Poincaré sanısı ve Perelman: Bir asırlık topoloji problemi nasıl çözüldü?

Bir portakalın kabuğuna bir lastik ilmek geçirin ve ilmeği kabuktan hiç ayırmadan yavaşça küçültün. İlmek sonunda bir noktaya kadar daralır. Aynı şeyi bir simidin çevresinde, deliğin içinden geçecek biçimde deneyin. Bu kez ilmek, simidi ya da ilmeği kesmeden bir noktaya küçültülemez. Bu basit farkın arkasında, matematiğin en ünlü sorularından birinin kilidi yatar.

Fransız matematikçi Henri Poincaré 1904’te bu fikrin üç boyutlu karşılığıyla ilgili bir soru sordu. Poincaré sanısı adıyla bilinen soru, neredeyse bir yüzyıl boyunca çözülemedi. 2002 ve 2003’te Rus matematikçi Grigori Perelman internette yayımladığı üç makaleyle çözümü verdi. Bu yazıda sanının ne söylediğini, Perelman’ın kullandığı Ricci akışı fikrini sezgisel düzeyde ve Perelman’ın ödülleri neden reddettiğini doğrulanmış bilgilerle anlatacağız.

Topoloji: Esneyebilen geometri

Klasik geometride uzunluklar ve açılar önemlidir. Topoloji ise şekilleri koparmadan, yapıştırmadan, yalnızca esneterek ve bükerek birbirine dönüştürebildiğimizde değişmeyen özellikleri inceler. Bu bakışla bir kahve fincanı ile bir simit “aynıdır”, çünkü ikisinde de tek bir delik vardır. Bir top ile bir küp de aynıdır. Ama bir top ile bir simit farklıdır.

Topolojinin erken örneklerinden biri, bir şehrin köprülerinden hangi sırayla geçilebileceğiyle ilgili bir problemdi. Uzunlukların değil yalnızca bağlantıların önemli olduğu bu soruyu Euler ve Königsberg köprüleri yazımızda bulabilirsiniz.

İki boyutta cevap tanıdık

Portakal kabuğu ve simit yüzeyi iki boyutlu yüzeylerdir. Üzerlerinde yaşayan küçük bir karınca için her yer bir düzlem parçası gibi görünür. Bu yüzeyler kapalıdır, yani kenarları yoktur ve sınırlı bir büyüklükleri vardır.

Az önceki ilmek deneyine dayanan bir tanım yapalım. Bir yüzey üzerindeki her kapalı ilmek, yüzeyden ayrılmadan bir noktaya küçültülebiliyorsa bu yüzeye basit bağlantılı denir.

• Kürenin yüzeyi basit bağlantılıdır.
• Simit yüzeyi basit bağlantılı değildir. Deliğin çevresinden ya da içinden geçen ilmekler takılır.

Yüzeyler için şu sonuç çok önceden kanıtlanmıştır: Kapalı ve basit bağlantılı her yüzey, topolojik olarak kürenin yüzeyiyle aynıdır. İki boyutta ilmek testi, küreyi diğer bütün kapalı yüzeylerden ayırır.

Poincaré’nin sorusu: Bir boyut yukarı

Şimdi bir boyut yukarı çıkalım. Kürenin yüzeyi, üç boyutlu uzayda merkeze eşit uzaklıktaki noktalardan oluşur: x² + y² + z² = 1. Bunun bir üst boyuttaki benzeri, dört boyutlu uzayda x² + y² + z² + w² = 1 denklemini sağlayan noktalardır. Bu nesneye üç boyutlu küre denir. Üzerinde yaşayan bir canlı için her yer, bizim üç boyutlu uzayımızın küçük bir parçası gibi görünür.

Poincaré’nin sorusu şuydu: Kapalı ve basit bağlantılı her üç boyutlu uzay, topolojik olarak üç boyutlu küreyle aynı mıdır?

Soruyu görselleştirmek zordur, çünkü böyle bir uzayı “dışarıdan” göremeyiz. Ancak içinden, ilmekler ve yollarla inceleyebiliriz. Kendi evrenimizin büyük ölçekte biçiminin ne olduğu sorusu da bu tür matematikle ilişkilidir. Ancak Poincaré sanısı fiziksel evrenin biçimi hakkında bir iddia değil, saf matematik sorusudur.

Yüksek boyutlar önce çözüldü

Şaşırtıcı biçimde, sanının daha yüksek boyutlardaki benzerleri üç boyuttan önce kanıtlandı:

• Beş ve daha yüksek boyutlar: Stephen Smale, 1961. Smale bu çalışmayla 1966’da Fields Madalyası aldı.
• Dört boyut: Michael Freedman, 1982. Freedman 1986’da Fields Madalyası aldı.

Yüksek boyutlarda şekilleri düzenlemek için daha fazla “yer” vardır ve bazı teknikler daha kolay işler. Üç boyut ise inatçı biçimde direnmeye devam etti. Farklı geometrilere geçişin nasıl yeni sorular doğurduğunu Öklid dışı geometriler yazımızda okuyabilirsiniz.

Ricci akışı: Şekli ısı gibi yaymak

1982’de Amerikalı matematikçi Richard Hamilton yeni bir araç önerdi: Ricci akışı. Sezgisel olarak şöyle düşünebilirsiniz:

Bir metal levhanın bazı yerleri sıcak, bazı yerleri soğuk olsun. Zamanla ısı sıcak yerlerden soğuk yerlere yayılır ve sıcaklık dengelenir. Sıcaklığın zamanla nasıl değiştiğini anlatan denkleme ısı denklemi denir. Fourier’nin bu denklem üzerine çalışmalarına Fourier serileri yazımızda değiniyoruz.

Ricci akışı, sıcaklık yerine bir uzayın eğriliğini yayar. Çok kıvrımlı bölgeler zamanla düzleşir, eğrilik daha düzgün dağılır. Umut şuydu: Basit bağlantılı bir uzaya bu akış uygulanırsa, sonunda eğriliği her yerde aynı olan, yuvarlak bir küreye dönüşür. Böylece uzayın aslında küre olduğu anlaşılır.

Küçük bir model hesap

Akışın en basit örneği, zaten yuvarlak olan bir küredir. Uygun birimlerle, yarıçapı r olan yuvarlak bir üç boyutlu küre Ricci akışı altında biçimini koruyarak küçülür ve yarıçapın karesi zamanla doğrusal olarak azalır:

r² = r₀² − 4t

Burada r₀ başlangıç yarıçapı, t zamandır ve birimler soyut bir modelde seçilmiştir. Kendi sayılarımızla bakalım. r₀ = 2 olsun:

• t = 0 → r² = 4 → r = 2
• t = 0,5 → r² = 2 → r ≈ 1,41
• t = 0,75 → r² = 1 → r = 1
• t = 1 → r² = 0 → küre bir noktaya çöker

Yuvarlak küre sorunsuz biçimde küçülür. Asıl zorluk, başlangıçta düzensiz olan uzaylardadır.

Sorun: Boyunlar ve tekillikler

Hamilton, akışın bazı bölgelerde kontrolden çıkabileceğini gördü. Örneğin ortası ince bir “boyun” ile bağlanmış iki büyük parçadan oluşan bir şekil düşünün. Akış sırasında boyun, iki uçtaki parçalardan daha hızlı incelir ve sonunda bir noktada kopar. Bu tür durumlara tekillik denir. Hamilton, bu noktalarda şekli cerrahi bir işlemle kesip uçları yuvarlak kapaklarla kapatmayı ve akışa devam etmeyi önerdi. Ancak bu yöntemin her durumda işe yaradığını kanıtlayamadı.

Perelman’ın katkısı

Grigori Perelman 13 Haziran 1966’da Leningrad’da (bugünkü St. Petersburg) doğdu. 1982’de Uluslararası Matematik Olimpiyatı’nda tam puanla altın madalya kazandı. Daha sonra St. Petersburg’daki Steklov Matematik Enstitüsü’nde çalıştı.

11 Kasım 2002’de, dergiye göndermeden, matematikçilerin makalelerini herkese açık paylaştığı bir çevrim içi arşive ilk makalesini yükledi. 2003’te iki makale daha ekledi. Bu çalışmalarda Ricci akışında ortaya çıkabilecek tekillikleri denetim altına alan yeni nicelikler tanımladı. Cerrahi işlemin sınırlı zamanda, kontrollü biçimde yapılabileceğini gösterdi. Böylece Hamilton’ın programını tamamladı.

Perelman’ın makaleleri çok yoğun yazılmıştı. Birkaç bağımsız uzman ekibi, sonraki yıllarda ayrıntıları dolduran uzun açıklamalar yayımladı ve ispatın doğru olduğu kabul edildi. Perelman yalnızca Poincaré sanısını değil, üç boyutlu uzayların genel yapısıyla ilgili daha kapsamlı bir sanıyı, William Thurston’ın geometrileştirme sanısını da kanıtlamıştı.

Reddedilen ödüller

Fields Madalyası, 2006: Uluslararası Matematik Birliği, Madrid’deki kongrede Perelman’a Fields Madalyası verildiğini açıkladı. Birliğin başkanı, Perelman’ın madalyayı kabul etmediğini duyurdu. Başkanın aktardığına göre Perelman kendini matematik topluluğundan yalıtılmış hissettiğini ve bir simge olarak görülmek istemediğini belirtmişti.

Milenyum Ödülü, 2010: Clay Matematik Enstitüsü, 2000 yılında her biri için bir milyon dolar ödül koyduğu yedi problemden birinin Poincaré sanısı olduğunu ilan etmişti. 18 Mart 2010’da ödülün Perelman’a verildiğini açıkladı. Perelman Temmuz 2010’da ödülü reddetti. Basına yansıyan açıklamalarında kararı adil bulmadığını ve Richard Hamilton’ın çözüme katkısının kendisininkinden az olmadığını düşündüğünü söyledi.

Perelman’ın kişisel tercihleri hakkında pek çok söylenti dolaşır. Bunların çoğu doğrulanmamıştır. Yukarıdaki bilgiler, kurumların açıklamalarına ve Perelman’ın basına aktarılan sözlerine dayanan, iyi belgelenmiş olaylardır. Bu yazının hazırlandığı tarihte, yedi Milenyum Problemi’nden çözülmüş kabul edilen tek problem Poincaré sanısıdır.

Neden önemli?

• Üç boyutlu uzayların haritası: Geometrileştirme teoremi sayesinde, üç boyutlu kapalı uzayların hangi temel geometrik parçalardan oluşabileceği artık bilinmektedir.
• Analiz ile geometrinin buluşması: Ricci akışı, ısı denklemi gibi analiz araçlarının biçim sorularını çözmekte ne kadar güçlü olabileceğini gösterdi.
• Açık bilim: İspatın dergi yerine herkese açık bir arşivde paylaşılması ve topluluk tarafından denetlenmesi, matematik iletişiminde dikkat çekici bir örnek oldu.
• Lise matematiği: Kürenin denklemi, yarıçap-alan ilişkileri, fonksiyonların zamanla değişimi ve doğrusal fonksiyonlar, yukarıdaki model hesapta olduğu gibi, bu ileri konuların ilk basamaklarıdır.

Kapanış

Poincaré’nin sorusu, bir ilmeği bir noktaya küçültmek kadar sade bir fikirle başladı. Cevabı ise bir asır, birçok matematikçinin katkısı ve şekilleri ısı gibi yayan yepyeni bir araç gerektirdi. Perelman ödülleri reddetti, ama bıraktığı ispat matematiğin kalıcı mirasına katıldı. Belki de bu hikâyenin en güzel yanı, en büyük ödülün sonuçta sorunun kendisinin çözülmesi olmasıdır.