda Fourier’nin bu fikre nasıl ulaştığını görecek, bir kare dalgayı kendi hesabımızla sinüslerden inşa edecek ve bu fikrin bugün ses, görüntü ve mühendislikte neden vazgeçilmez olduğunu konuşacağız.
Bir öksüz, bir sefer ve bir vali
Joseph Fourier 1768’de Fransa’nın Auxerre kentinde doğdu. Dokuz yaşında annesini, bir yıl sonra babasını kaybetti ve on yaşında öksüz kaldı. Matematiğe gençliğinde tutkuyla bağlandı.
Hayatı sıradan bir matematikçininkinden oldukça farklı geçti. 1798’de Napolyon’un Mısır seferine bilimsel danışman olarak katıldı ve orada kurulan bilim enstitüsünde görev aldı. Fransa’ya döndükten sonra, 1802 dolaylarında Grenoble merkezli İsère bölgesine vali olarak atandı. Bataklıkların kurutulması ve yol yapımı gibi idari işlerle uğraşırken bir yandan da ısının yayılması üzerine çalışmaya başladı.
Isı nasıl yayılır?
Fourier’nin sorusu şuydu: Bir metal çubuğun farklı noktaları farklı sıcaklıklardaysa, zamanla sıcaklık dağılımı nasıl değişir?
Temel fikir sezgiseldir. Sıcak bir bölge, komşusu olan soğuk bölgeye ısı verir. Bir noktanın ısınma ya da soğuma hızı, o noktanın komşularına göre ne kadar “tümsek” ya da “çukur” olduğuna bağlıdır. Fourier bu fikri bir denklemle ifade etti; bugün buna ısı denklemi diyoruz.
Denklemi çözerken Fourier çok özel bir durumu fark etti. Uzunluğu L olan ve iki ucu 0 °C’de tutulan bir çubuk düşünelim. Başlangıçta sıcaklık dağılımı tam bir sinüs yayı biçimindeyse, yani sıcaklık sin(πx/L) ile orantılıysa, zaman geçtikçe şekil hiç değişmez. Yalnızca yüksekliği giderek azalır. Aynı şey sin(2πx/L), sin(3πx/L) gibi daha sık kıvrımlı sinüsler için de geçerlidir. Ancak kıvrım sayısı arttıkça sönme çok daha hızlıdır: n kıvrımlı bileşenin sönme hızı n² ile orantılıdır.
Kendi örneğimiz
Çubuğun başlangıçtaki sıcaklığı iki bileşenin toplamı olsun:
sıcaklık = 10 × sin(πx/L) + 2 × sin(3πx/L)
- Birinci bileşen tek bir tümsektir. Üçüncü bileşen üç küçük tümsek ve çukurdan oluşur ve 3² = 9 kat daha hızlı söner.
- Bir süre sonra birinci bileşenin yüksekliğinin başlangıçtakinin yaklaşık %90’ına indiğini varsayalım. Bu, sönme çarpanının e^(−0,1) olduğu anlamına gelir.
- Aynı sürede üçüncü bileşenin çarpanı e^(−0,9) ≈ 0,41 olur; yüksekliği %41’ine iner.
- Yani sıcaklık dağılımındaki küçük kıvrımlar hızla silinir, geriye yumuşak tek bir tümsek kalır.
Buradan Fourier’nin büyük fikri doğdu: Başlangıçtaki sıcaklık dağılımı ne olursa olsun, onu sinüslerin toplamı olarak yazabilirsem, her sinüsün nasıl söneceğini zaten biliyorum. Karmaşık problemi basit parçalara ayırıp her parçayı ayrı çözmek, sonra sonuçları toplamak yeterlidir.
Tartışmalı bir iddia
Fourier bu çalışmayı 1807’nin sonunda Paris’teki bilim enstitüsüne sundu. Çalışmayı değerlendiren kurulda Lagrange ve Laplace gibi dönemin en ünlü matematikçileri vardı. Tepki soğuk oldu. En büyük itiraz, Fourier’nin “hemen her fonksiyon trigonometrik bir seriyle yazılabilir” iddiasına yönelikti. Sinüsler sonsuz kez türevlenebilen, yumuşak eğrilerdi. Köşeli ya da kopuk bir fonksiyonun bunların toplamı olması o dönemin matematikçilerine kuşkulu görünüyordu.
Fourier çalışmasını geliştirdi ve 1811’de ısının yayılması konulu bir ödülü kazandı. Ancak değerlendirmede yöntemin kesinlikten yoksun olduğu eleştirisi yine yer aldı. Fikirlerini bir araya getiren Isının Analitik Kuramı adlı kitabı ancak 1822’de yayımlanabildi. Fourier 1830’da Paris’te öldü.
Eleştirilerin bir kısmı haklıydı: Fourier, serilerinin hangi koşullarda gerçekten fonksiyona yakınsadığını kesin olarak kanıtlamamıştı. Sonraki kuşak matematikçiler, başta Dirichlet olmak üzere, bu koşulları incelediler. Bu soruları cevaplama çabası, 19. yüzyılda fonksiyon, yakınsaklık ve integral kavramlarının yeniden ve daha kesin biçimde tanımlanmasına yol açtı. Yani Fourier’nin eksik bıraktığı yerler bile matematiği ileri taşıdı.
Kare dalgayı sinüslerden kurmak
Şimdi Fourier’nin iddiasını kendimiz deneyelim. Bir kare dalga, bir süre +1 değerinde durup aniden −1’e atlayan, sonra yine +1’e dönen bir sinyaldir. 0 ile π arasında +1, π ile 2π arasında −1 olsun ve bu desen tekrarlansın.
Bu dalganın Fourier serisi şöyledir:
kare dalga = (4/π) × (sin x + sin 3x ÷ 3 + sin 5x ÷ 5 + sin 7x ÷ 7 + …)
Serinin yapısına dikkat edelim:
- Yalnızca tek katlı frekanslar var: 1, 3, 5, 7…
- n. frekansın genliği 1/n ile küçülüyor.
Serinin gerçekten kare dalgaya yaklaştığını tek bir noktada sınayalım. x = π/2’de kare dalganın değeri 1’dir. Bu noktada sin x = 1, sin 3x = −1, sin 5x = 1 olur ve işaretler sırayla değişir. Terim ekledikçe toplam:
| Kullanılan terim sayısı | Toplam |
|---|---|
| 1 | 1,273 |
| 2 | 0,849 |
| 3 | 1,104 |
| 4 | 0,922 |
| 5 | 1,063 |
| 6 | 0,947 |
Toplam, 1’in bir üstüne bir altına salınarak giderek 1’e yaklaşıyor. Terim sayısı arttıkça dalganın düz kısımları giderek düzleşir, köşeler keskinleşir.
Bir inceliği de belirtelim: Kare dalganın atlama yaptığı noktaların hemen yanında, terim sayısı ne kadar artarsa artsın küçük bir aşım tepesi kalır. Tepe giderek atlama noktasına sıkışır ama yüksekliği kaybolmaz. Bu davranışa Gibbs olayı denir ve sinyal işlemede dikkate alınması gereken bir durumdur.
Neden sinüsler?
Sinüs, düzgün dönen bir noktanın gölgesidir. Bir çember üzerinde sabit hızla dönen bir noktanın yüksekliği zamanla sinüs eğrisi çizer. Sinüs kavramının Hindistan’dan İslam dünyasına uzanan tarihini Aryabhata ve sinüsün yolculuğu yazımızda bulabilirsiniz.
Sinüsleri bu kadar kullanışlı yapan birkaç özellik vardır:
- Doğada sık görülürler. Titreşen bir tel ya da sarkaç, ideal koşullarda sinüs biçiminde salınır.
- Birbirlerinden bağımsızdırlar. Farklı frekanstaki sinüsler, matematiksel olarak birbirine “karışmaz”. Bu yüzden bir sinyalin içinde her frekanstan ne kadar bulunduğu tek tek hesaplanabilir.
- Birçok fiziksel sistem onları bozmadan işler. Isı denkleminde gördüğümüz gibi, sinüs biçimli bir girdi sistemden şeklini koruyarak çıkar; yalnızca yüksekliği ya da zamanlaması değişir.
Bugün nerede karşımıza çıkar?
- Müzik ve ses: Bir gitar teli tek bir frekansta değil, temel frekansla birlikte onun 2, 3, 4 katı frekanslarda da titreşir. Bu üst titreşimlerin oranları, bir enstrümanın sesine karakterini verir. Müzikte oranların rolünü müzik ve akort yazımızda anlatıyoruz.
- Sıkıştırma: Görüntü ve ses dosyalarını küçültmekte kullanılan yöntemler, Fourier fikrinin akrabası olan dönüşümlerle sinyali frekans bileşenlerine ayırır ve gözün ya da kulağın zor fark ettiği bileşenleri daha az ayrıntıyla saklar. Ayrıntılar için JPEG ve MP3 yazımıza bakabilirsiniz.
- Tıp ve bilim: Beyin ve kalp sinyallerinin incelenmesinde, görüntüleme cihazlarında ve deprem kayıtlarının çözümlenmesinde frekans analizi temel araçlardan biridir.
- Lise matematiği: Trigonometrik fonksiyonların periyodu, genliği ve grafik dönüşümleri, Fourier serilerinin yapı taşlarıdır.
Kapanış
Fourier’nin mirası, karmaşık görünen bir şeyi basit ve iyi anlaşılmış parçalara ayırma cesaretidir. Bir çubuktaki ısıyı anlamak için yazılan seriler, bugün müzik dinlediğimiz, fotoğraf paylaştığımız ve sinyalleri çözümlediğimiz teknolojilerin arkasında duruyor. Dönemin büyük matematikçilerinin kuşkuyla karşıladığı bir iddia, zamanla matematiğin en verimli fikirlerinden birine dönüştü.