Mandelbrot, fraktallar ve kıyı şeridi paradoksu: Bir kıyı ne kadar uzun?

Bir haritada bir ülkenin kıyı uzunluğunu okuyabilirsiniz. Peki bu sayıyı iki farklı kaynakta farklı görürseniz hangisi doğrudur? Şaşırtıcı cevap şudur: Belki ikisi de. Bir kıyının uzunluğu, onu hangi ölçekte ölçtüğünüze bağlıdır. Ölçü aletiniz küçüldükçe koyların içindeki koylar, kayaların arasındaki girintiler de hesaba girer ve bulduğunuz uzunluk büyümeye devam eder.

Bu tuhaflık kıyı şeridi paradoksu olarak bilinir. Fransız-Amerikan matematikçi Benoit Mandelbrot, 1967’de bu soruyu başlığına taşıyan bir makale yayımladı ve sonraki yıllarda fraktal adını verdiği yeni bir geometri geliştirdi. Bu yazıda paradoksun nedenini, Koch eğrisi üzerinde adım adım uzunluk hesabını ve “1,26 boyutlu bir eğri” gibi garip görünen bir ifadenin ne anlama geldiğini göreceğiz.

Cetvel küçüldükçe uzayan kıyı

Bir kıyıyı ölçmenin basit bir yolu şöyledir: Pergelinizi belirli bir açıklığa ayarlayın ve kıyı boyunca adım adım ilerleyin. Adım sayısını adım uzunluğuyla çarpın.

Kendi uydurduğumuz, girintili bir kıyı için bunu farklı adım uzunluklarıyla yaptığımızı düşünelim. Kıyının karmaşıklığını ileride açıklayacağımız bir sayıyla, D = 1,25 alarak modelleyelim. Bu varsayımda adım uzunluğu yarıya indiğinde ölçülen uzunluk 2^0,25 ≈ 1,19 katına çıkar:

• Adım 100 km → ölçülen uzunluk yaklaşık 2000 km
• Adım 50 km → yaklaşık 2380 km
• Adım 25 km → yaklaşık 2830 km
• Adım 12,5 km → yaklaşık 3360 km

Sayılar bir sınıra yaklaşmıyor, büyümeye devam ediyor. Düz bir yolu ölçerken böyle olmaz: Adımı küçültseniz de 10 km’lik düz yol 10 km kalır. Bir çemberin çevresini içine çizilen çokgenlerle ölçerken de kenar sayısı arttıkça sonuç 2πr’ye yaklaşır ve orada durur. Bu yöntemin tarihini Arşimet ve çokgenler yazımızda anlatıyoruz.

İngiliz bilim insanı Lewis Fry Richardson, 20. yüzyılın ortalarında farklı kıyı ve sınırların ölçümlerini karşılaştırırken bu davranışı gözlemledi. Ölçülen uzunluğun adım uzunluğuyla düzenli bir üs kuralına göre değiştiğini fark etti. Mandelbrot 1967’deki makalesinde Richardson’ın verilerini yeniden yorumladı. Bu verilerden hesaplanan ve kıyının ne kadar girintili olduğunu gösteren sayı, Güney Afrika kıyısı için 1,02 civarındayken Büyük Britanya’nın batı kıyısı için 1,25 civarındaydı. Bu sayının ne anlama geldiğini birazdan göreceğiz.

Koch eğrisi: Paradoksun matematiksel modeli

Gerçek bir kıyı karmaşıktır ve modeli ancak yaklaşıktır. Bu davranışı kesin olarak incelemek için matematikçilerin kullandığı bir eğri var: İsveçli matematikçi Helge von Koch’un 1904’te tanımladığı Koch eğrisi.

Eğriyi şöyle kurarız:

1. 0. aşama: Uzunluğu 1 birim olan bir doğru parçasıyla başla.
2. 1. aşama: Parçayı üç eşit parçaya böl. Ortadaki parçayı kaldır ve yerine, kenarı 1/3 olan bir eşkenar üçgenin diğer iki kenarını dışarı doğru ekle. Artık uzunluğu 1/3 olan 4 parça var.
3. 2. aşama: Bu 4 parçanın her birine aynı işlemi uygula.
4. Bu işlemi sonsuza kadar tekrarla.

Uzunluk hesabı, adım adım

Her aşamada her parça, uzunluğu kendisinin 1/3’ü olan 4 parçaya dönüşür. Yani her aşamada toplam uzunluk 4/3 ile çarpılır.

• 0. aşama: 1 parça, parça uzunluğu 1, toplam 1
• 1. aşama: 4 parça, parça uzunluğu 1/3, toplam 4/3 ≈ 1,33
• 2. aşama: 16 parça, parça uzunluğu 1/9, toplam 16/9 ≈ 1,78
• 3. aşama: 64 parça, parça uzunluğu 1/27, toplam 64/27 ≈ 2,37
• 4. aşama: 256 parça, parça uzunluğu 1/81, toplam 256/81 ≈ 3,16

Genel olarak n. aşamada 4ⁿ parça, her birinin uzunluğu (1/3)ⁿ ve toplam uzunluk (4/3)ⁿ olur. Bu bir geometrik dizidir ve oranı 1’den büyük olduğu için sınırsız büyür:

• 10. aşamada toplam uzunluk ≈ 17,8
• 20. aşamada toplam uzunluk ≈ 315

Sonsuz aşamanın sonunda eğrinin uzunluğu sonsuzdur. Oysa eğrinin tamamı, başladığımız 1 birimlik parçanın hemen üstündeki küçük bir bölgenin içinde kalır.

Kar tanesi: Sonsuz çevre, sınırlı alan

Bir eşkenar üçgenin üç kenarının her birine bu işlemi uygularsak Koch kar tanesi elde ederiz. Çevresi aynı hesapla sonsuza gider. Ama şeklin tamamı, sınırlı büyüklükte bir çemberin içine sığar. Alanı sınırlıdır: Hesaplandığında başlangıç üçgeninin alanının tam 8/5’i çıkar. Sonsuz uzunlukta bir sınırın sınırlı bir alanı çevrelemesi, ilk bakışta sezgimize ters gelir. Gerçek kar tanelerinin altıgen simetrisi ise ayrı bir hikâyedir. Onu kar taneleri yazımızda okuyabilirsiniz.

Fraktal boyut: 1 ile 2 arasında bir sayı

Koch eğrisini “cetvelle ölçme” yöntemiyle ele alalım. Cetvelimizin uzunluğu (1/3)ⁿ olsun. Eğriyi bu cetvelle 4ⁿ adımda kaplarız.

Önce tanıdık şekillerin nasıl davrandığına bakalım:

• Doğru parçası: Cetveli 3’te birine küçültürsek 3 kat daha fazla adım gerekir. 3 = 3¹. Boyut 1.
• Kare: Kenarları 3’te birine küçültülmüş karelerle bir kareyi kaplamak için 9 kare gerekir. 9 = 3². Boyut 2.
• Küp: 27 küçük küp gerekir. 27 = 3³. Boyut 3.

Kalıp şudur: Ölçek 3’te birine indiğinde parça sayısı 3ᴰ katına çıkıyorsa, D boyuttur. Koch eğrisinde ölçek 3’te birine indiğinde parça sayısı 4 katına çıkar. O hâlde:

3ᴰ = 4

Bu denklemi logaritmayla çözeriz:

D = log 4 ÷ log 3 ≈ 0,6021 ÷ 0,4771 ≈ 1,2619

Koch eğrisinin boyutu yaklaşık 1,26’dır. Bir doğrudan “daha fazla”, bir yüzeyden “daha az” yer kaplayan bir eğridir. Bu tür boyuta fraktal boyut denir. Kıyıların 1,02 ile 1,25 gibi değerleri de aynı fikirle, kıyının ne kadar girintili olduğunu ölçer. Değer 1’e ne kadar yakınsa kıyı o kadar düzdür. Üslü denklemleri çözmek için logaritmanın nasıl doğduğunu Napier ve logaritma yazımızda anlatıyoruz.

Buradan kıyı paradoksunun çözümü de çıkar. D boyutlu bir kıyıda, adım uzunluğu ε olduğunda ölçülen uzunluk yaklaşık ε^(1−D) ile orantılıdır. D = 1 ise üs sıfırdır ve uzunluk cetvelden bağımsızdır. D > 1 olduğunda ise ε küçüldükçe ölçülen uzunluk büyür. Yukarıdaki tabloda D = 1,25 aldığımız için adımı yarıya indirmek uzunluğu 2^0,25 ≈ 1,19 ile çarptı. Yani bir kıyı için tek bir “uzunluk” söylemek yerine, ölçeği ve fraktal boyutu birlikte vermek daha anlamlıdır.

Mandelbrot ve “fraktal” kelimesi

Benoit Mandelbrot 20 Kasım 1924’te Varşova’da doğdu. Ailesi 1936’da Fransa’ya göç etti ve Mandelbrot eğitimini Fransa’da aldı. 1958’de ABD’de IBM’in araştırma merkezinde çalışmaya başladı. Orada uzun yıllar, dönemin güçlü bilgisayarlarını da kullanarak düzensiz görünen şekiller ve olaylar üzerine çalıştı. Daha sonra Yale Üniversitesi’nde ders verdi.

1975’te bu tür şekiller için Latince “kırık, parçalanmış” anlamına gelen fractus kelimesinden türettiği fraktal terimini kullandı. 1982’de yayımlanan kitabı, fraktal fikrini bilim dünyasının yanı sıra geniş bir okur kitlesine de tanıttı. Bilgisayarda çizdirilen ve bugün adıyla anılan Mandelbrot kümesi, bu geometrinin en tanınmış görüntülerinden biri oldu. Mandelbrot 14 Ekim 2010’da ABD’de hayatını kaybetti.

Önemli bir not: Koch eğrisi gibi matematiksel fraktallar her ölçekte tam olarak kendine benzer. Gerçek kıyılar, bulutlar ya da ağaç dalları ise ancak belirli bir ölçek aralığında ve istatistiksel olarak kendine benzer. Bir kıyıyı atom boyutuna kadar “fraktal” diye ölçmenin fiziksel bir anlamı yoktur.

Bugün nerede karşımıza çıkar?

• Coğrafya ve haritacılık: Kıyı ve sınır uzunlukları verilirken ölçeğin belirtilmesi gerektiğini fraktal fikri açıkça gösterir. Ölçek kavramını haritalar ve maketler yazımızda ele alıyoruz.
• Bilgisayar grafikleri: Dağ, bulut ve bitki görüntüleri, kendine benzer kurallarla üretilebilir.
• Anten tasarımı ve malzeme bilimi: Küçük bir alanda uzun bir yol oluşturan fraktal biçimler bazı mühendislik uygulamalarında kullanılır.
• Doğa bilimleri: Akciğerlerdeki dallanma, nehir ağları ve kırık yüzeyler fraktal boyutla betimlenmeye çalışılır. Bu modeller yaklaşıktır ve belirli ölçek aralıklarında geçerlidir.
• Lise matematiği: Koch eğrisi hesabı, geometrik diziler, üslü sayılar ve logaritma konularını tek bir problemde birleştirir.

Kapanış

“Bir kıyı ne kadar uzun?” sorusu, cevabı basit görünen ama bizi yeni bir geometriye götüren sorulardandır. Mandelbrot’un katkısı, matematikçilerin yıllarca “garip” diye bir kenara koyduğu eğrilerin, aslında doğanın pürüzlü yüzünü anlatmak için tam aradığımız dil olduğunu göstermesiydi. Bir dahaki sefere haritada bir kıyı uzunluğu okurken, sessizce şu soruyu sorun: Hangi cetvelle?